ОГЭ. Решение. Задание 25, Вариант 1

Условие задачи

В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

Решение

Точка I - центр вписанной окружности, то есть точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Углы IAC и ICA равны половинам углов А и С треугольника АВС.
Тогда
$\angle AIC = 180^{\circ} - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2} \angle C) = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle B) = 90^{\circ} + \frac{\angle B}{2}.$

Точка О – центр описанной окружности треугольника АВС. Значит, угол АВС – вписанный в эту окружность, $\angle B) =\frac{1}{2}\angle AOC.$

Поскольку точки А, О, I, С лежат на одной окружности, углы АОС и АIС равны.
Тогда $90^{\circ} + \frac{\angle B}{2} = 2 \angle B,$ и $\angle B = 60^{\circ}.$

ОГЭ. Решение. Задание 25, Вариант 1

Это полезно