Условие задачи
В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.
Решение
Точка I - центр вписанной окружности, то есть точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Углы IAC и ICA равны половинам углов А и С треугольника АВС.
Тогда
Точка О – центр описанной окружности треугольника АВС. Значит, угол АВС – вписанный в эту окружность,
Поскольку точки А, О, I, С лежат на одной окружности, углы АОС и АIС равны.
Тогда и