Условие задачи
Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.
Решение
Проведем МТ параллельно АР. Поскольку М – середина АС, МТ – средняя линия треугольника АРС и СТ = ТР.
Аналогично, КР – средняя линия треугольника ВМТ, и ВР = РТ.
Пусть S – площадь треугольника АВС.
Площадь четырехугольника КРСМ равна разности площадей треугольника АВС и треугольников АВМ и ВКР.
Тогда площадь треугольника ВКР в 4 раза меньше площади треугольника ВМТ.
Площадь треугольника ВМТ равна \(\frac{2}{3}\) площади треугольника ВМС, то есть \(\frac{1}{3}\) площади треугольника АВС. Тогда площадь треугольника ВКР равна \(\frac{1}{12}\) площади треугольника АВС.
Площадь треугольника АВМ равна половине площади треугольника АВС.
Тогда площадь четырехугольника КРСМ равна \(S -\frac{1}{2} S - \frac{1}{12} S = \frac{5}{12} S. \)
Отношение площади треугольника АВС к площади четырехугольника КРСМ равно \(\frac{12}{5} = 2,4. \)
Ответ:
2,4.
