previous arrow
next arrow
Slider

ОГЭ. Решение. Задание 26, Вариант 1

Условие задачи

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.

Решение

Проведем МТ параллельно АР. Поскольку М – середина АС, МТ – средняя линия треугольника АРС и СТ = ТР.
Аналогично, КР – средняя линия треугольника ВМТ, и ВР = РТ.

Пусть S – площадь треугольника АВС.
Площадь четырехугольника КРСМ равна разности площадей треугольника АВС и треугольников АВМ и ВКР.

Тогда площадь треугольника ВКР в 4 раза меньше площади треугольника ВМТ.
Площадь треугольника ВМТ равна \frac{2}{3} площади треугольника ВМС, то есть \frac{1}{3} площади треугольника АВС. Тогда площадь треугольника ВКР равна \frac{1}{12} площади треугольника АВС.
Площадь треугольника АВМ равна половине площади треугольника АВС.
Тогда площадь четырехугольника КРСМ равна S -\frac{1}{2} S - \frac{1}{12} S =  \frac{5}{12} S.
Отношение площади треугольника АВС к площади четырехугольника КРСМ равно \frac{12}{5} = 2,4.

Ответ:

2,4.