Условие задачи
25. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=5 и MB=10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
Решение
Построим чертеж. Обратите внимание, что прямая AB не обязана проходить через центр окружности. AB – это просто хорда.
Угол между касательной CD и хордой AC равен половине угловой величины дуги AC, заключенной между сторонами этого угла.
Вписанный угол ABC также равен половине угловой величины дуги AC, на которую он опирается.
Значит, углы ACD и DBC равны. Тогда треугольники ACD и CBD подобны по двум углам (угол D у них общий).
Запишем соотношение сходственных сторон треугольников ACD и CBD:
\(\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BC}\).
Вспомним свойство биссектрисы. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Значит, \(\frac{AC}{BC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\).
Пусть AD=x, CD=y. Получим:
\(\frac{x}{y}=\frac{y}{x+15}=\frac{1}{2}\).
Отсюда \(2y=\frac{y}{2}+15\); \(y=10\).
Ответ:
10.
