Условие задачи
25. Биссектриса \(CM\) треугольника \(ABC\) делит сторону \(AB\) на отрезки \(AM=5\) и \(MB=10.\) Касательная к описанной окружности треугольника \(ABC\), проходящая через точку \(C\), пересекает прямую \(AB\) в точке \(D.\) Найдите \(CD.\)
Решение
Построим чертеж. Обратите внимание, что прямая \(AB\) не обязана проходить через центр окружности. \(AB\) – это просто хорда.
Угол между касательной \(CD\) и хордой \(AC\) равен половине угловой величины дуги \(AC\), заключенной между сторонами этого угла.
Вписанный угол \(ABC\) также равен половине угловой величины дуги \(AC\), на которую он опирается.
Значит, углы \(ACD\) и \(DBC\) равны. Тогда треугольники \(ACD\) и \(CBD\) подобны по двум углам (угол \(D\) у них общий).
Запишем соотношение сходственных сторон треугольников \(ACD\) и \(CBD:\)
\(\displaystyle \frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BC}.\)
Вспомним свойство биссектрисы. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Значит, \(\displaystyle \frac{AC}{BC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.\)
Пусть \(AD=x, \ CD=y.\) Получим:
\(\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{y}{x+15}=\frac{1}{2}.\)
Отсюда \(2y=\displaystyle \frac{y}{2}+15; \ y=10.\)
Ответ:
10.
