previous arrow
next arrow
Slider

Тригонометрия в задачах с параметрами

В этой теме мы тоже будем строить графики и применять замену переменных.

Рекомендуем повторить темы: определения синуса и косинуса для произвольного угла, основные формулы тригонометрии, простейшие тригонометрические уравнения, часть 1, часть 2.

1. Анна Малкова. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \( sin(\pi( \sqrt{a-x^2}-x))=0\) имеет ровно \(2\) решения?

Решение:

Сделав замену: \(\pi( \sqrt{a-x^2}-x)=t\), придем к уравнению \(sint=0\).

Отсюда \(t=\pi k, \; k\in Z\).

Вернемся к переменной \(x\):

\(\pi( \sqrt{a-x^2}-x)=\pi k, \; k\in Z;\)

\(\sqrt{a-x^2}=x+k, \; k\in Z;\)

ОДЗ: \(a-x^2\geq 0. \)

1) Если \(a < 0\), то \(a-x^2 < 0\)  –  не выполняется условие ОДЗ.

2) Если \(a=0\), то \(\sqrt{-x^2}=x+k, \; k\in Z.\)

Уравнение имеет единственное решение при \(k=0\) и \(x=0\). Это не подходит по условию задачи.

3) Рассмотрим случай \(a > 0\). Пусть \(a=R^2\).

Решим графически уравнение \(\sqrt{R^2-x^2}=x+k, \; k\in Z\).

Построим графики левой и правой частей этого уравнения.

График левой части уравнения  \(y=\sqrt{R^2-x^2}\)  – верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом \(R > 0\).

График правой части \(y=x+k\), где \(k\in Z\)  – семейство прямых с угловым коэффициентом \(1\).

Чем больше радиус, тем больше параллельных прямых пересекает полуокружность.

Уравнение имеет ровно два решения только в случае, когда полуокружность пересекает прямую  \(y=x\) и касается прямой \(y=x+1\) в точке \(A\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(OBC\). Треугольник равнобедренный, так как \(OC=OB=1\).

\(\angle OCB=\angle OBC=45^\circ\), тогда  \(OA\) – медиана и высота, \(OA=R=\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\).

\(a=R^2=\left (\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Если радиус окружности меньше \(\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\), то уравнение имеет единственное решение.

Если радиус окружности больше \(\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\), то уравнение имеет \(3\) и более решений.

Уравнение имеет ровно \(2\) решения при \(a=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Ответ:\(a=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Часто в тригонометрических уравнениях с параметрами применяется эффектная замена переменных.

Вспомним определения синуса и косинуса произвольного угла.

  • Косинусом угла \(\alpha \) называется абсцисса (то есть координата по оси \(X\)) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу \(\alpha \)
  • Синусом угла \(\alpha\)  называется ордината (то есть координата по оси \(Y\)) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу \(\alpha\)

Косинус – абсцисса, то есть координата по \(X\). Синус – ордината, то есть координата по \(Y\). Сейчас вы увидите, как применить эту мощную замену.

2. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(2 sin t+cos t=a\) имеет единственное решение на отрезке \(\left [\displaystyle\frac{\pi }{4};\displaystyle\frac{3\pi }{4}\right]\).

Решение:

Сделаем замену: \(cos t=x, \; sin t = y\), в соответствии с определениями косинуса и синуса произвольного угла.

Так как \(cos^2 x+sin^2 x=1\), получим:

\(\left\{\begin{matrix}
2y+x=a, \\
x^2+y^2=1.\end{matrix}\right.\)

При этом \(y\geq \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\), так как если \(t\in\left [\displaystyle\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4} \right ], \; sin t\geq \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Система примет вид: \(\left\{\begin{matrix}
y=-\displaystyle \frac{x}{2} +\frac{a}{2},\\
x^2+y^2=1, \\
y\geq \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}.\end{matrix}\right.\)

Сделаем замену: \(b=\displaystyle\frac{a}{2}\).

Уравнение \(x^2+y^2=1\) задает окружность с центром в начале координат и радиусом \(1\).

Уравнение \(y=-\displaystyle \frac{x}{2}+b\) задает прямую с угловым коэффициентом \(k=-\displaystyle \frac{1}{2}\), сдвинутую на \(b\) по вертикальной оси.

Система \(\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=1,\\
y=-\displaystyle \frac{x}{2}+b, \\
y\geq \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right. \; \) имеет единственное решение, если прямая \(y=-\displaystyle\frac{x}{2}+b\) пересекает дугу окружности, заданную условиями \(x^2+y^2-1\) и \(y\geq \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) ровно \(1\) раз.

Это происходит в следующих случаях:

1) Прямая проходит через точку \(A \left(-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). Подставим координаты точки \(A\) в уравнение прямой: \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}+b\), отсюда \(b=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\).

2) Прямая проходит выше точки \(A\) и ниже точки \(B\).

Подставив координаты точки \(B \left(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) в уравнение прямой, получим: \(b= \displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{4}\).

Система имеет единственное решение, если \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\leq b < \frac{3\sqrt{2}}{4}\), тогда \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\leq a < \frac{3\sqrt{2}}{2}\).

3) Уравнение также имеет единственное решение в случае касания прямой и дуги окружности в точке \(C\).

Нарисуем отдельно треугольник \(OEF\).

В треугольнике \(OEF:OE=b, \; tg\angle EFO=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow OF=2b, \; OC\) – высота, \(OC=1\).

По теореме Пифагора \(EF=\sqrt{b^2+4b^2}=b\sqrt{5};\)

\(S_{\triangle OEF}=\displaystyle\frac{1}{2}OE\cdot OF=\displaystyle\frac{1}{2}EF\cdot OC;\)

\(2b^2=b\sqrt{5}\), так как \(b\neq 0\), получим: \(b=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\), тогда \(a=\sqrt5\).

Объединив случаи, запишем ответ.

Ответ: \(a\in \left [\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{3\sqrt{2}}{2} \right)\cup \{ \sqrt{5}\}.\)

3. При каких значениях параметра \(b\) система

\(\left\{\begin{matrix}
tg t\leq 0, \\
sin t= b cos t -2b+1\end{matrix}\right. \; \) имеет единственное решение?

Решение:

Сделаем замену (стандартную для таких задач): \(cost=x, \; sint=y\).

Получим систему:

\(\left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{y}{x}\leq 0, \\
x^2+y^2=1, \\
y=bx-2b+1;\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{y}{x}\leq 0, \\
x^2+y^2=1, \\
y=b(x-2)+1.\end{matrix}\right.\)

Из первого неравенства видно, что \(x\) и \(y\) должны быть разных знаков, причем \(x\neq 0\).

Уравнение \(x^2+y^2=1\) задает окружность с центром в начале координат и радиусом \(1\).

Третье уравнение задает прямую с угловым коэффициентом \(b\) проходящую через точку \(M(2; 1)\).

Решим систему графически:

Система имеет единственное решение в следующих случаях:

1) Если прямая, заданная третьим уравнением, проходит через точку \(A\) или выше точки \(A\) и ниже точки \(B\).

2) В случае касания в точке \(E\).

3) Если прямая проходит через точку \(C(1;0)\).

Рассмотрим по отдельности каждый из этих случаев.

Случай 1. Подставим координаты \(A(-1; 0)\) в уравнение прямой \(y=b(x-2)+1\).

Для точки \(A\): \(b=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Для точки \(B\) с координатами \((0; 1)\) получим: \(b=0\).

Знаяит, в первом случае \(b\in \left(0; \displaystyle\frac{1}{3}\right]\).

Случай 2. Найдём значение параметра для прямой, проходящей через точку \(E\) – точку касания.

Вспомним условие касания функции \(y=f(x)\) и прямой \(y=kx+b\).

\(\left\{\begin{matrix}
f(x)=kx+b, \\
f'(x)=k.\end{matrix}\right.\)

Точка \(E\) лежит на нижней полуокружности, уравнение которой можно записать в виде:

\(y=-\sqrt{1-x^2}\).

С учетом условия \(|x|< 1\):

\(\left\{\begin{matrix}
-\sqrt{1-x^2}=b(x-2)+1, \\
\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=b.\end{matrix}\right.\)

Подставим \(b=\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)  в первое уравнение.

\(-\sqrt{1-x^2}=\displaystyle \frac{x(x-2)}{\sqrt{1-x^2}}+1;\)

\(x^2-1=x^2-2x+\sqrt{1-x^2};\)

\(2x-1=\sqrt{1-x^2}.\)

Возведем обе части уравнения в квадрат при условии \(2x-1\geq 0; \; |x| < 1\).

\(1-x^2=4x^2-4x+1;\)

\(5x^2-4x=0;\)

\(x=0\) или \(x=\displaystyle \frac{4}{5}\).

Решение \(x=0\) соответствует точке \(B\), которая тоже является точкой касания прямой и окружности.

Решение \(x=\displaystyle \frac{4}{5}\) соответствует точке \(E\).

При этом \(b=\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{4}{5}:\sqrt{1-\left (\displaystyle \frac{4}{5}\right )^2}=\displaystyle \frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{3}\).

Случай 3. Для точки \(C\) с координатами \((1; 0)\) находим: \(b=1\).

Ответ: \(b\in \left ( 0;\displaystyle \frac{1}{3} \right ]\cup \left\{ 1; \displaystyle \frac{4}{3}\right\}.\)