Мы начинаем изучать задачи ЕГЭ о кредитах и вкладах.
Доход банка образуется в виде разницы между процентом кредита и процентом вклада. Например, клиент банка положил на свой сберегательный счет 100 тысяч рублей под \(10\)% годовых – то есть открыл вклад. Через год он может получить в банке \(110\) тысяч рублей. Другому клиенту, наоборот, нужны \(100\) тысяч рублей. Банк выдает ему кредит под \(30\)% годовых, и теперь этот клиент должен вернуть банку \(130\) тысяч рублей. Таким образом, прибыль банка составит \(130 – 110 = 20\) (тысяч рублей).
Конечно же, процентные ставки банка по кредиту выше, чем процентные ставки по вкладу.
Вспомним формулы из темы «Проценты». Без них задачи на кредиты и вклады не решить!
Сначала - несколько контрольных вопросов:
1. Что принимается за \(100\)%?
2. Величина \(x\) увеличилась на \(p\)%. Как это записать?
3. Величина \(y\) дважды увеличилась на \(p\)%. Как это записать?
И ответы на вопросы:
1. За \(100\)% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.
2. Если величину \(x\) увеличить на \(p\) процентов, получим \(x\cdot \left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right )\);
если величину \(x\) уменьшить на \(p\) процентов, получим \(x\cdot \left ( 1-\displaystyle\frac{p}{100} \right )\);
если величину \(x\) увеличить на \(p\) процентов, а затем уменьшить на \(q\) процентов, получим
\(x\cdot \left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right )\cdot \left ( 1-\displaystyle\frac{q}{100} \right )\).
3. Если величину \(x\) дважды увеличить на \(p\) процентов, получим \(x\cdot \left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right )^{2}\);
если величину \(x\) дважды уменьшить на \(p\) процентов, получим \(x\cdot \left ( 1-\displaystyle\frac{p}{100} \right )^{2}\).
Вот простая подготовительная задача.
1. Клиент А. сделал вклад в банке в размере \(7700\) рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на \(847\) рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?
Решение:
Пусть банк начисляет \(p\)% в год.
У клиента А после начисления процентов через год сумма вклада станет равной \(7700\left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right )\). Соответственно, через два года эта сумма станет равной \(7700\left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right )^{2}.\)
Клиент В сделал вклад позже, чем клиент А, на год. У него сумма вклада через год станет равной \(7700\left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right ).\)
Так как клиент А получил на \(847\) рублей больше клиента В, то
\(7700\left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right )^{2}-7700\left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right )=847.\)
Вынесем \(7700\) за скобки:
\(7700\left (\left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right )^{2}-\left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right ) \right )=847.\)
Чтобы не получить квадратное уравнение с огромными коэффициентами, сократим обе части уравнения на\(77\).
\(100\left (\left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right )^{2}-\left ( 1+\displaystyle\frac{p}{100} \right ) \right )=11.\)
Сделаем замену: \(1+\displaystyle\frac{p}{100}=k. \)
\(100\left ( k^{2}-k \right )=11;\)
\(100k^{2}-100k=11;\)
\(100k^{2}-100k-11=0.\)
Его корни \(x_{1}=-0,1\) и \(x_{2}=1,1\). Отрицательный корень нам не подходит, поэтому \(x=1,1\).
Сделав обратную замену, получим
\(1+\displaystyle\frac{p}{100}=1,1.\)
Отсюда \(p=10\)%.
Ответ: 10.
Еще одна задача – на этот раз о кредите.
2. Костя оформил кредитную карту на \(244\) тысячи рублей под \(25\)% годовых и расплачивался ею при каждой покупке. Через неделю деньги на карте кончились, и Костя обнаружил, что обязан погасить долг тремя равными ежегодными платежами. Сколько собственных денег Костя выплатит банку сверх суммы, взятой в кредит?
Решение:
Обозначим сумму кредита \(S\), где \(S=244000\) рублей.
Проценты начисляются ежегодно, и после первого начисления процентов сумма долга равна
\(\left ( 1+\displaystyle\frac{25}{100} \right )S=\displaystyle \frac{5}{4}S=kS\).
Переменная \(k\) - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов; \(k=1+\displaystyle\frac{p}{100}\), где \(p\) – процентная ставка банка.
Костя обязан ежегодно выплачивать банку \(X\) рублей.
После первой выплаты сумма долга равна \(\displaystyle\frac{5}{4}S-X=kS-X\) рублей.
Банк снова начисляет \(p\) процентов, и сумма долга становится равна \(\left ( kS-X \right )k\) рублей, где \(k=1,25=\displaystyle\frac{5}{4}.\)
Костя снова перечисляет в банк \(X\) рублей.
Теперь сумма долга равна \(\left ( kS-X \right )k-X\) рублей.
Банк в третий раз начисляет проценты, и сумма долга равна \(\left (\left ( kS-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k\) рублей.
И снова Костя переводит в банк \(X\) рублей. Теперь его долг равен нулю.
\(\left (\left ( kS-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X=0\).
Выразим \(X\) (ежегодный платеж Кости) из этого уравнения. Раскрыв скобки, получим:
\(Sk^{3}-X\left ( k^{2}+k+1 \right )=0\);
\(X=\displaystyle\frac{Sk^{3}}{k^{2}+k+1}\).
Осталось подставить числовые данные.
Будем вести расчеты в тысячах рублей, а значение \(k\) возьмем равным \(\displaystyle\frac{5}{4}\). Это удобнее для расчетов, чем \(1,25\).
\(X=\displaystyle\frac{Sk^{3}}{k^{2}+k+1}=\displaystyle \frac{244\cdot 5^{3}}{4^{3}\left ( \left ( \frac{5}{4} \right )^{2}+\frac{5}{4}+1 \right )}=
\displaystyle\frac{244\cdot 125}{64\left ( \frac{25}{16} +\frac{5}{4}+1\right )}= \frac{244\cdot 125}{100+80+64}=125\) тысяч рублей.
Всего Костя выплатит банку \(3X=375\) тысяч рублей, что на \(375 – 244 = 131\) тысячу рублей больше суммы, взятой в кредит.
Ответ: 131 000 рублей
Вот задача на вклады, где надо составить, упростить и решить систему уравнений. Постарайтесь справиться самостоятельно.
3. В начале года \(\displaystyle\frac{5}{6}\) некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось — в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна \(670\) у. е. (условных единиц), к концу следующего — \(749\) у. е. Если бы первоначально \(\displaystyle\frac{5}{6}\) суммы было вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до \(710\) у. е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.
Решение:
Пусть первоначальная сумма равна \(6S\) – чтобы удобнее было записать \(\displaystyle\frac{1}{6}\) и \(\displaystyle\frac{5}{6}\) этой суммы.
Пусть банк A начисляет \(p\) процентов годовых. Тогда сумма, внесенная на счет в банке А, за год увеличивается в \(1+\displaystyle\frac{p}{100}=k\) раз, а за 2 года - в \(k^{2}\) раз.
Банк Б начисляет \(q\) процентов годовых. За год сумма, внесенная на счет в банке Б, увеличивается в \(1+\displaystyle\frac{q}{100}=m\) раз, а за 2 года - в \(m^{2}\) раз.
Надо найти \(Sk^{2}+5Sm^{2}\).
Составим систему уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
5Sk+Sm=670, \;\;\;\;(1)\\
5Sk^{2}+Sm^{2}=749, \;\;(2)\\
Sk+5Sm=710;\;\;\;\;\;(3)
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
6S\left ( m+k \right )=1380,\\
4S\left ( m-k \right )=40,\\
5Sk^{2}+Sm^{2}=749;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
m+k=\displaystyle \frac{230}{S},\\
m-k=\displaystyle \frac{10}{S},\\
5Sk^{2}+Sm^{2}=749;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}
2m=\displaystyle \frac{240}{S},\\
2k=\displaystyle \frac{220}{S},\\
5Sk^{2}+Sm^{2}=749;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
m=\displaystyle \frac{120}{S},\\
k=\displaystyle \frac{110}{S},\\
5Sk^{2}+Sm^{2}=749.
\end{matrix}\right.\)
Подставим значения \(m\) и \(k\) в третье уравнение:
\(S\left ( 5\cdot \displaystyle\frac{110^{2}}{S^{2}} +\frac{120^{2}}{S^{2}}\right )=749;\)
\(\displaystyle\frac{100}{S}\cdot \left ( 5\cdot 121+144 \right )=749; \)
\(\displaystyle\frac{100}{S}\cdot749=749; \)
\(S=100.\)
Осталось вычислить \(Sk^{2}+5Sm^{2}\).
\(S\cdot \left(5\cdot \left(\displaystyle\frac{120}{S}\right)^{2}+\left(\displaystyle \frac{110}{S}\right)^{2}\right)=\displaystyle\frac{100}{S}\cdot (5\cdot 12^{2}+11^{2})=5\cdot 144+121=841.\)
Ответ: 841 у. е.
Пора переходить к реальным задачам ЕГЭ о кредитах (задачи на вклады решаются похожим способом).
Запомним – есть всего две схемы решения задач на кредиты.
Первая – когда выплаты производятся равными платежами. Или есть информация о платежах.
Вторая – когда сумма долга уменьшается равномерно. Или есть информация о том, как уменьшается сумма долга.
Начнем с первой схемы.
