previous arrow
next arrow
Slider

Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов.

Задание 17 Профильного ЕГЭ по математике – это задача с экономическим содержанием.

Это может быть задача на кредиты и вклады. Или на нахождение наибольшего (наименьшего) значения какой-либо функции (прибыли, зарплат, времени работы). Мы разберем и те, и другие.

Начнем с задач о кредитах и вкладах. Прежде чем браться за реальные задания ЕГЭ из Банка заданий ФИПИ, подумаем – как вообще работает банк?

Доход банка образуется в виде разницы между процентом кредита и процентом вклада. Например, клиент банка положил на свой сберегательный счет 100 тысяч рублей под 10 % годовых – то есть открыл вклад. Через год он может получить в банке 110 тысяч рублей. Другому клиенту, наоборот, нужны 100 тысяч рублей. Банк выдает ему кредит под 30 % годовых, и теперь этот клиент должен вернуть банку 130 тысяч рублей. Таким образом, прибыль банка составит 130 – 110 = 20 (тысяч рублей).

Конечно же, процентные ставки банка по кредиту выше, чем процентные ставки по вкладу.

Вспомним формулы из темы «Проценты». Без них задачи на кредиты и вклады не решить!

Сначала - несколько контрольных вопросов:

1. Что принимается за 100%?

2. Величина х увеличилась на p%. Как это записать?

3. Величина y дважды увеличилась на р%. Как это записать?

И ответы на вопросы:

1. за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

2. если величину x увеличить на p процентов, получим x\cdot \left ( 1+\frac{p}{100} \right );

если величину x уменьшить на p процентов, получим
x\cdot \left ( 1-\frac{p}{100} \right );

если величину x увеличить на p процентов, а затем уменьшить на q процентов, получим x\cdot \left ( 1+\frac{p}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{q}{100} \right );

3. если величину x дважды увеличить на p процентов, получим x\cdot \left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{2};

4. если величину x дважды уменьшить на p процентов, получим x\cdot \left ( 1-\frac{p}{100} \right )^{2}.

Вот простая подготовительная задача.

Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Пусть банк начисляет p% в год.

У клиента А после начисления процентов через год сумма вклада станет равной 7700\left ( 1+\frac{p}{100} \right ). Соответственно, через два года эта сумма станет равной 7700\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{2}

Клиент В сделал вклад позже, чем клиент А, на год. У него сумма вклада через год станет равной 7700\left ( 1+\frac{p}{100} \right ) .

Так как клиент А получил на 847 рублей больше клиента В, то
7700\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{2}-7700\left ( 1+\frac{p}{100} \right )=847

Вынесем 7700 за скобки:
7700\left (\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{2}-\left ( 1+\frac{p}{100} \right ) \right )=847

Чтобы не получить квадратное уравнение с огромными коэффициентами, сократим обе части уравнения на 77.

100\left (\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{2}-\left ( 1+\frac{p}{100} \right ) \right )=11

Сделаем замену 1+\frac{p}{100}=k
100\left ( k^{2}-k \right )=11

100k^{2}-100k=11

100k^{2}-100k-11=0

Его корни x_{1}=-0,1 и x_{2}=1,1. Отрицательный корень нам не подходит, поэтому x=1,1.

Сделав обратную замену, получим

1+\frac{p}{100}=1,1

Отсюда p = 10%.

Ответ: 10.

Еще одна задача – на этот раз о кредите.

2. Костя оформил кредитную карту на 244 тысячи рублей под 25% годовых и расплачивался ею при каждой покупке. Через неделю деньги на карте кончились, и Костя обнаружил, что обязан погасить долг тремя равными ежегодными платежами. Сколько собственных денег Костя выплатит банку сверх суммы, взятой в кредит?

Обозначим сумму кредита S, где S=244000 рублей.

Проценты начисляются ежегодно, и после первого начисления процентов сумма долга равна
\left ( 1+\frac{25}{100} \right )S=\frac{5}{4}S=kS.

Переменная k - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов;
k=1+\frac{p}{100}, где p – процентная ставка банка.

Костя обязан ежегодно выплачивать банку X рублей. После первой выплаты сумма долга равна \frac{5}{4}S-X=kS-X рублей.

Банк снова начисляет р процентов, и сумма долга становится равна
\left ( kS-X \right )k рублей, где k=1,25=\frac{5}{4}. Костя снова перечисляет в банк X рублей.

Теперь сумма долга равна
\left ( kS-X \right )k-X рублей.

Банк в третий раз начисляет проценты, и сумма долга равна
\left (\left ( kS-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k рублей.

И снова Костя переводит в банк X рублей. Теперь его долг равен нулю.

\left (\left ( kS-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X=0.

Выразим Х (ежегодный платеж Кости) из этого уравнения. Раскрыв скобки, получим:
Sk^{3}-X\left ( k^{2}+k+1 \right )=0;
X=\frac{Sk^{3}}{k^{2}+k+1}.Осталось подставить числовые данные.

Будем вести расчеты в тысячах рублей, а значение k возьмем равным \frac{5}{4}. Это удобнее для расчетов, чем 1,25.

X=\frac{Sk^{3}}{k^{2}+k+1}=\frac{244\cdot 5^{3}}{4^{3}\left ( \left ( \frac{5}{4} \right )^{2}+\frac{5}{4}+1 \right )}=\frac{244\cdot 125}{64\left ( \frac{25}{16} +\frac{5}{4}+1\right )}=\frac{244\cdot 125}{100+80+64}=125 тысяч рублей.

Всего Костя выплатит банку 3X=375 тысяч рублей, что на 375 – 244 = 131 тысячу рублей больше суммы, взятой в кредит.

Вот задача на вклады, где надо составить, упростить и решить систему уравнений. Постарайтесь справиться самостоятельно.

3. В начале года \frac{5}{6} некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось — в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у. е. (условных единиц), к концу следующего — 749 у. е. Если бы первоначально \frac{5}{6} суммы было вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у. е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.

Пусть первоначальная сумма равна 6S – чтобы удобнее было записать \frac{1}{6} и \frac{5}{6} этой суммы.

Пусть банк A начисляет p процентов годовых. Тогда сумма, внесенная на счет в банке А, за год увеличивается в 1+\frac{p}{100}=k раз, а за 2 года в k^{2} раз.

Банк Б начисляет q процентов годовых. За год сумма, внесенная на счет в банке Б, увеличивается в 1+\frac{q}{100}=m раз, а за 2 года в m^{2} раз.

Надо найти Sk^{2}+5Sm^{2}. Составим систему уравнений:

\left\{\begin{matrix}5Sk+Sm=670 \;\;\;\;(1)\\5Sk^{2}+Sm^{2}=749 \;\;(2)\\Sk+5Sm=710\;\;\;\;\;(3)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}6S\left ( m+k \right )=1380\\4S\left ( m-k \right )=40\\5Sk^{2}+Sm^{2}=749\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m+k=\frac{230}{S}\\m-k=\frac{10}{S}\\5Sk^{2}+Sm^{2}=749\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2m=\frac{240}{S}\vspace{2mm}\\2k=\frac{220}{S}\vspace{2mm}\\5Sk^{2}+Sm^{2}=749\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m=\frac{120}{S} \vspace{2mm}\\k=\frac{110}{S} \vspace{2mm}\\5Sk^{2}+Sm^{2}=749\end{matrix}\right.

Подставим значения m и k в третье уравнение:

S\left ( 5\cdot \frac{110^{2}}{S^{2}} +\frac{120^{2}}{S^{2}}\right )=749

\frac{100}{S}\cdot \left ( 5\cdot 121+144 \right )=749

\frac{100}{S}\cdot749=749

S=100.

Осталось вычислить Sk^{2}+5Sm^{2}.

Ответ: 841.

Пора переходить к реальным задачам ЕГЭ о кредитах (задачи на вклады решаются похожим способом).

Запомним – есть всего две схемы решения задач на кредиты.

Первая – когда выплаты производятся равными платежами. Или есть информация о платежах.

Вторая – когда сумма долга уменьшается равномерно. Или есть информация о том, как уменьшается сумма долга.

Начнем с первой схемы.