Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов.

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике – это задача с экономическим содержанием.

Это может быть задача на кредиты и вклады. Или на нахождение наибольшего (наименьшего) значения какой-либо функции (прибыли, зарплат, времени работы). Мы разберем и те, и другие.

Начнем с задач о кредитах и вкладах. Прежде чем браться за реальные задания ЕГЭ из Банка заданий ФИПИ, подумаем – как вообще работает банк?

Доход банка образуется в виде разницы между процентом кредита и процентом вклада. Например, клиент банка положил на свой сберегательный счет 100 тысяч рублей под 10 % годовых – то есть открыл вклад. Через год он может получить в банке 110 тысяч рублей. Другому клиенту, наоборот, нужны 100 тысяч рублей. Банк выдает ему кредит под 30 % годовых, и теперь этот клиент должен вернуть банку 130 тысяч рублей. Таким образом, прибыль банка составит 130 – 110 = 20 (тысяч рублей).

Конечно же, процентные ставки банка по кредиту выше, чем процентные ставки по вкладу.

Вспомним формулы из темы «Проценты». Без них задачи на кредиты и вклады не решить!

Сначала - несколько контрольных вопросов:

1. Что принимается за 100%?

2. Величина х увеличилась на p%. Как это записать?

3. Величина y дважды увеличилась на р%. Как это записать?

И ответы на вопросы:

1. за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

2. если величину x увеличить на p процентов, получим $x\cdot \left ( 1+\frac{p}{100} \right )$ ;

если величину x уменьшить на p процентов, получим
$x\cdot \left ( 1-\frac{p}{100} \right )$ ;

если величину x увеличить на p процентов, а затем уменьшить на q процентов, получим $x\cdot \left ( 1+\frac{p}{100} \right )\cdot \left ( 1-\frac{q}{100} \right )$ ;

3. если величину x дважды увеличить на p процентов, получим $x\cdot \left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{2}$ ;

4. если величину x дважды уменьшить на p процентов, получим $x\cdot \left ( 1-\frac{p}{100} \right )^{2}$ .

Вот простая подготовительная задача.

Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Пусть банк начисляет p% в год.

У клиента А после начисления процентов через год сумма вклада станет равной $7700\left ( 1+\frac{p}{100} \right )$ . Соответственно, через два года эта сумма станет равной $7700\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{2}$

Клиент В сделал вклад позже, чем клиент А, на год. У него сумма вклада через год станет равной $7700\left ( 1+\frac{p}{100} \right )$ .

Так как клиент А получил на 847 рублей больше клиента В, то
$7700\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{2}-7700\left ( 1+\frac{p}{100} \right )=847$

Вынесем 7700 за скобки:
$7700\left (\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{2}-\left ( 1+\frac{p}{100} \right ) \right )=847$

Чтобы не получить квадратное уравнение с огромными коэффициентами, сократим обе части уравнения на 77.

$100\left (\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{2}-\left ( 1+\frac{p}{100} \right ) \right )=11$

Сделаем замену $1+\frac{p}{100}=k$
$100\left ( k^{2}-k \right )=11$

$100k^{2}-100k=11$

$100k^{2}-100k-11=0$

Его корни $x_{1}=-0,1$ и $x_{2}=1,1$ . Отрицательный корень нам не подходит, поэтому $x=1,1$ .

Сделав обратную замену, получим

$1+\frac{p}{100}=1,1$

Отсюда p = 10%.

Ответ: 10.

Еще одна задача – на этот раз о кредите.

2. Костя оформил кредитную карту на 244 тысячи рублей под 25% годовых и расплачивался ею при каждой покупке. Через неделю деньги на карте кончились, и Костя обнаружил, что обязан погасить долг тремя равными ежегодными платежами. Сколько собственных денег Костя выплатит банку сверх суммы, взятой в кредит?

Обозначим сумму кредита $S$ , где $S=244000$ рублей.

Проценты начисляются ежегодно, и после первого начисления процентов сумма долга равна
$\left ( 1+\frac{25}{100} \right )S=\frac{5}{4}S=kS$ .

Переменная $k$ - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов;
$k=1+\frac{p}{100}$ , где $p$ – процентная ставка банка.

Костя обязан ежегодно выплачивать банку $X$ рублей. После первой выплаты сумма долга равна $\frac{5}{4}S-X=kS-X$ рублей.

Банк снова начисляет р процентов, и сумма долга становится равна
$\left ( kS-X \right )k$ рублей, где $k=1,25=\frac{5}{4}$ . Костя снова перечисляет в банк $X$ рублей.

Теперь сумма долга равна
$\left ( kS-X \right )k-X$ рублей.

Банк в третий раз начисляет проценты, и сумма долга равна
$\left (\left ( kS-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k$ рублей.

И снова Костя переводит в банк $X$ рублей. Теперь его долг равен нулю.

$\left (\left ( kS-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X=0$ .

Выразим Х (ежегодный платеж Кости) из этого уравнения. Раскрыв скобки, получим:
$Sk^{3}-X\left ( k^{2}+k+1 \right )=0$ ;
$X=\frac{Sk^{3}}{k^{2}+k+1}$ .Осталось подставить числовые данные.

Будем вести расчеты в тысячах рублей, а значение $k$ возьмем равным $\frac{5}{4}$ . Это удобнее для расчетов, чем $1,25$ .

$X=\frac{Sk^{3}}{k^{2}+k+1}=\frac{244\cdot 5^{3}}{4^{3}\left ( \left ( \frac{5}{4} \right )^{2}+\frac{5}{4}+1 \right )}=\frac{244\cdot 125}{64\left ( \frac{25}{16} +\frac{5}{4}+1\right )}=\frac{244\cdot 125}{100+80+64}=125$ тысяч рублей.

Всего Костя выплатит банку $3X=375$ тысяч рублей, что на 375 – 244 = 131 тысячу рублей больше суммы, взятой в кредит.

Вот задача на вклады, где надо составить, упростить и решить систему уравнений. Постарайтесь справиться самостоятельно.

3. В начале года $\frac{5}{6}$ некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось — в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у. е. (условных единиц), к концу следующего — 749 у. е. Если бы первоначально $\frac{5}{6}$ суммы было вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у. е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.

Пусть первоначальная сумма равна $6S$ – чтобы удобнее было записать $\frac{1}{6}$ и $\frac{5}{6}$ этой суммы.

Пусть банк A начисляет p процентов годовых. Тогда сумма, внесенная на счет в банке А, за год увеличивается в $1+\frac{p}{100}=k$ раз, а за 2 года в $k^{2}$ раз.

Банк Б начисляет q процентов годовых. За год сумма, внесенная на счет в банке Б, увеличивается в $1+\frac{q}{100}=m$ раз, а за 2 года в $m^{2}$ раз.

Надо найти $Sk^{2}+5Sm^{2}$ . Составим систему уравнений:

$\left\{\begin{matrix}5Sk+Sm=670 \;\;\;\;(1)\\5Sk^{2}+Sm^{2}=749 \;\;(2)\\Sk+5Sm=710\;\;\;\;\;(3)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}6S\left ( m+k \right )=1380\\4S\left ( m-k \right )=40\\5Sk^{2}+Sm^{2}=749\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m+k=\frac{230}{S}\\m-k=\frac{10}{S}\\5Sk^{2}+Sm^{2}=749\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2m=\frac{240}{S}\vspace{2mm}\\2k=\frac{220}{S}\vspace{2mm}\\5Sk^{2}+Sm^{2}=749\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m=\frac{120}{S} \vspace{2mm}\\k=\frac{110}{S} \vspace{2mm}\\5Sk^{2}+Sm^{2}=749\end{matrix}\right.$

Подставим значения m и k в третье уравнение:

$S\left ( 5\cdot \frac{110^{2}}{S^{2}} +\frac{120^{2}}{S^{2}}\right )=749$

$\frac{100}{S}\cdot \left ( 5\cdot 121+144 \right )=749$

$\frac{100}{S}\cdot749=749$

$S=100$ .

Осталось вычислить $Sk^{2}+5Sm^{2}$ .

Ответ: 841.

Пора переходить к реальным задачам ЕГЭ о кредитах (задачи на вклады решаются похожим способом).

Запомним – есть всего две схемы решения задач на кредиты.

Первая – когда выплаты производятся равными платежами. Или есть информация о платежах.

Вторая – когда сумма долга уменьшается равномерно. Или есть информация о том, как уменьшается сумма долга.

Начнем с первой схемы.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов.

Это полезно