| Задачи ЕГЭ на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.
1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет» 2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах. Ко второму типу – задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга. |
|---|
В этой статье – решение задач на кредиты первого типа. Схема 1: Аннуитет. Известна информация о платежах.
1. 1 июня 2013 года Ярослав взял в банке \(900 000\) рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет \(1\) процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на \( 1\)%), затем Ярослав переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Ярослав может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более \(300 000\) рублей?
Решение:
Если бы банк не начислял проценты, то Ярослав смог бы вернуть долг за 3 месяца. Поскольку банк начисляет проценты, количество месяцев \(n\geq 4\).
Покажем, что за 4 месяца Ярослав выплатит кредит. Поскольку проценты начисляются на оставшуюся часть долга, максимальными они будут в первый месяц, когда сумма долга максимальна.
Проценты, начисленные за первый месяц, равны \(0,01 \cdot 900 = 9\) тысяч рублей.
Значит, проценты, начисленные за 4 месяца, не превышают \(9\cdot 4 = 36\) тысяч рублей. За 4 месяца Ярослав сможет выплатить и «тело кредита», и проценты.
Нам повезло с условием задачи – сумма долга равна \(900\) тысяч рублей, а максимальная выплата \(300\) тысяч рублей. Что делать, если условие не настолько очевидно?
Решим эту задачу в общем виде.
Пусть \(S\) – сумма кредита;
\(p\)% – процентная ставка банка.
Тогда после каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в \(k=1+\displaystyle \frac{p}{100}\) раза.
Пусть \(X\) – величина платежа.
После первого начисления процентов и первого платежа сумма кредита равна \(Sk-X\).
После второго \(\left (Sk-X \right )k-X\).
Например, долг выплачен равными платежами за 5 платежных периодов. Тогда:
\(\left (\left (\left (\left (Sk-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X=0;\)
\(Sk^{5}-X\cdot \left ( k^{4}+k^{3}+k^{2}+k+1 \right )=0.\)
Заметим, что в скобках – сумма 5 членов геометрической прогрессии, где \(b_{1}=1, \; q=k\).
Поскольку \(S_{n}=b_{1}\cdot \displaystyle \frac{q^{n}-1}{q-1}\), эта сумма равна \(\displaystyle \frac{k^{5}-1}{k-1}\).
Получим: \(Sk^{5}=X\cdot \displaystyle \frac{k^{5}-1}{k-1}\).
В общем случае для \(n\) платежных периодов
\(Sk^{n}=X\cdot \displaystyle \frac{k^{n}-1}{k-1}.\)
Из этой формулы находим \(S, X\) или \(n\).
Ответ: 4 месяца.
Одна из сложностей задачи ЕГЭ №15 на кредиты и вклады – большое количество вычислений. Мы стараемся упростить их, насколько возможно.
2. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке \(7 378 000\) рублей в кредит под \(12,5%\) годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на \(12,5\%\)), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Решение:
Обозначим сумму кредита \(S\), где \(S=7378\) тыс. рублей,
\(p=12,5\%; \; k=1+\displaystyle \frac{p}{100}=1+\frac{12,5}{100}=1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}.\)
Обратите внимание, что коэффициент \(k\) лучше записать в виде обыкновенной дроби, а не десятичной. Иначе при возведении в степень вы получите 9 знаков после запятой.
1) Савелий выплачивает кредит тремя равными платежами \(X\).
\(\left (\left ( S\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X=0\).
Раскрыв скобки, получим:
\(Sk^{3}-X\left ( k^{2}+k+1 \right )=0;\)
\(X=\displaystyle \frac{S\cdot k^{3}}{k^{2}+k+1}.\)
В этом случае Савелий выплатит банку \(3X\) рублей.
2) Савелий выплачивает кредит двумя равными платежами \(Y\):
\(\left ( S\cdot k-Y \right)\cdot k-Y=0;\)
\(Sk^{2}-Y\left ( k+1 \right )=0;\)
\(Y=\displaystyle \frac{Sk^{2}}{k+1}.\)
Всего Савелий выплатит \(2Y\) рублей.
Найдем разность \(3X-2Y\).
Дальше – просто арифметика. Действия с дробями. Считаем аккуратно! Сначала упрощаем формулы и только после этого подставляем численные данные.
\(3X-2Y=\displaystyle \frac{3S\cdot k^{3}}{k^{2}+k+1}-\frac{2S\cdot k^{2}}{k+1}=Sk^{2}\cdot \left ( \displaystyle \frac{3k}{k^{2}+k+1} -\frac{2}{k+1}\right )=\)
\(=S\cdot \displaystyle \frac{9^{2}}{8^{2}}\cdot \left ( \displaystyle \frac{3\cdot 9}{8\cdot \left ( \frac{9^{2}}{8^{2}}+\frac{9}{8} +1\right )}-\frac{2}{\frac{9}{8}+1} \right )=
S\cdot \displaystyle \frac{81}{64}\cdot \left ( \displaystyle \frac{3\cdot 9\cdot 8^{2}}{8\cdot \left ( 81+72+64 \right )} -\displaystyle \frac{2\cdot 8}{17}\right )=
S\cdot \displaystyle \frac{81}{8}\cdot \left (\displaystyle \frac{27}{217}-\frac{2}{17} \right )=\)
\(=S\cdot \displaystyle \frac{81}{8}\cdot \left ( \displaystyle \frac{459-434}{217\cdot 17} \right )=S\cdot \displaystyle \frac{81}{8}\cdot \frac{25}{217\cdot 17}=\displaystyle \frac{7378\cdot 81\cdot 25}{8\cdot 217\cdot 17}=\displaystyle \frac{434\cdot 81\cdot 25}{8\cdot 217}=\)
\(=\displaystyle \frac{217\cdot 81\cdot 25}{4\cdot 217}=\displaystyle \frac{81\cdot 25}{4}\) (тыс. рублей) \( = 506250\) рублей.
Ответ: 506250 рублей
3. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке \(4 290 000\) рублей в кредит под \(14,5%\) годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на \(14,5%\)), затем Дмитрий переводит в банк \(X\) рублей. Какой должна быть сумма \(X\), чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение:
Как упростить вычисления? Например, в этой задаче десятичные дроби удобно перевести в обыкновенные. А тысячи и миллионы записывать как степени числа \(10\). И не спешите перемножать числа. Возможно, удастся что-нибудь сократить.
Пусть \(S=4290000=429\cdot 10^{4}\) рублей.
\(p=14,5\) и тогда \(\displaystyle \frac{p}{100}=\frac{145}{1000}=\frac{29}{200};\)
\(k=1+\displaystyle \frac{p}{100}=\frac{229}{200}.\)
\(X\)- сумма ежегодной выплаты.
Согласно нашей схеме, \(\left (\left (S\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )=0\).
Раскроем скобки: \(Sk^{2}-X\left ( k+1 \right )=0\).
Выразим \(x\) из уравнения.
\(X=\displaystyle \frac{S\cdot k^{2}}{k+1}=\frac{429\cdot 10^{4}\cdot 229\cdot 229\cdot 200}{200\cdot 200\cdot 429}=229\cdot 229\cdot 50=\)
\(=\left ( 230-1 \right )^{2}\cdot 50=\left ( 230^{2}-460+1 \right )\cdot 50=2622050\) рублей. Обошлись без «столбиков»!
Ответ: 2622050 рублей
Еще одна задача о клиенте, который 31 декабря отправился в банк за кредитом. Та же схема!
4. 31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на \(a%\)), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по \(2 073 600\) рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по \(3 513 600\) рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?
Решение:
Пусть \(S\) - сумма кредита;
\(X=2073600\) рублей – ежегодная выплата при условии, что Никита погасил кредит за 4 года;
\(Y=3513600\) рублей – ежегодная выплата при условии, что Никита погасил кредит за 2 года.
Составим систему уравнений:
| \(\left\{\begin{matrix} S\cdot k^{4}-X(k^{3}+k^{2}+k+1)=0 \\ S\cdot k^{2}-Y(k+1)=0 \end{matrix}\right.\) |
(погашение кредита за 4 года), (погашение кредита за 2 года); |
\(\left\{\begin{matrix}
S\cdot k^{4}=X\left ( k^{3}+k^{2}+k+1 \right ),\\
S\cdot k^{2}=Y\left ( k+1 \right ).
\end{matrix}\right.\)
Разделим первое уравнение системы на второе. Этот прием часто применяется в таких задачах.
Получим: \(k^{2}=\displaystyle \frac{X}{Y}\cdot \frac{\left ( k^{3}+k^{2}+k+1 \right )}{k+1}.\)
Заметим, что \(k^{3}+k^{2}+k+1=\left ( k^{2}+1 \right )\left ( k+1 \right ).\)
Отсюда: \(k^{2}=\displaystyle \frac{X}{Y}\cdot \left ( k^{2}+1 \right )\);
\(\displaystyle \frac{Y}{X}=\frac{\left ( k^{2}+1 \right )}{k^{2}}.\)
Сделаем замену: \(k^{2}=q.\)
\(\displaystyle \frac{q+1}{q}=\frac{Y}{X}=\frac{35136}{20736}=\frac{11712}{6912};\)
\(1+\displaystyle \frac{1}{q}=1+\frac{4800}{6912};\)
\(q=\displaystyle \frac{6912}{4800}=\frac{2304}{1600}=1,44;\)
\(k=1,2=1+\displaystyle \frac{r}{100};\)
\(r=20.\)
Никита взял кредит под \(20\)% годовых.
Ответ: 20%
В следующей задаче платежи не равные, однако известен порядок выплат: каждый следующий платеж ровно вдвое меньше предыдущего. Решаем по той же схеме.
5. Герасим взял кредит в банке на сумму \(804 000\) рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на \(10\) процентов оставшуюся сумму долга, а затем Герасим переводит в банк очередной платеж. Известно, что Герасим погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Герасим заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.
Решение:
Как всегда, введем обозначения.
\(S=804\) (тыс. рублей); \(p=10\%;\;k=1+\displaystyle \frac{p}{100}=1,1\).
Пусть \(X\) – третий платеж. Тогда второй платеж равен \(2X\), а первый \(4X\).
Аналогично предыдущим задачам,
\(\left ( \left ( S\cdot k-4X \right )\cdot k-2X \right )\cdot k-X=0;\)
\(Sk^{3}-X\left ( 4k^{2}+2k+1 \right )=0.\)
\(X=\displaystyle \frac{Sk^{3}}{4k^{2}+2k+1}=\frac{804\cdot 1,331}{4\cdot 1,21+2,2+1}=\displaystyle \frac{804\cdot 1,331}{8,04}=100\cdot 1,331=133,1\) тыс. руб.
\(133100\) рублей
Решая задачу, ставьте себе дополнительную цель: максимально упростить вычисления.
Ответ: 133100 рублей.
Подведем итоги. Соберем основные принципы решения задач на кредиты первого типа в небольшую таблицу.
| Пусть \(S\) – сумма кредита, \(n\) – количество платежных периодов, \(p\) – процент по кредиту, начисляемый банком.
Коэффициент \(k=1+\displaystyle \frac{p}{100}\) показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов. |
|---|
| Схема погашения кредита:
\(\left (\left (\left (S\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )...\cdot k-X=0,\) \(X\) – очередная выплата, \(n\) – число платежных периодов. Раскроем скобки: \(S\cdot k^{n}-X\left ( k^{n-1}+k^{n-2}+...+k^{2}+k+1 \right )=0.\) Для выражения в скобках можем применить формулу суммы геометрической прогрессии. Получим: \(S\cdot k^{n}-X\cdot \displaystyle \frac{k^{n}-1}{k-1}=0.\) |
