| Задачи ЕГЭ на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.
1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет». 2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами». К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах. Ко второму типу — задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга. |
|---|
В этой статье — решение задач на кредиты второго типа. Схема 2: с дифференцированными платежами. В условии есть информация об изменении суммы долга.
Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.
1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на \(r\)% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(30\%\) больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(r\).
Решение:
Ключевая фраза в условии: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца». Другими словами, сумма долга уменьшается равномерно. Что это значит?
Если вначале сумма долга равна \(S\), то через месяц (после начисления процентов и первой выплаты) она уменьшилась до \(\displaystyle\frac{18}{19}S\). Еще через месяц будет \(\displaystyle\frac{17}{19}S\), затем \(\displaystyle\frac{16}{19}S\) — и так до нуля.
Пусть \(k=1+\displaystyle\frac{r}{100}.\)
Нарисуем схему погашения кредита.
Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.
Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов \(n = 19.\)
Вот клиент берет в кредит сумму \(S\). После начисления процентов сумма долга увеличилась в \(k\) раз и стала равна \(kS\).
После первой выплаты сумма долга уменьшилась на \(\displaystyle\frac{1}{19}S\) и стала равной \(\displaystyle\frac{18}{19}S\).
Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна \(\displaystyle\frac{18}{19}kS\). Таким образом, первая выплата
\(Z{}_{1}=S\cdot k-\displaystyle\frac{18}{19}S.\)
Вторая выплата: \(Z_2=\displaystyle\frac{18}{19}kS-\frac{17}{19}S;\)
\(\vdots\)
19-я выплата: \(Z_{19}=\displaystyle\frac{1}{19}kS.\)
Сумма всех выплат:
\(Z=Z_1+Z_2+\cdots +Z_{19}=\cdots =\left(kS-\displaystyle\frac{18}{19}S\right)+\left(\displaystyle\frac{18}{19}kS-\frac{17}{19}S\right)+\cdots +\displaystyle\frac{1}{19}kS=\)
\(=kS\left(1+\displaystyle\frac{18}{19}+\displaystyle\frac{17}{19}+\cdots +\frac{1}{19}\right)-S\left(\displaystyle\frac{18}{19}+\frac{17}{19}+\cdots +\frac{1}{19}\right).\)
Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой \(a_1=\displaystyle\frac{1}{19}\) и \(d=\displaystyle\frac{1}{19}.\)
В первой скобке — сумма 19 слагаемых, во второй сумма 18 слагаемых.
По формуле сумма арифметической прогрессии, \(S_n=\displaystyle\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.\)
\(\displaystyle\frac{1}{19}+\frac{2}{19}+\cdots +1=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{19}+\frac{19}{19}\right)\cdot 19=10; \)
\(\displaystyle\frac{1}{19}+\frac{2}{19}+\cdots +\frac{18}{19}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{19}+\frac{18}{19}\right)\cdot 18=9. \)
Получим, что общая сумма выплат \(Z=10kS-9S=10\left(1+\displaystyle\frac{r}{100}\right)S-9S=S+\displaystyle\frac{10r}{100}\cdot S=S+\Pi \),
где \(\Pi \) — величина переплаты. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит.
В нашей задаче \(\Pi =\displaystyle\frac{10r}{100}\cdot S=\displaystyle\frac{n+1}{2}\cdot \frac{r}{100}\cdot S. \)
Здесь \(n=19\) — количество платежных периодов.
По условию задачи \(\Pi =30\%S.\) Получим:
\(\displaystyle\frac{10r}{100}\cdot S=\frac{30}{100}S;\)
\(r=3.\)
Обратите внимание. Общая сумма выплат:
\( Z= S + \Pi\), где \(\Pi\) — величина переплаты, \(\Pi=S\cdot \displaystyle \frac{n+1}{2}\cdot \frac{r}{100}.\)
Ответ: 3
В следующих задачах мы будем (если это возможно) применять удобную формулу для переплаты без вывода. Однако на экзамене вам надо будет ее вывести. Иначе решение могут не засчитать.
2. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(3\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(30\%\) больше суммы, взятой в кредит?
Решение:
Пусть \(k=1+\displaystyle\frac{r}{100}.\)
По формуле для переплаты \(\Pi\) при выплате суммы кредита \(S\) дифференцированными платежами имеем:
\(\Pi=\displaystyle\frac{n+1}{200}rS, \)
где \(n\) — искомое число месяцев, а \(r = 3\) — величина платежной ставки в процентах.
По условию, переплата \(\Pi\) равна \(0,3S\), тогда:
\(0,3S=\displaystyle \frac{n+1}{2}\cdot 0,03S, \) откуда \(n=19.\)
Ответ: 19
3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| Дата | \(15.01\) | \(15.02\) | \(15.03\) | \(15.04\) | \(15.05\) | \(15.06\) | \(15.07\) |
| Долг (в процентах от кредита) | \(100\)% | \(90\)% | \(80\)% | \(70\)% | \(60\)% | \(50\)% | \(0\)% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на \(5\)%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Решение:
В этой задаче (как и в большинстве задач ЕГЭ) мы не сможем применить формулу для величины переплаты. Ведь погашение кредита происходит неравномерно. Первые 5 месяцев долг ежемесячно уменьшается на \(\displaystyle \frac{1}{10}\) своей величины, а в последний месяц сразу до нуля.
Запишем, чему равна каждая выплата, и найдем сумму всех выплат.
Первая выплата: \(Z_1=kS-0,9S.\)
Вторая: \(Z_2=0,9kS-0,8S.\)
Следующие: \(Z_3=0,8kS-0,7S;\)
\(Z_4=0,7kS-0,6S;\)
\(Z_5=0,6kS-0,5S; \)
\(Z_6=0,5kS. \)
Общая сумма выплат:
\(Z=kS\left(1+0,9+0,8+0,7+0,6+0,5\right)-S(0,9+0,8+0,7+0,6+0,5); \)
\(Z=kS\cdot 4,5-S\cdot 3,5=S\cdot \left(1,05\cdot 4,5-3,5\right)=S\cdot \left(1\cdot 4,5+0,05\cdot 4,5-3,5\right)=\left(1+0,05\cdot 4,5\right)\cdot S. \)
\(Z-S=S+4,5\cdot 0,05\cdot S-S=4,5\cdot 0,05S=45\cdot \displaystyle \frac{5}{1000}S=45\cdot \frac{5}{10}\cdot \displaystyle \frac{1}{100}S=22,5\cdot \displaystyle \frac{1}{100}S=22,5\%S. \)
\(\Pi=Z-S, \; \Pi\) - величина переплаты, \(Z\) - общая сумма выплат, \(S\) - сумма кредита.
Ответ: 22,5%
4. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере \(6,6\) млн. руб. Условия возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на \(r\)% по сравнению с концом предыдущего года.
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
- в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным \(6,6\) млн. руб.
- суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите \(r\), если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят \(12,6\) млн. рублей.
Решение:
\(S=6,6\) млн. руб.;
\(Z=12,6\) млн. руб.;
\(k=1+\displaystyle \frac{r}{100}; \)
\(X\) - ежегодные выплаты 2020 и 2021 годов.
\(Z=3\left(kS-S\right)+2X=3S\left(k-1\right)+2X; \)
\(\left(kS-X\right)\cdot k-X=0;\)
\(k^2S-X\left(k+1\right)=0; \)
\(X=\displaystyle \frac{k^2S}{k+1}. \)
\(\left\{\begin{matrix}
Z=3S(k-1)+2\displaystyle\frac{k^{2}S}{k+1}, \\ X=\displaystyle\frac{k^{2}S}{k+1}.
\end{matrix}\right.\)
\(12,6=3\cdot 6,6\left(k-1\right)+\displaystyle \frac{2\cdot k^2\cdot 6,6}{k+1};\)
\(126=3\cdot 66\left(k-1\right)+\displaystyle \frac{2\cdot k^2\cdot 66}{k+1};\)
\(42=66\left(k-1\right)+\displaystyle \frac{44k^2}{k+1};\)
\(21\left(k+1\right)=33\left(k^2-1\right)+22k^2;\)
\(21k+21=33k^2-33+22k^2;\)
\(55k^2-21k-54=0.\)
\(D={21}^2-4\cdot 55\cdot \left(-54\right)=12321={111}^2 \Longrightarrow k=\displaystyle \frac{132}{110}=\displaystyle \frac{12}{10}=\displaystyle \frac{120}{100}\Longrightarrow r=20.\)%
Ответ: 20%
В 2018 году появились, пожалуй, самые сложные задачи ЕГЭ такого типа. Вот большая статья о том, что же все-таки было на ЕГЭ-2018:
Разбор задачи №16 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.
Подведем итоги. Соберем всё, что узнали о решении задач на кредиты по второй схеме (с дифференцированными платежами) в небольшую таблицу:
| Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами). Применяется также, когда известно, как уменьшается сумма долга. |
|---|
|
Пусть \(S\) – сумма кредита, \(n\) – количество платежных периодов, Коэффициент \(k = 1+\displaystyle \frac{p}{100}\) показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов. |
| Схема погашения кредита для \(n\) платежных периодов.
1 выплата: \(Z_1=S\cdot k-S\cdot \displaystyle \frac{n-1}{n};\) 2 выплата: \(Z_2= S \cdot \displaystyle \frac{n-1}{n}\cdot k-S\cdot \frac{n-2}{n};\) \(n\)-ная выплата: \(Z_n=S\cdot \displaystyle \frac{1}{n}\cdot k.\) Сумма всех выплат: \(Z = Z_1 + Z_2 +...+ Z_n =\) \(=S\cdot k\left (1+\displaystyle \frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...+\displaystyle \frac{1}{n}\right )-S\left ( \displaystyle \frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...+\frac{1}{n} \right ).\) Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат: \(Z= S\cdot k\cdot\displaystyle \frac{n+1}{2}-S\cdot\frac{n-1}{2}=S+S\cdot\displaystyle \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}= S + \Pi,\) где \(\Pi\) – величина переплаты, \(\Pi=S\cdot \displaystyle \frac{n+1}{2}\cdot \displaystyle \frac{p}{100}.\) |
