Покажем еще один метод решения задач с параметрами.
Он применяется нечасто. Реже, чем графический и аналитический.
Можно сказать, что разные методы решения задач с параметрами – как связка ключей. Встретив задачу с параметром, мы подбираем к ней ключ, начиная с самых очевидных.
Первый ключ – графический метод. Мы задаем себе вопрос: «Можно ли это нарисовать?» Если ответ «Да», - рисуем. Если «Нет» - пробуем следующий ключ: можно ли сделать замену переменной?
Или, может быть, сначала упростить, а потом сделать замену переменной?
Есть и другие ключи. Может быть, в левой и правой частях функции разных типов? Это метод оценки. Или уравнение четно? Тогда использование четности. А может быть, уравнение удастся решить аналитическим методом?
А что делать, если ни один ключ не подходит? – Может быть, нам поможет использование свойств функций, а именно непрерывности, монотонности, нечетности.
1. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(64x^6-(3x+a)^3+4x^2-3x=a\) имеет более одного корня.
Решение:
На первый взгляд, ни один из «ключей» к этой задаче не подходят. Но давайте соберем слагаемые, содержащие \(3x+a\), в правой части уравнения.
\(64x^6+4x^2=(3x+a)^3+(3x+a)\)б,
а \(64x^6\) представим как \((4x^2)^3\).
\((4x^2)^3+4x^2=(3x+a)^3+(3x+a)\).
Как вы думаете – каким наименьшим количеством функций можно описать это уравнение? – Оказывается, всего одной!
Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\).
Наше уравнение можно записать так: \(f(4x^2)=f(3x+a)\). Слева и справа в нем значения одной и той же функции.
Функция \(f(t)=t^3+t\) непрерывна и нечетна. Кроме того, \(f'(t)=3t^2+1>0\) при всех \(t\), поэтому \(f(t)\)монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз.
Значит, если \(f(t_1)=f(t_2)\), то \(t_1=t_2\). Мы получили, что \(4x^2=3x+a\). Квадратное уравнение!
А условие задачи теперь формулируется так:
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(4x^2-3x-a=0\) имеет более одного корня.
Квадратное уравнение имеет 2 корня, если его дискриминант положителен.
\(D=9+16a > 0\), если \(a > -\displaystyle \frac{9}{16}\). Это ответ.
Вот похожая задача.
2. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение
\(x^6+(5a-8x)^3+3x^2+15a=24x\)
не имеет корней.
Решение:
Преобразуем уравнение
\(x^6+3x^2=(8x-5a)^3+3(8x-5a)\).
Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+3t\).
Запишем наше уравнение в виде: \(f(x^2)=f(8x-5a)\).
Функция \(f(t)=t^3+3t\) непрерывна и нечетная. Ее производная \(f(t)=3t^2+3\) всегда положительна, значит, \(f(t)\) монотонно возрастает, и каждое свое значение принимает ровно один раз.
Поэтому уравнение \(f(x^2)=f(8x-5a)\) равносильно уравнению \(x^2=8x-5a\). Это квадратное уравнение.
Соберем все его слагаемые в левую часть. Уравнение \(x^2-8x+5a=0\) не имеет корней, когда его дискриминант отрицателен, \(64-20a < 0\), \(a > \displaystyle \frac{16}{5}\).
Ответ: \(a > \displaystyle \frac{16}{5}\).
