Темы для повторения:
Геометрический смысл производной
Графический метод решения задач с параметрами
Друзья, мы продолжаем тему «Задачи с параметрами». Это №18 Профильного ЕГЭ по математике. В этой статье рассказано, как в решении задач с параметрами применяется производная.
Рассмотрим следующую задачу:
При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 решения?
Поскольку логарифмы определены для положительных чисел, Это значит, что
Сделаем замену При
каждому значению
соответствует два значения
Получим уравнение
В левой части уравнения — линейная функция, в правой — логарифмическая. Это функции разных типов. Пытаться справиться с таким уравнение аналитически — бесполезно. Попробуем графический способ.
Если , то
и условие
не выполняется. Рассмотрим по отдельности случаи
и
Пусть . Нарисуем графики функций
и
Функция
монотонно возрастает при
. Обозначим
Функция
монотонно убывает при
.
Докажем, что графики функций и
имеют единственную точку пересечения при
и любом
Рассмотрим функцию Функция
является монотонно возрастающей при
(как сумма монотонно возрастающих функций
и
), следовательно, каждое свое значение, в том числе и значение
, она принимает ровно один раз.
Уравнение имеет единственное решение при положительных
и
Значит, при всех
исходное уравнение имеет ровно 2 решения. Теперь случай
Уравнение имеет единственное решение, если прямая
касается графика функции
Мы помним, как записываются условия касания:
Учитывая, что , получим:
Мы получили, что, — точка касания. При этом
.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задачи с параметрами. Условия касания.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 08.05.2023