Задачи с параметрами. Условия касания.

Темы для повторения:

Графический метод решения задач с параметрами

Друзья, мы продолжаем тему «Задачи с параметрами». Это №18 Профильного ЕГЭ по математике. В этой статье рассказано, как в решении задач с параметрами применяется производная.

Рассмотрим следующую задачу:

При каких значениях параметра a уравнение $\left|x-2\right|=a{log}_2\left|x-2\right|$ имеет ровно 2 решения?

Поскольку логарифмы определены для положительных чисел, Это значит, что $x\ne 2.$

Сделаем замену При каждому значению $t$ соответствует два значения $x.$

Получим уравнение $t=a{log}_2t.$

В левой части уравнения — линейная функция, в правой — логарифмическая. Это функции разных типов. Пытаться справиться с таким уравнение аналитически — бесполезно. Попробуем графический способ.

Если $a=0$ , то $t=0$ и условие не выполняется. Рассмотрим по отдельности случаи и

Пусть . Нарисуем графики функций $y_1=\frac{t}{a}$ и $y_2={log}_2t.$ Функция $y_2={log}_2t$ монотонно возрастает при . Обозначим Функция $y_1=bt$ монотонно убывает при .

Докажем, что графики функций $y_1=bt$ и $y_2={log}_2t$ имеют единственную точку пересечения при и любом

Рассмотрим функцию $z(t)={y_2-y}_1={log}_2t-bt.$ Функция $z(t)$ является монотонно возрастающей при (как сумма монотонно возрастающих функций ${log}_2t$ и $-bt$ ), следовательно, каждое свое значение, в том числе и значение $z=0$ , она принимает ровно один раз.

Уравнение ${log}_2t-bt=0$ имеет единственное решение при положительных $t$ и Значит, при всех исходное уравнение имеет ровно 2 решения. Теперь случай

$y_{}={log}_2t$

Уравнение ${log}_2t=bt$ имеет единственное решение, если прямая $y=bt$ касается графика функции $y_{}={log}_2t.$ Мы помним, как записываются условия касания:

$\left\{\begin{matrix}f(x)=kx+b \\f$

В нашем случае

Учитывая, что $b=\frac{1}{a}$ , получим:

$\left\{ \begin{array}{c}\frac{t}{a}={log}_2t \\\frac{1}{a}=\frac{1}{tln2} \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}a=tln2 \\\frac{1}{ln2}={log}_2t \end{array}\right.\right.$

${log}_2e={log}_2t,\, \, t=e,\, \, a=eln2$

Мы получили, что, $t=e$ — точка касания. При этом $a=eln2$ .

Ответ:

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задачи с параметрами. Условия касания.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.05.2023

Это полезно