previous arrow
next arrow
Slider

Задачи с параметрами. Условия касания.

Темы для повторения:

Геометрический смысл производной

Графический метод решения задач с параметрами

Друзья, мы продолжаем тему «Задачи с параметрами». Это №18 Профильного ЕГЭ по математике. В этой статье рассказано, как в решении задач с параметрами применяется производная.

Рассмотрим следующую задачу:

При каких значениях параметра a уравнение \left|x-2\right|=a{log}_2\left|x-2\right| имеет ровно 2 решения?

Поскольку логарифмы определены для положительных чисел, Это значит, что x\ne 2.

Сделаем замену  При  каждому значению t соответствует два значения x.

Получим уравнение t=a{log}_2t.

В левой части уравнения — линейная функция, в правой — логарифмическая. Это функции разных типов. Пытаться справиться с таким уравнение аналитически — бесполезно. Попробуем графический способ.

Если a=0, то t=0 и условие  не выполняется. Рассмотрим по отдельности случаи  и  

Пусть . Нарисуем графики функций y_1=\frac{t}{a} и y_2={log}_2t. Функция y_2={log}_2t монотонно возрастает при . Обозначим  Функция y_1=bt монотонно убывает при .

Докажем, что графики функций y_1=bt и y_2={log}_2t имеют единственную точку пересечения при   и любом 

Рассмотрим функцию z(t)={y_2-y}_1={log}_2t-bt. Функция z(t) является монотонно возрастающей при  (как сумма монотонно возрастающих функций {log}_2t и -bt), следовательно, каждое свое значение, в том числе и значение z=0, она принимает ровно один раз.

Уравнение {log}_2t-bt=0 имеет единственное решение при положительных t и  Значит, при всех  исходное уравнение имеет ровно 2 решения. Теперь случай 

y_{}={log}_2t

Уравнение {log}_2t=bt имеет единственное решение, если прямая y=bt касается графика функции y_{}={log}_2t. Мы помним, как записываются условия касания:

\left\{\begin{matrix}f(x)=kx+b \\f

В нашем случае 

Учитывая, что b=\frac{1}{a}, получим:

\left\{ \begin{array}{c}\frac{t}{a}={log}_2t \\\frac{1}{a}=\frac{1}{tln2} \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}a=tln2 \\\frac{1}{ln2}={log}_2t \end{array}\right.\right.

{log}_2e={log}_2t,\, \, t=e,\, \, a=eln2

Мы получили, что, t=e — точка касания. При этом a=eln2.

Ответ: