Slider

Пробный Вариант ЕГЭ по математике. Вариант 5.

1. (Авторская задача) Самолет вылетает из Магадана в 15.15 и прилетает в Москву в 15.00 того же дня. Найдите среднюю скорость авиаперелета (в км/ч), если разница во времени между Москвой и Магаданом 8 часов, а длина воздушной трассы 6200 км.

Ответ: 800.

Решение:
Это реальная задача, которую я придумала во время полета из Магадана в Москву. Вылет и прилет всегда указываются по местному времени. Если бы самолет вылетел из Магадана ровно в 15.00 по местному времени, то он находился бы в пути 8 часов. Поскольку время вылета 15.15, самолет был в полете 7 часов 45 минут, то есть 7\frac{3}{4}= \frac{31}{4} часа. Дальше все просто.

S=v\cdot t;~ v=6200 км/ч : \frac{31}{4} часа = \frac{6200*4}{31}=800км/ч.

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разницу между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 7 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 16.

Решение:

Наибольшая температура 7 августа равна 30 градусов, наименьшая 14 градусов. Разница 16 градусов.

3. (Авторская задача) На координатной плоскости заданы точки

А (1;1), В (2; 3), С (-2; 0) и D (2; -2).

Найдите угол между векторами \vec{AB} и \vec{CD}.

Ответ: 90.

Решение:

Угол φ между векторами \vec{a} и \vec{b} находим по формуле:

cos \varphi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}};

\vec{AB} \cdot \vec{CD}=1\cdot 4-2\cdot 2=0

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Длины векторов \vec{AB} и \vec{CD} точно не равны нулю. Значит, угол между ними равен 90°.

4. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Ответ: 0,06.

Решение:

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть р – вероятность того, что чайник прослужил больше года.
p_1 – вероятность того, что он сломается на второй год, p_2 – вероятность того, что он прослужит больше двух лет. Очевидно, p = p_1 + p_2.
Тогда p_1 = p - p_2 = 0,93 - 0,87 = 0,06.

5. Решите уравнение sin \frac{\pi (4x-3)}{4}=1.
В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Ответ: -0.75.

Решение:

Сделаем замену t= \frac{\pi (4x-3)}{4}

Получим:sin t=1;~ t=\frac{\pi }{2}+2\pi n, n\in z,

Вернемся к переменной х:

\frac{\pi (4x-3)}{4}=\frac{\pi }{2}+2\pi n ;

\frac{4x-3}{4}=\frac{1}{2}+2 n ;

4x= 5 + 8n ;

x= \frac{5}{4} + 2n.

При n = 0 имеем: x= \frac{5}{4}.
При n = -1 получим наибольший отрицательный корень уравнения. Он равен - \frac{3}{4}= - 0,75.

6. (Авторская задача) Точка М расположена на стороне АВ треугольника АВС так, что АМ = 3, ВМ = 7. Площадь треугольника АСМ равна 15. Найдите площадь треугольника ВСМ.

Ответ: 35.

Решение:

Треугольники АСМ и ВСМ имеют одинаковую высоту. Отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; здесь значки треугольника надо поставить S_{\Delta ACM} : S_{\Delta BCM} = AM : BM;

15 :  S_{\Delta BCM}= 3 : 7;

S_{\Delta BCM} = 35.

7. На рисунке изображен график производной функции y= f (x).
При каком значении x эта функция принимает свое наибольшее значение
на отрезке [-4; -2] ?

Ответ: -4.

Решение: На отрезке [-4; -2] производная функции y= f (x) отрицательна. Значит, на этом отрезке функция y= f (x) убывает и свое наибольшее значение принимает в левом конце отрезка, то есть при x = -4.

8. Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Ответ: 6.

Решение:
Грань тетраэдра состоит из четырех треугольников площадью S каждый. У тетраэдра 4 грани, значит, площадь его поверхности равна 16S. Многогранник внутри тетраэдра (октаэдр) имеет 8 граней площадью S каждая, и площадь его поверхности равна 8S.

9. Найдите tg α, если \frac{7sin\alpha +13cos\alpha }{5sin\alpha -17cos\alpha }=3

Ответ: 8.

Решение:
Умножим обе части этого выражения на 5 sin\alpha-17cos\alpha .
Получим:
7sin\alpha +13cos\alpha =15sin\alpha -51cos\alpha

8 sin\alpha =64cos\alpha

tg\alpha = 8.

10. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается
в виде pV^a=const, где p (Па) — давление в газе, V — объём газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 16 раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее чем в 32 раза?

Ответ: 1,25

Решение:
Согласно понятиям термодинамики, в каждом состоянии газ характеризуется определенными параметрами – давлением, объемом, температурой. По условию задачи, газ переходит из одного состояния в другое так, что pV^a=const .Это значит,что

p_1V_1^a=p_2V_2^a

\frac{p_1}{p_2}=(\frac{V_2}{V_1})^a

Давление уменьшилось не менее чем в 32 раза, то есть
\frac{p_1}{p_2} \geq 32. Значит, (\frac{V_2}{V_1})^a \geq  32;

16^a \geq  32; , отсюда а ≥ 1,25. Наименьшее значение для а записываем в ответ.

11. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Ответ: 30

Решение:
Пусть улитка проползла в первый день a_1 метров, в последний – a_n метров, причем a_1  + a_n  = 10. Тогда за n дней она преодолела S_n=\frac{(a_1+a_n )n}{2} = 150 метров. Отсюда n=30.

12. Найдите наименьшее значение функции y=(x^2-8x+8)e^{2-x} на отрезке [1; 7].

Ответ: -4

Решение:

Хотите решить эту задачу за 10 секунд? Вспомните, что число е – иррациональное. Когда функция e^t принимает целое значение? Очевидно, при t = 0. Если t = 2-x, то х = 2. Именно это значение и надо подставить в формулу функции, чтобы найти ее наименьшее значение. Подставив, получим: у(2) = - 4.

Это решение для хитрых. Мы воспользовались тем, что ответы в первой части ЕГЭ по математике – это целые числа или конечные десятичные дроби. А теперь – честное решение!

y{}

Найдем знаки производной на отрезке [1; 7]

Точка 2 – точка минимума, y_{min}=-4.

13. (Авторская задача)
\sqrt{2}\begin{vmatrix} sinx\end{vmatrix}=tgx

а) Решить уравнение,

б) Найти все его корни на отрезке [-3π; 2π]

ОТВЕТ: а) \pi n, n\in Z, или \frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z

б) -3\pi;~ \frac{-11\pi}{4};~ -2\pi; ~\frac{-7\pi}{4};~ -\pi ; ~\frac{-3\pi}{4};~ 0;~  \frac{\pi}{4};~\pi; ~ \frac{5\pi}{4};~2\pi.

Решение:

Начнем с области допустимых значений уравнения: cosx≠0.

Раскроем модуль по определению. Мы помним, что \begin{vmatrix}z\end{vmatrix}=\left\{\begin{matrix}z, z\geq 0\\ -z, z\leq 0\end{matrix}\right.

Наше уравнение равносильно совокупности двух систем:

При отборе решений пользуемся тригонометрическим кругом.

Объединив решения, получим ответ в пункте (а) :
\pi n, n\in Z, или \frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z

В пункте (б) сделаем отбор решений с помощью двойного неравенства.

Дли серии \pi n, n\in Z, :

-3\pi \leq \pi n \leq 2\pi :

-3\leq  n \leq 2:

-3\pi, -2\pi, -\pi,0, \pi, 2\pi – решения.

Для серии \frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z

-3\pi \leq \frac{\pi}{4} +\pi n \leq 2\pi :

-3 \leq \frac{1}{4} +1 n \leq 2:

-3\frac{1}{4}\leq n \leq 1\frac{3}{4}:

Поскольку n – целое, n= -3, -2, -1, 0 или 1.

Решения на указанном промежутке:

\frac{-11\pi}{4};~\frac{-7\pi}{4}; ~\frac{-3\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; ~ \frac{5\pi}{4}.

14. Точка Р лежит на диаметре АВ сферы. При этом АР : РВ = 3 : 1. Через прямую АВ проведена плоскость α, а через точку Р – плоскость β, перпендикулярная АВ. Отрезок СD – общая хорда окружностей сечений сферы этими плоскостями, S – окружность пересечения сферы с плоскостью β, М – точка, лежащая на окружности S.
а) Докажите, что АМ = СD.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной М и основанием АВСD, если диаметр сферы равен 12, а М – наиболее удаленная от плоскости α точка окружности S.

Ответ: б) 108

Решение:

Поскольку диаметр шара, которым является отрезок АВ, лежит в плоскости α, – центр шара точка О также лежит в плоскости α.
Пусть Р – точка пересечения отрезков АВ и СD. Тогда Р∈α,Р ϵ β.
CD – диаметр окружности S, α∩β=CD.

Пусть α-плоскость чертежа.
Вспомним признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость α проходит через перпендикуляр к плоскости β, то плоскости α и β перпендикулярны.
В нашем случае β⊥АВ-и значит,β⊥α.
Точка М лежит на окружности S. Покажем, что АМ = СD.

Треугольники АРМ и АРС равны по двум катетам, значит, АМ=АС.
Поскольку точка Р делит отрезок АВ в отношении 3:1, а точка О – середина АВ, точка Р является серединой ОВ.
OP=\frac{1}{2}OB= \frac{1}{2}OC, так как ОВ и ОС – радиусы шара.
В треугольнике ОРС катет ОР вдвое меньше гипотенузы ОС, поэтому ∠РСО=30°,∠РОС=60°. Тогда ∠COD=120°=∠COA=∠AOD.
Равные дуги стягиваются равными хордами, AC=CD=AM и
∆ACD-правильный.

б) Пусть М – наиболее удалённая от плоскости α точка окружности S.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Наибольше возможное расстояние от точки М до плоскости α будет в случае, если проекцией точки М на плоскость α окажется точка Р. Тогда РМ ⊥α и длина отрезка РМ равна радиусу окружности S.

Найдем V_{ACBDM} -объем пирамиды с основанием АВСD и высотой РМ.
Поскольку АВ ⊥СD, площадь четырехугольника ACBD найдем как половину произведения его диагоналей.

S_{ACBD}=\frac{1}{2} AB\cdot CD.

AP=\frac{1}{2} AB =9, BP = \frac{1}{4} AB = 3,

По теореме о пересекающихся хордах, СР∙PD= АР∙ВР, отсюда

CP=PD=3\sqrt{3}, CD= 6\sqrt{3},

S_{ACBD}=\frac{1}{2}\cdot 12\frac{1}{2}6\sqrt{3}=36\sqrt{3};
PM = PC = 3\sqrt{3} - как радиус окружности S;
Тогда V=\frac{1}{3} S_{ACBD}\cdot PM=\frac{1}{3}\cdot36\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}=108.

15. (Авторская задача) Решите неравенство:
ln(x^2-x-2)\leq 1+ln \frac{x+1}{x-2}

Ответ: (2;~2+\sqrt{e}]

Решение:

Разложим x^2-x-2 на множители: x^2-x-2=(x+1)(x-2).

ln(x+1)(x-2)-ln\frac{x+1}{x-2}\leq 1

Найдем область допустимых значений неравенства:

(x+1)(x-2)>0  < = > \left[       \begin{gathered}         x < 1; \\         x >2, \\       \end{gathered} \right.

Преобразуем левую часть неравенства по формуле разности логарифмов с учетом ОДЗ. Неравенство равносильно системе:

Первое неравенство упростим по методу замены множителя. Множитель log_{h}f-1 заменяем на (h-1)(f-h). Логарифм здесь натуральный, его основание равно е, е>1.
Получим:

Отметим на числовой прямой точки 2+\sqrt{e} и 2-\sqrt{e}. Очевидно, что 2+\sqrt{e} >2. Но что больше, 2-\sqrt{e} или -1?
Поскольку е<4 и 2=\sqrt{4},получаем,что 2-\sqrt{e}>0 .

Значит, 2-\sqrt{e}>-1.

16. (Авторская задача) Четырехугольник АВСD вписан в окружность; лучи ВА и СD пересекаются в точке Р, углы ВРС и АСD равны 30°, BC= \sqrt{\frac{3}{2}}AB.

а) Докажите, что ВС и AD параллельны.
б) Найдите длину отрезка, соединяющего середины АС и ВD, если R = 2.

Ответ: MN=\sqrt{3}-1

Решение:

а) Пусть О – центр окружности, R – ее радиус.

а) Треугольник АСР – равнобедренный,

∠АСР= ∠АРС=30°, значит, ∠САР=120°, ∠ВАС=60°.

∠АОD=60°, так как центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Тогда треугольник АОD – правильный и AD=R.

По теореме синусов, \frac{BC}{sin\angle A}=2R. Следовательно, \frac{2\cdot BC}{\sqrt{3}}=2R; BC=R\sqrt{3}, тогда \sqrt{\frac{3}{2}}AB=R\sqrt{3} и AB=R\sqrt{2} .

Мы получили, что для треугольника АОВ выполняется теорема
Пифагора:

AB^2=AO^2+OB^2.

Значит, ∠АОВ=90°, ∠АСВ=45° ( как вписанный, опирающийся на ту же дугу).
Из треугольника ВРС, где ∠Р=30°, ∠С=75°, получим, что ∠АВС=180°- 30°-75°=75°. Значит, ABCD – равнобокая трапеция и AD∥ВС.

б) Докажем, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.

Пусть точка М – середина диагонали BD трапеции АВСD. Пусть точка К – середина стороны DC. Тогда МК – средняя линия треугольника BDC. Пусть МК пересекает диагональ АС в точке N. Тогда NK – средняя линия треугольника ADC, поскольку проходит через середину стороны DC параллельно AD, то есть N – середина АС. Таким образом, отрезок MN – это разность средних линий треугольников BDC и ADC, и его длина равна полуразности оснований.

MN=\frac{BC-AD}{2}=frac{R(\sqrt{3}-1)}{2}

Если R=2, то MN=\sqrt{3}-1

17. (Авторская задача) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 64 000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на p % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите p, если известно, что кредит будет полностью погашен за три года, причём в первый и второй год будет выплачено по 16000 рублей, а в третий год — 80 000 рублей.

Ответ: p=25\%

Решение:

Пусть S – сумма кредита; S=64 тыс. рублей

Х=16 тыс. рублей, Y=80 тыс. рублей.

k=1+\frac{p}{100}, где p – процент по кредиту. Составим уравнение для погашения кредита.

((S\cdot k-X)\cdot k-X)\cdot k-Y=0

((64k-16)\cdot k-16)\cdot k-80=0

64k^3-16k^2-16k-80=0;

4k^3-k^2-k-5=0.

Мы получили уравнение третьей степени. Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности кубов:

(4k^3-4)-(k^2+k+1)=0;

4(k-1)(k^2+k+1)-(k^2+k+1)=0;

(k^2+k+1)(4k-5)=0

Поскольку k^2+k+1>0 при всех k, получим, что 4k-5 =0.

Тогда k=\frac{5}{4};~  p=25\% .

18.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

|(|x^2-6x+5|-x^2+6x-13)|<a-a^2-(x-2)^2+2x-4

имеет единственное целое решение.

Ответ: a\in (\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2})

Решение:

Преобразуем зависящее от х выражение в правой части неравенства, раскрыв скобки:
-(x-2)^2+2x-4=-x^2+4x-4+2x-4=-x^2+6x-8=-(x^2-6x+8)

Сделаем замену z=x^2-6x+5.

Тогда -x^2+6x-13=-(x^2-6x+13)=-(z+8).

Неравенство примет вид:

|(|z|-z-8)|+z<a-a^2-3.

Обозначим a-a^2-3=b.

|(|z|-z-8)|+z<b

Оценим, какие значения может принимать z=x^2-6x+5. Выделим полный квадрат:

z=x^2-6x+5=x^2-6x+9-4=(x-3)^2-4\geq -4.

Заметим, что если х – целое, то z(x) – тоже целое.

Построим график функции y(z)=|(|z|-z-8)|+z при z≥-4.

y(z)=z+8, если z≥0,

y(z)=3z+8, если z<0, Функция y(z) монотонно возрастает, то есть каждое свое значение принимает ровно один раз.

Если b∈( -4;-1 ], неравенство y(z) < b имеет единственное целое решение z=-4

Если b≤-4 – решений нет. Если b > -1 - неравенство имеет более одного целого решения z.
Если z=z_0  – решение неравенства, то все z<z_0  также будут решениями неравенства.

Мы получили, что если b∈(-4; -1], то неравенство |(|z|-z-8)|+z < b имеет единственное целое решение z=-4.

Если z=(x-3)^2-4=-4, то х=3, и значит, исходное неравенство также имеет единственное целое решение х=3.

Найдем, при каких а это произойдет.

19*. На доске написано число N = 2345623456.

а) Можно ли, приписав к числу N справа две цифры, получить в результате число, кратное 72?

б) Можно ли, приписав к числу N справа три цифры, получить в результате число, кратное 792?

в) Сколькими способами можно вычеркнуть из числа N две цифры так, чтобы полученное число делилось на 12?

а) Число делится на 72 в том и в только том случае, когда оно делится на 9 и на 8 одновременно. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда на 9 делится сумма его цифр, а на 8 тогда и только тогда, когда на 8 делится число, составленное из трех его последних цифр.
Сумма цифр числа N равна 40.
Припишем к N цифры 3 и 2. Тогда сумма цифр полученного числа равна 45, а число, составленное из трех его последних цифр, – это 632. Таким образом, условия делимости на 72 выполнены.

б) Число делится на 729 тогда и только тогда, когда оно делится на 8, на 9 и на 11.
Вспомним признак делимости на 11: суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.

Легко проверить, что в числе N суммы цифр на четных и на нечетных позициях равны:
2 + 4 + 6 + 3 + 5 = 3 + 5 + 2 + 4 + 6
Значит, само число N делится на 11. Припишем к нему три цифры a, b и с.
Необходимо выполнение условий:
число, составленное из цифр а, b и с, должно делиться на 8,
сумма а + b + c равна 5, 14 или 23 – словом, при делении на 9 должна давать остаток 5,
b = а + с (или же разность а + с – b делится на 11).

Подходит число 176.

в) Чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы его сумма цифр была кратна 3, а число, составленное из двух последних цифр, было кратно 4.
Заметим, что вычеркивать последнюю цифру, 6, нельзя: чтобы число осталось четным, нужно будет вычеркнуть и предпоследнюю 5, после чего оставшееся число не будет делиться на 3.

Вычеркивать предпоследнюю цифру, 5, тоже нельзя: чтобы число было кратно 4, нужно будет вычеркивать и третью с конца 4, но тогда результат не будет делиться на 3.

Таким образом, последними цифрами остаются 5 и 6. При этом условие делимости на 4 выполняется.
Осталось условие делимости на 3. Поскольку сумма цифр числа N равна 40, сумма двух вычеркнутых цифр должна быть равна 4, 7 или 10 – то есть при делении на 3 давать остаток 1. Значения меньшие 4 или большие 10 в условиях задачи невозможны.

Получить 4 можно, вычеркнув две двойки (единственным способом).
Получить 7 – вычеркнув комбинацию «2; 5» или «3; 4». Комбинацию «2; 5» можно вычеркнуть двумя способами – поскольку предпоследнюю пятерку мы не трогаем и вместе с остающейся пятеркой можем взять одну из двух двоек.
Для комбинации «3; 4» возможны 4 способа.
Наконец, пару «4; 6» можно вычеркнуть двумя способами – поскольку мы не трогаем последнюю шестерку.
Всего получается 9 способов.

* Авторская задача Антона Акимова

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить