Slider

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 1

Высота правильной треугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите расстояние от вершины основания до плоскости противолежащей ей боковой грани.

Обратите внимание на эту задачу. Она содержит базовые схемы для решения очень многих задач по стереометрии.

Прежде всего, определим, где на нашем чертеже угол между плоскостью основания и боковой гранью SBC. Пусть точка М — середина ВС.

Проведем AM \in (ABC). AМ — медиана и высота правильного треугольника АВС, значит, AM \bot BC.

Проведем SM\in (SBC). SМ — медиана и высота равнобедренного треугольника SВС, значит, SM\bot BC.

Отсюда следует, что (ASM)\bot BC, а угол АМS — угол между боковой гранью и плоскостью основания, равный 60^{\circ} (по определению угла между плоскостями).

Будем искать расстояние от точки А до плоскости (SBC).

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Нам надо построить прямую, проходящую через точку А перпендикулярно плоскости SBC. Вот еще одно определение.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим этой плоскости.

Значит, надо построить отрезок с одним из концов в точке А, перпендикулярный двум пересекающимся прямым в плоскости (SBC).

Проведем AH\bot SM в плоскости (ASM).

Заметим, что нужно обязательно указывать, в какой плоскости идет построение. Мы не можем провести линию просто в воздухе. Необходима плоскость, в которой лежит эта линия.

Кроме того, AH\bot BC, так как AH \in (ASM), (ASM)\bot BC.

Получается, что отрезок АН перпендикулярен двум пересекающимся прямым в плоскости SBC, поэтому AH\bot (SBC). Значит, \left |AH \right | — расстояние от А до плоскости SBC.

Чтобы найти это расстояние, сделаем плоский чертеж сечения пирамиды плоскостью АSM.

Пусть точка О — проекция точки S на плоскость основания пирамиды. По условию, SO=4 как высота пирамиды.

Из треугольника SOM, где угол М равен 60^\circ, а угол О — прямой, найдем ОМ:

\begin{array}{l} {tg60^{\circ} =\frac{SO}{OM} } \\ {\sqrt{3} =\frac{4}{OM} } \\ {OM=\frac{4}{\sqrt{3} } } \end{array}

Катет, лежащий напротив угла OSM, равного 30^{\circ}, равен половине гипотенузы, поэтому SM=2OM=\frac{8}{\sqrt{3}} .

У правильной пирамиды вершина S проецируется в центр основания — точку О, которая является центром вписанной и описанной окружностей треугольника АВС. Также для правильного треугольника АВС точка О — точка пересечения его высот, медиан и биссектрис. Значит, по свойству медиан точка О лежит на АМ и делит АМ в отношении 2:1, считая от вершины А.

Следовательно, AM=3OM=\frac{12}{\sqrt{3}} .

Воспользуемся методом площадей, записав площадь треугольника АВС двумя способами.

S_{\vartriangle ABC} =\frac{1}{2} AM\cdot SO=\frac{1}{2} SM\cdot AH

\frac{12}{\sqrt{3} } \cdot 4=\frac{8}{\sqrt{3} } \cdot AH

AH=6

Ответ: 6.

Второй способ решения этой задачи:

Покажем, как решить данную задачу методом объемов. Суть метода — в том, чтобы разными способами записать объем нашей пирамиды, а затем найти неизвестное расстояние от вершины до противоположной грани, которое является высотой пирамиды. Ведь в качестве основания пирамиды мы можем выбрать любую ее грань.

Из прямоугольного треугольника SOM найдем OM = \frac{4}{\sqrt{3}}. Тогда SM = \frac{8}{\sqrt{3}} и AM = \frac{12}{\sqrt{3}}, так как OM = \frac{1}{3} AM (по свойству правильного треугольника). Отсюда AB = AC = BC = 8 ,

S_{ABC} = 16{\sqrt{3}}. Мы нашли площадь основания пирамиды.

Объем пирамиды V = {{1}\over{3}} \cdot S_{ABC} \cdot SO = \frac{64}{\sqrt{3}}.

С другой стороны, объем пирамиды V = {{1}\over{3}} \cdot S_{SBC} \cdot AH, где АН — неизвестное нам расстояние от вершины А до плоскости SBC, которое мы и хотим найти.

S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{32}{\sqrt{3}},

Отсюда AH = 6.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных