Задание 13 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Задание 13 Профильного ЕГЭ (Стереометрия) многие старшеклассники считают самой сложной задачей в варианте. И напрасно! Ничего особенного в ней нет. Просто начинать надо вовремя, лучше всего в десятом классе. И конечно, не с самых сложных задач. Действуем по порядку!

1. Подготовительный этап — решение задач по стереометрии из первой части ЕГЭ. Повторите формулы объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения. Посмотрите, как решаются типовые задачи.

2. Повторите необходимую теорию. Вот краткая Программа по стереометрии. Проверьте себя. Все ли вы знаете? В освоении стереометрии вам поможет наш ЕГЭ-Справочник.

3. Посмотрите, как правильно строить чертежи.

4. Выучили теорию? Применяем на практике — строим сечения.

5. Решаем простые задачи по стереометрии. И после этого — переходим к реальным задачам ЕГЭ.

6. Задачи 13 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из типов. Смотрите нашу Классификацию задач по стереометрии и методы их решения.

Вот примеры простых подготовительных задач по стереометрии:

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите расстояние от вершины основания до плоскости противолежащей ей боковой грани.

Посмотреть решение

2. В правильной шестиугольной призме $A\dots F_1$ , все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра $A_1B_1.$ Найдите угол между прямой АG и плоскостью $BDD_1.$

Посмотреть решение

3. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости $FB_1C_1.$

Посмотреть решение

4. В основании прямой призмы $ABCD \, \, A_1B_1C_1D_1$ лежит ромб. Найти угол между прямыми $AC$ и $BD_1.$

Посмотреть решение

5. Точка E — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Найдите угол между прямыми $BE$ и $B_1D.$

Посмотреть решение

6. В правильной треугольной призме $ABA_1A_1B_1C_1$ , все рёбра которой равны $\sqrt{3}$ , найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1.$

Посмотреть решение

7. Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Посмотреть решение

А теперь — реальные задачи по стереометрии, встретившиеся выпускникам на Профильном ЕГЭ по математике.

8. Точки М и N — середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О — точка пересечения медиан грани АВС.

а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.

б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD — правильный тетраэдр.

Посмотреть решение

9. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка $C_1$ , причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ , \, AB=\sqrt{2}, \, CC_1=2.$

а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ .$

б)Найдите объём цилиндра.

Посмотреть решение

10. В основании призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит правильный треугольник, вершина $C_1$ проецируется в центр Q основания АВС.

а) Докажите, что плоскости $ABC_1$ и $QCC_1$ перпендикулярны,

б) Найдите угол между прямой $AA_1$ и плоскостью $ABC_1,$ если боковое ребро призмы равно стороне основания.

Посмотреть решение

11.

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1} D_{1}$ плоскостью $\alpha$ , содержащей прямую $B D_{1}$ и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_{1}$ , если $AA_{1} = 6, \, AB = 4.$

Посмотреть решение

12. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем $AM : MB = CN : NB = 3 : 1.$

Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

Посмотреть решение

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 14

7 лайфхаков для решения задач по стереометрии:

1. Задача по стереометрии не решается без хорошего чертежа! Чертеж строим по линейке, черной ручкой, на клетчатой бумаге, по правилам построения чертежей. На ЕГЭ можно и нужно пользоваться линейкой! А бланк будет в клеточку.

2. Все, что нужно, на чертеже должно быть хорошо видно! Если вам не понравился чертеж — не сидите над ним, бросьте и нарисуйте другой. Одного объемного чертежа будет недостаточно — понадобится один или несколько плоских.

3. Учимся записывать решение кратко. Вспомним основные обозначения

$M\in (ABC)$ — точка M принадлежит плоскости АВС

$a\cap b=O$ — прямые а и b пересекаются в точке О

$a\parallel b$ — прямые а и b параллельны

$a\bot b$ — прямые а и b перпендикулярны

4. Почти в каждой задаче по стереометрии встречаются «особенные треугольники».

Давайте вспомним:

- В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в $\sqrt{2}$ раз больше катета

- В треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а больший катет в $\sqrt{3}$ раз больше меньшего.

5. Формула для площади прямоугольной проекции фигуры помогает найти угол между плоскостями. Здесь $\varphi$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

6. Метод объемов помогает найти расстояние от точки до плоскости. Надо выбрать треугольную пирамиду, записать ее объем двумя способами и найти из полученного уравнения нужное расстояние.

7. Сначала изучаем «классику». После этого, если время есть, можно браться и за координатный метод

Почему именно в таком порядке?

Конечно, координатный метод удобен. Однако большинство задач по стереометрии из вариантов ЕГЭ «заточены» под классику.

И если в решении задачи координатным методом вы сделаете арифметическую ошибку — можете потерять все баллы. Эксперт не будет разбираться, правильно ли вы посчитали определитель или смешанное произведение векторов. Потому что эти темы не входят в школьную программу, и составители «конструировали» задачи по стереометрии так, чтобы они решались обычными, «классическими» способами.

Задание 13 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Это полезно