Задание 14 Профильного ЕГЭ (Стереометрия) многие старшеклассники считают самой сложной задачей в варианте. И напрасно! Ничего особенного в ней нет. Просто начинать надо вовремя, лучше всего в десятом классе. И конечно, не с самых сложных задач. Действуем по порядку!
1. Подготовительный этап — решение задач по стереометрии из первой части ЕГЭ. Повторите формулы объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.
2. Повторите необходимую теорию. Вот краткая Программа по стереометрии. Проверьте себя. Все ли вы знаете? В освоении стереометрии вам поможет наш ЕГЭ-Справочник.
3. Посмотрите, как правильно строить чертежи.
4. Выучили теорию? Применяем на практике — строим сечения.
5. Решаем простые задачи по стереометрии. И после этого — переходим к реальным задачам ЕГЭ.
6. Задачи 14 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из типов. Смотрите нашу Классификацию задач по стереометрии и методы их решения.
Вот примеры простых подготовительных задач по стереометрии:
1. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите расстояние от вершины основания до плоскости противолежащей ей боковой грани.
2. В правильной шестиугольной призме \(A\dots F_1\), все ребра которой равны 1, точка \(G\) — середина ребра \(A_1B_1.\) Найдите угол между прямой \(AG\) и плоскостью \(BDD_1.\)
3. В правильной шестиугольной призме \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(FB_1C_1.\)
4. В основании прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежит ромб. Найти угол между прямыми \(AC\) и \(BD_1.\)
5. Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1.\) Найдите угол между прямыми \(BE\) и \(B_1D.\)
6. В правильной треугольной призме \(ABA_1A_1B_1C_1\), все рёбра которой равны \(\sqrt{3}.\) Найдите расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(BC_1.\)
7. Радиус основания конуса с вершиной \(P\) равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки \(A\) и \(B\), делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как \(1:5\). Найдите площадь сечения конуса плоскостью \(ABP.\)
А теперь — реальные задачи по стереометрии, встретившиеся выпускникам на Профильном ЕГЭ по математике.
8. Точки \(M\) и \(N\) — середины ребер соответственно \(AB\) и \(CD\) треугольной пирамиды \(ABCD, \ O,\) — точка пересечения медиан грани \(ABC.\)
а) Докажите, что прямая \(DO\) проходит через середину отрезка \(MN.\)
б) Найдите угол между прямыми \(MN\) и \(BC,\) если \(ABCD\) — правильный тетраэдр.
9. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A, \ B\) и \(C\), а на окружности другого основания — точка \(C_1\), причём \(CC_1\) — образующая цилиндра, а \(AC\) — диаметр основания. Известно, что \(\angle ACB=30^\circ , \, AB=\sqrt{2}, \, CC_1=2.\)
а) Докажите, что угол между прямыми \(AC_1\) и \(BC\) равен \(45^\circ .\)
б)Найдите объём цилиндра.
10. В основании призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит правильный треугольник, вершина \(C_1\) проецируется в центр \(Q\) основания \(ABC.\)
а) Докажите, что плоскости \(ABC_1\) и \(QCC_1\) перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой \(AA_1\) и плоскостью \(ABC_1,\) если боковое ребро призмы равно стороне основания.
11. Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1} D_{1}\) плоскостью \(\alpha\) , содержащей прямую \(B D_{1}\) и параллельной прямой \(AC\), является ромб.
а) Докажите, что грань \(ABCD\) — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_{1}\), если \( AA_{1} = 6, \, AB = 4. \)
12. На ребрах \(AB\) и \(BC\) треугольной пирамиды \(ABCD\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(AM : MB = CN : NB = 3 : 1. \)
Точки \(P\) и \(Q\) — середины ребер \(DA\) и \(DC\) соответственно.
а) Докажите, что точки \(P, \ Q, \ M\) и \(N\) лежат в одной плоскости.
б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 14
7 лайфхаков для решения задач по стереометрии:
1. Задача по стереометрии не решается без хорошего чертежа! Чертеж строим по линейке, черной ручкой, на клетчатой бумаге, по правилам построения чертежей. На ЕГЭ можно и нужно пользоваться линейкой! А бланк будет в клеточку.
2. Все, что нужно, на чертеже должно быть хорошо видно! Если вам не понравился чертеж — не сидите над ним, бросьте и нарисуйте другой. Одного объемного чертежа будет недостаточно — понадобится один или несколько плоских.
3. Учимся записывать решение кратко. Вспомним основные обозначения
\(M\in (ABC)\) — точка \(M\) принадлежит плоскости \(ABC.\)
\(a\cap b=O\) — прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O.\)
\( a\parallel b\) — прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
\(a\bot b\) — прямые \(a\) и \(b\) перпендикулярны.
4. Почти в каждой задаче по стереометрии встречаются «особенные треугольники»
Давайте вспомним:
- В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в \(\sqrt{2}\) раз больше катета.
- В треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а больший катет в \(\sqrt{3}\) раз больше меньшего.
5. Формула для площади прямоугольной проекции фигуры \(S_{проекции}=S_{фигуры}\cdot cos\varphi\) помогает найти угол между плоскостями. Здесь \(\varphi\) — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
6. Метод объемов помогает найти расстояние от точки до плоскости. Надо выбрать треугольную пирамиду, записать ее объем двумя способами и найти из полученного уравнения нужное расстояние.
7. Сначала изучаем «классику». После этого, если время есть, можно браться и за координатный метод
Почему именно в таком порядке?
Конечно, координатный метод удобен. Однако большинство задач по стереометрии из вариантов ЕГЭ «заточены» под классику.
И если в решении задачи координатным методом вы сделаете арифметическую ошибку — можете потерять все баллы. Эксперт не будет разбираться, правильно ли вы посчитали определитель или смешанное произведение векторов. Потому что эти темы не входят в школьную программу, и составители «конструировали» задачи по стереометрии так, чтобы они решались обычными, «классическими» способами.
