Задание 13 Профильного ЕГЭ (Стереометрия) многие старшеклассники считают самой сложной задачей в варианте. И напрасно! Ничего особенного в ней нет. Просто начинать надо вовремя, лучше всего в десятом классе. И конечно, не с самых сложных задач. Действуем по порядку!
1. Подготовительный этап — решение задач по стереометрии из первой части ЕГЭ. Повторите формулы объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения. Посмотрите, как решаются типовые задачи.
2. Повторите необходимую теорию. Вот краткая Программа по стереометрии. Проверьте себя. Все ли вы знаете? В освоении стереометрии вам поможет наш ЕГЭ-Справочник.
3. Посмотрите, как правильно строить чертежи.
4. Выучили теорию? Применяем на практике — строим сечения.
5. Решаем простые задачи по стереометрии. И после этого — переходим к реальным задачам ЕГЭ.
6. Задачи 13 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из типов. Смотрите нашу Классификацию задач по стереометрии и методы их решения.
Вот примеры простых подготовительных задач по стереометрии:
1. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите расстояние от вершины основания до плоскости противолежащей ей боковой грани.
2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра
Найдите угол между прямой АG и плоскостью
3. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости
4. В основании прямой призмы лежит ромб. Найти угол между прямыми
и
5. Точка E — середина ребра куба
Найдите угол между прямыми
и
6. В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны
, найдите расстояние между прямыми
и
7. Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.
А теперь — реальные задачи по стереометрии, встретившиеся выпускникам на Профильном ЕГЭ по математике.
8. Точки М и N — середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О — точка пересечения медиан грани АВС.
а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.
б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD — правильный тетраэдр.
9. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка , причём
— образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что
а) Докажите, что угол между прямыми и
равен
б)Найдите объём цилиндра.
10. В основании призмы лежит правильный треугольник, вершина
проецируется в центр Q основания АВС.
а) Докажите, что плоскости и
перпендикулярны,
б) Найдите угол между прямой и плоскостью
если боковое ребро призмы равно стороне основания.
11.
Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью
, содержащей прямую
и параллельной прямой АС, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями и
, если
12. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем
Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 14
7 лайфхаков для решения задач по стереометрии:
1. Задача по стереометрии не решается без хорошего чертежа! Чертеж строим по линейке, черной ручкой, на клетчатой бумаге, по правилам построения чертежей. На ЕГЭ можно и нужно пользоваться линейкой! А бланк будет в клеточку.
2. Все, что нужно, на чертеже должно быть хорошо видно! Если вам не понравился чертеж — не сидите над ним, бросьте и нарисуйте другой. Одного объемного чертежа будет недостаточно — понадобится один или несколько плоских.
3. Учимся записывать решение кратко. Вспомним основные обозначения
— точка M принадлежит плоскости АВС
— прямые а и b пересекаются в точке О
— прямые а и b параллельны
— прямые а и b перпендикулярны
4. Почти в каждой задаче по стереометрии встречаются «особенные треугольники».
Давайте вспомним:
- В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в раз больше катета
- В треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а больший катет в раз больше меньшего.
5. Формула для площади прямоугольной проекции фигуры помогает найти угол между плоскостями. Здесь
— угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
6. Метод объемов помогает найти расстояние от точки до плоскости. Надо выбрать треугольную пирамиду, записать ее объем двумя способами и найти из полученного уравнения нужное расстояние.
7. Сначала изучаем «классику». После этого, если время есть, можно браться и за координатный метод
Почему именно в таком порядке?
Конечно, координатный метод удобен. Однако большинство задач по стереометрии из вариантов ЕГЭ «заточены» под классику.
И если в решении задачи координатным методом вы сделаете арифметическую ошибку — можете потерять все баллы. Эксперт не будет разбираться, правильно ли вы посчитали определитель или смешанное произведение векторов. Потому что эти темы не входят в школьную программу, и составители «конструировали» задачи по стереометрии так, чтобы они решались обычными, «классическими» способами.