Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Задание 14 Профильного ЕГЭ (Стереометрия) многие старшеклассники считают самой сложной задачей в варианте. И напрасно! Ничего особенного в ней нет. Просто начинать надо вовремя, лучше всего в десятом классе. И конечно, не с самых сложных задач. Действуем по порядку!

1. Подготовительный этап — решение задач по стереометрии из первой части ЕГЭ. Повторите формулы объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения. Посмотрите, как решаются типовые задачи.

2. Повторите необходимую теорию. Вот краткая Программа по стереометрии. Проверьте себя. Все ли вы знаете? В освоении стереометрии вам поможет наш ЕГЭ-Справочник.

3. Посмотрите, как правильно строить чертежи.

4. Выучили теорию? Применяем на практике — строим сечения.

5. Решаем простые задачи по стереометрии. И после этого — переходим к реальным задачам ЕГЭ.

6. Задачи 14 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из типов. Смотрите нашу Классификацию задач по стереометрии и методы их решения.

Вот примеры простых подготовительных задач по стереометрии:

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите расстояние от вершины основания до плоскости противолежащей ей боковой грани.

Посмотреть решение

2. В правильной шестиугольной призме $A\dots F_1$ , все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра $A_1B_1.$ Найдите угол между прямой АG и плоскостью $BDD_1.$

Посмотреть решение

3. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости $FB_1C_1.$

Посмотреть решение

4. В основании прямой призмы $ABCD \, \, A_1B_1C_1D_1$ лежит ромб. Найти угол между прямыми $AC$ и $BD_1.$

Посмотреть решение

5. Точка E — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Найдите угол между прямыми $BE$ и $B_1D.$

Посмотреть решение

6. В правильной треугольной призме $ABA_1A_1B_1C_1$ , все рёбра которой равны $\sqrt{3}$ . Найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1.$

Посмотреть решение

7. Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Посмотреть решение

А теперь — реальные задачи по стереометрии, встретившиеся выпускникам на Профильном ЕГЭ по математике.

8. Точки М и N — середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О — точка пересечения медиан грани АВС.

а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.

б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD — правильный тетраэдр.

Посмотреть решение

9. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка $C_1$ , причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ , \, AB=\sqrt{2}, \, CC_1=2.$

а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ .$

б)Найдите объём цилиндра.

Посмотреть решение

10. В основании призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит правильный треугольник, вершина $C_1$ проецируется в центр Q основания АВС.

а) Докажите, что плоскости $ABC_1$ и $QCC_1$ перпендикулярны.

б) Найдите угол между прямой $AA_1$ и плоскостью $ABC_1,$ если боковое ребро призмы равно стороне основания.

Посмотреть решение

11. Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1} D_{1}$ плоскостью $\alpha$ , содержащей прямую $B D_{1}$ и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_{1}$ , если $AA_{1} = 6, \, AB = 4.$

Посмотреть решение

12. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем $AM : MB = CN : NB = 3 : 1.$

Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

Посмотреть решение

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 14

7 лайфхаков для решения задач по стереометрии:

1. Задача по стереометрии не решается без хорошего чертежа! Чертеж строим по линейке, черной ручкой, на клетчатой бумаге, по правилам построения чертежей. На ЕГЭ можно и нужно пользоваться линейкой! А бланк будет в клеточку.

2. Все, что нужно, на чертеже должно быть хорошо видно! Если вам не понравился чертеж — не сидите над ним, бросьте и нарисуйте другой. Одного объемного чертежа будет недостаточно — понадобится один или несколько плоских.

3. Учимся записывать решение кратко. Вспомним основные обозначения

$M\in (ABC)$ — точка M принадлежит плоскости АВС.

$a\cap b=O$ — прямые а и b пересекаются в точке О.

$a\parallel b$ — прямые а и b параллельны.

$a\bot b$ — прямые а и b перпендикулярны.

4. Почти в каждой задаче по стереометрии встречаются «особенные треугольники»

Давайте вспомним:

- В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в $\sqrt{2}$ раз больше катета.

- В треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а больший катет в $\sqrt{3}$ раз больше меньшего.

5. Формула для площади прямоугольной проекции фигуры помогает найти угол между плоскостями. Здесь $\varphi$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

6. Метод объемов помогает найти расстояние от точки до плоскости. Надо выбрать треугольную пирамиду, записать ее объем двумя способами и найти из полученного уравнения нужное расстояние.

7. Сначала изучаем «классику». После этого, если время есть, можно браться и за координатный метод

Почему именно в таком порядке?

Конечно, координатный метод удобен. Однако большинство задач по стереометрии из вариантов ЕГЭ «заточены» под классику.

И если в решении задачи координатным методом вы сделаете арифметическую ошибку — можете потерять все баллы. Эксперт не будет разбираться, правильно ли вы посчитали определитель или смешанное произведение векторов. Потому что эти темы не входят в школьную программу, и составители «конструировали» задачи по стереометрии так, чтобы они решались обычными, «классическими» способами.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 13 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Это полезно