Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

  1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
  2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.


Куб
V=a^3 S = 6a^2
d=a\sqrt{3}, d- диагональ

Параллелепипед
V=S_\text{OCH}h, h - высота

Прямоугольный параллелепипед
V=abc S = 2ab+2bc+2ac
d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

Призма
V=S_\text{OCH}h S = 2S_\text{OCH}+

Пирамида
V=\frac{1}{3}S_\text{OCH}h S = S_\text{OCH}+

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Задача 1.Объём куба равен 12. Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

Пирамида в кубе
Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб :-)

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше - читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.

Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.

Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Пирамида в кубе

Решение.

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.

P_\text{OCH}=8+6+6+2+2+4=28.

Пирамида в кубе

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

S_1=6\cdot 6=36 (больший квадрат), S_2=2\cdot 4=8 (маленький прямоугольник), S_\text{OCH}=36+8=44

Подставим все данные в формулу: и найдем площадь поверхности многогранника:

S=28\cdot12+2\cdot44=336+88=424.

Ответ: 424.

Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Пирамида в кубе

Решение.

Пирамида в кубе

Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой 1.
Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:

P_\text{OCH}=4+5+2+1+2+4=18.

Пирамида в кубе

Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:

S_1=4\cdot4=16;~S_2=2\cdot1=2 (большой прямоугольник), S_\text{OCH}=16+2=18 (маленький прямоугольник).

Найдем площадь полной поверхности: =18\cdot1+2\cdot18=54

Ответ: 54

Задача 4.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Пирамида в кубе

Решение.

Покажем еще один способ решения задачи.

Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами 4, 1 и 3, сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны 1.

И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4,1,3 и
куба со стороной 1, без удвоенной площади квадрата со стороной 1:

S=((4+1+4+1)\cdot 3+2\cdot 4 \cdot 1)+6\cdot 1-2\cdot 1=42.

Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.

Ответ: 42

Задача 5. . Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пирамида в кубе

Решение.

Пусть АВ = 5 см, ВС = 3 см, тогда \angle{ABC}=120^{\circ}

Из \Delta ABC по теореме косинусов найдем ребро АС:

AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC \cdot \cos120^{\circ}

AC^2=25+9-2\cdot5\cdot3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=47, ~AC = 7

Отрезок АС – большая сторона \Delta ABC, следовательно, ACC_1A_1 - большая боковая грань призмы.

Поэтому AC\cdot CC_1=35, или 7\cdot h=35, откуда h=5.

(5+3+7)\cdot5=75.

Ответ: 75

Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 6. Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13, ВС = 10; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пирамида в кубе

Решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.

Проведем AK\perp BC, тогда BC \perp DK (по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть DК – высота треугольника DВС.

\Delta ABC – равнобедренный (по условию АВ = АС), то высота АК, проведенная к основанию ВС, является и медианой, то есть ВК = КС = 5.

Из прямоугольного \Delta ABK получим:

AK=\sqrt{AB^2-BK^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.

Из прямоугольного \Delta DAK имеем:

DK=\sqrt{DA^2+AK^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.

\Delta ADB=\Delta ADC (по двум катетам), тогда S_{ADB}=S_{ADC}, следовательно

=2S_{ADB}+S_{BDC},=2\cdot\frac{1}{2}\cdot13\cdot9+\frac{1}{2}\cdot10\cdot15=117+75=192.

Ответ: 192

Задача 8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Пирамида в кубе

Решение:

Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Площадь поверхности пирамиды равна

=p\cdot h+a^2, где р – полупериметр основания, h - апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), a – сторона основания.

Значит, полупериметр основания p = 24 \cdot 2 = 48.

Апофему найдем по теореме Пифагора:

h=\sqrt{37^2-12^2}=\sqrt{(37-12)(37+12)}=\sqrt{25\cdot49}=5\cdot7=35

S = 48\cdot 35+24^2=1680+576=2256.

Ответ: 2256

Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?

Покажем два способа.

Первый способ

1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.
2.Найти объем параллелепипеда.
3.Найти объем лишней части фигуры.
4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Второй способ.

1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2.Найти объем каждого параллелепипеда.
3.Сложить объемы.

Задача 9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Пирамида в кубе

Решение.

Пирамида в кубе

1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту: V=9\cdot 4\cdot10=360

3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.

Его длина равна 9 – 4 = 5, ширина 4, высота 7, тогда его объем V_1=5\cdot4\cdot7=140.

4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры: V=360-140=220.

Ответ: 220.

Задача 10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Пирамида в кубе

Объем призмы равен V=S_{OCH}\cdot h, а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть h=6.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами 6 и 7, тогда площадь основания

S_{OCH}=\frac{1}{2}\cdot ab=\frac{1}{2}\cdot6\cdot7=21.

V=21\cdot6=126.

Ответ: 126

Задача 11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Пирамида в кубе

Решение.

Объем призмы равен V = S_{OCH}\cdot h

Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.

Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в 9^2 = 81 раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.

Объем воды не изменился, V=S_1\cdot h_1=S_2 \cdot h_2. Так как S_2=81S_1, высота воды h_2 должна быть в 81 раз меньше, чем h_1. Она равна 324:81 = 4 (см).

Ответ: 4

Задача 12. Объем параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1. Найдите объем треугольной пирамиды ABDA_1.

Пирамида в кубе

Решение.
Опустим из вершины A_1 высоту A_1H Н на основание ABCD.

=S_{ABCD}\cdot A_1H

=\frac{1}{3}S_{ABD}\cdot A_1H

Пирамида в кубе

Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно, S_{ABD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.

Имеем:

ABDA_1=\frac{1}{3}S_{ABD}\cdot A_1H=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}\cdot A_1H=\frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=\frac{1}{6}\cdot21=3,5.

Ответ: 3,5

Задача 13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а высота равна 6\sqrt{3}.

Пирамида в кубе

Решение.
По формуле объема пирамиды, .

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна S_{OCH}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.

S_{OCH}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}.

Объем пирамиды V=\frac{1}{3}\cdot16\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}=16\cdot6=96.

Ответ: 96

Задача 14. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен 32.

Пирамида в кубе

Решение.

По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.

Пусть AD=x, тогда S_{OCH}=x^2.

Так как точки М и К – середины АD и DС соответственно, то DM=DK=\frac{x}{2}.

S_{MDK}=\frac{1}{2}MD\cdot DK=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}=\frac{1}{8}x^2.

Площадь треугольника MDK, лежащего в основании новой призмы, составляет \frac{1}{8} часть площади квадрата в основании исходной призмы.
Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: V=S_{OCH}\cdot h, и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен 32:8=4.

Ответ: 4

Докажем полезную теорему.

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство:

Пирамида в кубе

Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.

S=a_1l+a_2l+\dots+a_nl,

S=(a_1+a_2+\dots+a_n)l,

S=P_{\perp}\cdot l.

Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.01.2023

Поделиться страницей

Это полезно

Теория вероятностей на ЕГЭ-2023 по математике
В варианте ЕГЭ-2023 две задачи по теории вероятностей — это №3 и №4. По заданию 4 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
Математика 100 баллов
Неравенства. 14 задание ЕГЭ
Ященко и реальный ЕГЭ