Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Окружность. Центральный и вписанный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хорда.

Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.

 

 

 

На рисунках — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

 

Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Угол \(\beta\) тоже можно назвать центральным. Только он опирается на дугу, которая больше \(180^\circ .\)

 

 

 

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

 

 

 

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

 

 

 

 

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой.

 

 

 

Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, центральный угол величиной в \(90\) градусов будет опираться на дугу, равную \(90^\circ\), то есть \(\displaystyle \frac{1}{4}\) круга. Центральный угол, равный \(60^\circ\), опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.

Докажем, что величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Пусть угол \(AOC\)— центральный и опирается на дугу \(AC\), тогда \(OA\) и \(OC\) — радиусы окружности.

Пусть \(\angle ABC\) — вписанный угол, опирающийся на дугу \(AC, \ AB\) и \(BC\) — хорды окружности.

Первый случай: Точка \(O\) лежит на \(BC\), то есть \(BC\) — диаметр окружности.

Треугольник \(AOB\) — равнобедренный, \(AO=OB\) как радиусы. Значит, \(\angle A=\angle B.\)

\(\angle AOC\) — внешний угол \(\triangle AOB,\) а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Получили, что \(\angle AOC=\angle A+\angle B=2\cdot \angle B=2\angle ABC.\)

Второй случай: Центр окружности точка \(O\) не лежит на \(BC\). Построим диаметр \(BK\):

Если точка \(O\) лежит внутри вписанного угла \(ABC\), как на рисунке слева, то

\(\angle AOC=\angle AOK+\angle KOC=2\angle ABK+2\angle KBC=2\angle ABC.\)

Если \(O\) лежит вне вписанного угла \(ABC\), как на рисунке справа, то

\(\angle AOC=\angle AOK-\angle COK=2\angle ABK-2\angle CBK=2\angle ABC.\)

Мы получили, что в каждом из этих случаев величина центрального угла в два раза больше, чем величина вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Теорема доказана.

При решении задач по геометрии также применяются следующие теоремы:

1. Равные центральные углы опираются на равные хорды.

2. Равные вписанные углы опираются на равные хорды.

3. Равные хорды стягивают равные дуги.

Докажем теорему 3.

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) равны. Докажем, что дуги \(AMB\) и \(CND\) имеют одинаковую градусную меру, то есть равны.

Доказательство:

По условию, \(AB = CD.\) Соединим концы хорд с центром окружности. Получим: \(AO = BO =CO = DO = r.\)

\(\triangle AOB=\triangle CPD\) по трем сторонам, отсюда следует, что центральные углы равны, т.е. \(\angle AOB=\angle COD.\) Значит, и дуги, на которые они опираются, также равны, т.е. дуги \(AMB\) и \(CND\) имеют одинаковую градусную меру.

Теорема доказана.

Верна и обратная теорема:

Если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Пусть дуги \(AMB\) и \(CND\) равны. Тогда \(\angle AOB=\angle COD\) как центральные углы, опирающиеся на эти дуги. Значит, треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle CPD\) равны по двум сторонам и углу между ними, и тогда \(AB=CD,\) что и требовалось доказать.

Эти две теоремы можно объединить в одну, которая формулируется так:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда равны дуги, которые они стягивают.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Окружность, центральный угол, вписанный угол.

1. ЕГЭ. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Ответ: 90.

2. ЕГЭ. Центральный угол на \(36 ^\circ\) больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 1

Решение:

Пусть центральный угол равен \(x\), а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \(y.\)

Мы знаем, что \(x=2y.\)

Отсюда \(2y=36+y,\)

\(y=36.\)

Ответ: 36.

3. ЕГЭ. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную \(\sqrt{2}.\) Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть хорда \(AB\) равна \(\sqrt{2}.\) Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим \(\alpha.\)

В треугольнике \(AOB\) стороны \(AO\) и \(OB\) равны 1, сторона \(AB\) равна \(\sqrt{2}.\) Нам уже встречались такие треугольники.

Очевидно, что треугольник \(AOB\) — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол \(AOB\) равен \(90{}^\circ .\) Тогда дуга \(ACB\) равна \(90{}^\circ ,\) а дуга \(AKB\) равна \(360{}^\circ - 90{}^\circ = 270 {}^\circ .\)

Вписанный угол \(\alpha\) опирается на дугу \(AKB\) и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135.

Ответ: 135.

4. ЕГЭ. Хорда \(AB\) делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как \(5:7\). Под каким углом видна эта хорда из точки \(C\), принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 3

Решение:

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки \(C\)?»

Представьте, что вы сидите в точке \(C\) и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде \(AB\). Так, как будто хорда \(AB\) — это экран в кинотеатре :-)

Очевидно, что найти нужно угол \(ACB.\)

Сумма двух дуг, на которые хорда \(AB\) делит окружность, равна \(360^\circ ,\) то есть \(5x+7x=360^ \circ.\)

Отсюда \(x=30^ \circ ,\) и тогда вписанный угол \(ACB\) опирается на дугу, равную \(210^ \circ .\) Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол \(ACB\) равен \(105^ \circ .\)

Ответ: 105.

5. ЕГЭ. Треугольник \(ABC\) вписан в окружность с центром \(O\). Найдите угол \(BOC\), если угол \(BAC\) равен \(32{}^\circ .\)

Решение:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\(\angle BAC=\displaystyle \frac{1}{2}\angle BOC.\)

Значит, \(\angle BOC=2\cdot \angle BAC=2\cdot 32{}^\circ =64{}^\circ. \)

Ответ: 64.

6. ЕГЭ. Найдите центральный угол \(AOB\), если он на \(15{}^\circ \) больше вписанного угла \(ACB\) , опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть величина угла \(AOB\) равна \(x\) градусов. Величина вписанного угла \(ACB\) равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть \(\displaystyle \frac{x}{2}\) градусов.

Получим уравнение: \(\displaystyle x-\frac{1}{2} x = 15{}^\circ,\) откуда \(x ={30}^\circ.\)

Ответ: 30.

7. ЕГЭ. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник \(AOB.\) Он равносторонний, так как \(AO = OB = AB = R.\)

Поэтому угол \(AOB=60.\) Вписанный угол \(ACB\) равен половине дуги, на которую он опирается, то есть \(30{}^\circ.\)

Ответ: 30.

8. ЕГЭ. Дуга окружности \(AC\), не содержащая точки \(B\), составляет \(200{}^\circ.\) А дуга окружности \(BC\), не содержащая точки \(A\), составляет \(80{}^\circ.\) Найдите вписанный угол \(ACB\). Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Дуга \(AB\) равна \(360{}^\circ -200{}^\circ -80{}^\circ -80{}^\circ .\) Тогда \(\angle ACB=40{}^\circ. \)

Ответ: 40.

Задачи ОГЭ по теме: Центральный и вписанный угол, градусная мера дуги

9. ОГЭ. Центральный угол \(AOB\) опирается на хорду \(AB\) длиной 6. При этом угол \(OAB\) равен \({60}^\circ.\) Найдите радиус окружности.

Решение:

Рассмотрим треугольник \(AOB\): он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу окружности.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Пусть \(AOB\) равен \(x\), тогда \(x + 60{}^\circ + 60{}^\circ = 180{}^\circ,\) где \(x = 60{}^\circ.\)

Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

Ответ: 6.

10. ОГЭ. В окружности с центром в точке \(O\) проведены диаметры \(AD\) и \(BC\), угол \(OCD\) равен \({30}^\circ.\) Найдите величину угла \(OAB\).

Решение:

Вписанные углы \(BCD\) и \(BAD\) опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны, угол \(OAB ={30}^\circ.\)

Ответ: 30.

11. ОГЭ. Найдите градусную меру центрального \(\angle MON\), если известно, что \(NP\) — диаметр, а градусная мера \(\angle MNP\) равна \(18{}^\circ.\)

Решение:

Треугольник \(MON\) — равнобедренный. Тогда \(\angle MON = 180{}^\circ - 2\cdot 18{}^\circ = 144{}^\circ.\)

Ответ: 144.

12. ОГЭ. Найдите \(\angle DEF\), если градусные меры дуг \(DE\) и \(EF\) равны \({150}^\circ\) и \({68}^\circ\) соответственно.

Решение:

Дуга \(FD\), не содержащая точку \(E\), равна \({360}^\circ - {150}^\circ - 68{}^\circ = 142{}^\circ.\) Вписанный угол \(DEF\), опирающийся на эту дугу, равен половине ее угловой величины, \(\angle DEF = 71{}^\circ.\)

Ответ: 71.

13. ОГЭ. В окружности с центром \(O \ AC\) и \(BD\) — диаметры. Угол \(ACB\) равен \({26}^\circ.\) Найдите угол \(AOD\). Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \(ACB\) — вписанный, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть \(AOB = 52{}^\circ.\)

Угол \(BOD\) — развернутый, поэтому угол \(AOD\) равен \({180}^\circ - 52{}^\circ = 128{}^\circ.\)

Ответ: 128.

Поделиться страницей

Это полезно

Теория вероятностей на ЕГЭ-2025 по математике
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
ЕГЭ Математика
Олимпиада ОММО:
100 баллов за 5 задач