previous arrow
next arrow
Slider

Конспекты для подготовки к ОГЭ по Математике

Автор Г.Д. Соловьева

Для быстрого и эффективного повторения материала при подготовке к ОГЭ по математике вам помогут опорные конспекты. Например, по таким темам:

Уравнения с одной переменной

Уравнение – это равенство с переменной.

Например:
x + 3= 0

4x + 1 = 6

x^{2} = 9

(x-5) \cdot (x+3) = 0

Корень уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Например, уравнение 2x + 3 = 7

Если x = 2, тогда 2\cdot 2+3 = 7. Число 2 – корень данного уравнения.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней.

Примеры:

Уравнения x^{2} = 49 и (x-7)(x+7) = 0 равносильны. Их корни 7 и -7.
Уравнения x^{2} = -5 и y-4 = y равносильны. Они оба не имеют корней

Правила решения уравнений:

1) Можем переносить слагаемое из одной части уравнения в другую, изменяя его знак на противоположный.

2) Можем умножать (делить) левую и правую части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

Линейное уравнение с одной переменной

Это уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b - некоторые числа.

Виды линейных уравнений:

1) ax = b, где a ≠ 0, b ≠ 0. Например, 2х = 4.

Такое уравнение имеет единственный корень: x=\frac{b}{a}

Например,

x=\frac{b}{a}4x= 1.

Корень уравнения: x=\frac{1}{4}

\frac{1}{3}x=12.

Решаем уравнение:

x=3\cdot 12, x = 36

2) Уравнение 0\cdot x = b

В этом уравнении a = 0, b \neq 0.

Такое уравнение не имеет корней.

Например:

2x + 9 = 2(x+6)

2x + 9 = 2x + 12

0 = 3.

3) Уравнение 0\cdot x = 0

Здесь a = 0, b= 0. Уравнение имеет бесконечно много корней. Любое число х является его корнем.

Например:

2(x + 4) + x = 8 + 3x

2x + 8 + x = 8 + 3x

0 = 0

Линейная функция

Прямая пропорциональность – это функция вида y=kx, где x - переменная, k\neq 0.

График прямой пропорциональности – прямая, проходящая через начало координат

Случай k > 0. Пример: y = 3x

Строим график.

x 0 1
y 0 3

Случай k < 0. Пример: y =-\frac{1}{2}x

x 0 4
y 0 -2

Линейная функция – это функция вида \boldsymbol{y = kx + b}, где \boldsymbol{x} – переменная, k и b числа.

График линейной функции – прямая

Пример для k > 0 – функция y = 2x + 3

ГРАФИК

Пример для k < 0 – функция y =-\frac{1}{2}x-2

График функции y = kx + b, где k\neq 0, - прямая, параллельная прямой y = kx.

y = kx – частный случай линейной функции y = kx + b при b = 0

Если k = 0, то y = b – прямая, параллельная оси x

Если k = 0, b = 0, то y = 0 – ось x

Взаимное расположение графиков линейных функций

Угловой коэффициент прямой – это число k в формуле функции y = kx + b

Если k > 0, то угол наклона к оси х – острый. Если k<0, то угол наклона к оси х – тупой.

Если для двух прямых угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются

РИСУНОК

Если для двух прямых угловые коэффициенты равны, прямые параллельны.

Например, y_{1}=\frac{1}{2} x+1, y_{2}=\frac{1}{2} x-2

РИСУНОК

Степень с натуральными показателями

Определение: Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

- возведение в степень

Выражение a^n - степень числа а,

а — основание степени (показывает, какой множитель умножается),

n — показатель степени (показывает, сколько множителей умножается).

Запомним: a^{2} \geq 0 для любого числа а.

a^{1} = a

a^{0} = 1 для любого а, не равного нулю.

Выражение «ноль в нулевой степени» не имеет смысла.

Примеры:

1) \left ( 1\frac{2}{5} \right )^{2}=\left ( \frac{7}{5} \right )^{2}=\left ( \frac{7}{5} \right )\cdot \left ( \frac{7}{5} \right )=\frac{49}{25} =1\frac{24}{25}

2) 0,3^{3}=0,3\cdot 0,3\cdot 0,3=0,027

3) -1^{4} + (-2)^{3} = -1 + (-8) = -9

4) -6^{2} - (-1)^{4} = -36 -1 = -37

5) 8 \cdot 0,5^{3} + 25 \cdot 0,2^{2} = 8 \cdot 0,125 + 25 \cdot 0,04 = 1 + 1 = 2

6) 8 \cdot 0,11^{0} + 4 \cdot 5^{2} = 8 \cdot 1 + 4\cdot 25 = 8 + 100 = 108

Свойства степени с натуральным показателем

Умножение степеней.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают. Основание остается прежним.

\boldsymbol{a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}

Примеры:

1) a^{8} \cdot a^{7} = a^{8+7} = a^{15}

2) a \cdot a^{3} \cdot a^{4} \cdot a^{2} = a^{1+3+4+2} = a^{10}

3) 5^{8}\cdot 25=5^{8}\cdot 5^{2}=5^{8+2}=5^{10}

 

Деление степеней

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитают показатель делителя. Основание остается прежним.

\boldsymbol{a^{m}:a^{n}=a^{m-n}}

Примеры:

1) a^{8} : a^{7} = a^{8-7} = a^{1} = a

2) a^{9} : a = a^{9-1} = a^{8}

3) 2^{6} : 4 = 2^{6} : 2^{2} = 2^{6-2} = 2^{4} = 16

Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели умножают.

\boldsymbol{(a^{n})^{m}=a^{n-m}}

Примеры:

1) (x^{3})^{2} = x^{3\cdot 2} = x^{6}

2) 25^{4} = (5^{2})^{4} = 5^{2\cdot 4} = 5^{8}

Возведение произведения в степень

При возведении произведения в степень в эту степень возводят каждый множитель и результаты перемножают.

\boldsymbol{(ab)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}

Примеры:

1) (2x)^{3} = 2^{3}\cdot x^{3} = 8x^{3}

2) 2^{4} \cdot 5^{4} = (2\cdot 5)^{4} = 10^{4} = 10000

Формулы сокращенного умножения

\boldsymbol{(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=(-a-b)^{2}}

\boldsymbol{(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=(b-a)^{2}}

\boldsymbol{a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}

Примеры:
1) (x+9)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot 9 + 9^{2} = x^{2}+18x+81

2) (2x-3y)^{2} = (2x)^{2} - 2\cdot 2x\cdot 3y +(3y)^{2} = 4x^{2}-12xy+9y^{2}

4) (-3a+b^{4})^{2} = (b^{4}-3a)^{2} = b^{8} - 6ab^{4} + 9a^{2}

5) a^2+12a+36 = a^2 + 2\cdot a\cdot 6 + 6^2 = (a+6)^2

\boldsymbol{a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 - ab + b^2 )}

\boldsymbol{a^{3} - b^{3} = (a-b) (a^{2} + ab+b^{2})}

Квадратное уравнение и разложение квадратного трехчлена на множители.

ax^{2} +bx+c =a (x-x_{1})(x - x_{2}), где x_1, x_2 - корни квадратного трехчлена

Квадратное уравнение – уравнение вида ax^{2} + bx +c = 0.

Дискриминант квадратного уравнения: \boldsymbol{D = b^2 - 4ac}.

Если D=b^{2} - 4ac > 0, уравнение имеет два корня x = \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}

Если D = b^2 - 4ac = 0, уравнение имеет один корень x = \frac{-b}{2a}

Если D=b^{2} - 4ac < 0, уравнение не имеет корней

Такие конспекты для подготовки к ОГЭ по математике легко сделать самим. Сделай конспекты по темам:

- Неравенство с одной переменной

- Квадратное неравенство

- Вероятность

- Квадратичная функция, обратная пропорциональность

- Арифметическая прогрессия

- Геометрическая прогрессия