Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.
Давайте повторим, что такое логарифмы:
Логарифм положительного числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени, в которую надо возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
\(\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}c}\Leftrightarrow { }\boldsymbol{{{ a}}^{{ c}}}{ }{ =}\boldsymbol{{ b}}. \)
При этом \(b> 0, \; a> 0, \; a\ne 1. \)
Основное логарифмическое тождество:
\(\boldsymbol{{{ a}}^{{{{ log}}_{{ a}} { b}}}{ =}{ b}{,}}\)
\(\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} {{ a}}^{{ c}}}{ =c}}. \)
Основные формулы для логарифмов:
\(\boldsymbol{log_a(bc)}=\boldsymbol{log_ab+log_ac}\) (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
\(\boldsymbol{log_a {{b} \over {c}}=log_ab-log_ac}\) (Логарифм частного равен разности логарифмов)
\(\boldsymbol{log_ab^m=mlog_ab}\) (Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
\(\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{{{ log}}_{{ c}} { b}}}{{{{ log}}_{{ c}} { a}}} }\)
\(\boldsymbol{{ }{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{ 1}}{{{{ log}}_{{ b}} { a}}}}. \)
Алгоритм решения логарифмических неравенств
Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду \(log_{a}x_{1}< log_{a}x_{2}.\) Знак здесь может быть любой: \(>,\; <\) Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.
И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени \({a}> 1\), знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что \(0< {a}< 1\) знак неравенства меняется на противоположный.
Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению \(x\) соответствует большее значение выражения \(log_{a}x\).
Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента \(x\) будет соответствовать меньшее значение \(log_{a}x \).
Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.
Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.
1. Рассмотрим неравенство: \(log_{3}x> log_{3}5.\)
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы \(x\) был положительным. Условие \(x> 0\) называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких \(x\) неравенство имеет смысл.
Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»
Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?
Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.
Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?
Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению \(x\) соответствует большее значение \(y\) и из неравенства \(log_{3}x_{1}> log_{3}x_{2}\) следует, что \(x_{1}> x_{2}\).
Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.
Итак, \(x> 5.\)
Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.
2. \(log_{5}(15+3x)> log_{5}2x.\)
Решение:
Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому
\(\left\{\begin{matrix}
15+3x> 0, \\2x> 0.
\end{matrix}\right.\)
Решая эту систему, получим: \(x> 0.\)
Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.
\(15+3x> 2x.\)
Получаем: \(x> -15.\)
Итак,
\(\left\{\begin{matrix}
x> 0, \\x> -15.
\end{matrix}\right.\)
Ответ: \(x> 0.\)
А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.
Приведем пример.
3. \(log_{\frac{5}{6}}(2x-9)\geq log_{\frac{5}{6}}x.\)
Решение:
Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть
\(\left\{\begin{matrix}
2x-9> 0, \\x> 0.
\end{matrix}\right.\)
Решая эту систему, получим: \(x > 4,5.\)
Поскольку \(\displaystyle \frac{5}{6}< 1\), логарифмическая функция с основанием \(\displaystyle \frac{5}{6}\) монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:
И если \(log_{\frac{5}{6}}(2x-9)\geq log_{\frac{5}{6}}x\), то \(2x-9\leq x.\)
Получим, что \(x\leq 9.\)
Учитывая, что \(x > 4,5\), запишем ответ: \(x \in (4,5; 9].\)
В следующей задаче логарифмическое неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.
Теперь более сложные неравенства:
4. Решите неравенство: \(2{{log}_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right)< {{log}_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}}.\)
Решение:
\(2{{\log }_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right)< {{\log }_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
1-x > 0, \\
3x+1 > 0, \\
{\left(1-x\right)}^2 > 3x+1; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\begin{array}{c}
x < 1, \\
x > \displaystyle -\frac{1}{3}, \end{array}
\\
1+x^2-2x > 3x+1; \end{array}
\right. \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\begin{array}{c}
x < 1, \\
x > \displaystyle -\frac{1}{3}, \end{array}
\\
x^2-5x > 0; \end{array}
\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x < 1, \\
x > \displaystyle -\frac{1}{3}, \\
x\left(x-5\right) > 0. \end{array}
\right. \)
Ответ: \(x\in \left(-\displaystyle \frac{1}{3};0\right)\)
5. Решите неравенство: \(log_{x^{2}+1}\displaystyle \frac{2\cdot 4^{x}-15\cdot 2^{x}+23}{4^{x}-9\cdot 2^{x}+14}\geq 0.\)
Решение:
ОДЗ: \(\left\{\begin{matrix}
x^{2}+1> 0, \\x^{2}+1\neq 1
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x\neq 0.\)
Если \(x\ne 0\), то \(x^2+1 > 1\). Нам повезло!
Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений \(x\), входящих в ОДЗ.
\(\displaystyle \frac{2\cdot 4^x-15\cdot 2^x+23}{4^x-9\cdot 2^x+14}\ge 1. \)
Сделаем замену: \(2^x=t, \; t > 0.\)
\(\displaystyle \frac{2t^2-15t+23}{t^2-9t+14}-1\ge 0; \)
\(\displaystyle \frac{2t^2-15t+23-t^2+9t-14}{t^2-9t+14}\ge 0; \)
\(\displaystyle \frac{t^2-6t+9}{t^2-9t+14}\ge 0;\)
\(\displaystyle \frac{{\left(t-3\right)}^2}{\left(t-2\right)\left(t-7\right)}\ge 0. \)
\(\left[ \begin{array}{c}
t=3, \\
t > 7, \\
t < 2; \end{array}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
2^x=3, \\
2^x >7, \\
2^x < 2, \end{array}
\right. \\
x\ne 0; \end{array}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
x={{\log }_2 3}, \\
x < 1, \\
x > {{\log }_2 7}, \end{array}
\right. \\
x\ne 0. \end{array}
\right.\right.\right. \)
Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной \(t\). И только после этого возвращаемся к переменной \(x\). Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!
Ответ: \(x\in \left(-\infty ; 0\right)\cup \left(0; 1\right)\cup \left\{{{\log }_2 3}\right\}\cup \left({{\log }_2 7}; +\infty \right).\)
6. \(4log_{x}4+3log_{\frac{4}{x}}4+4log_{16x}4\leq 0.\)
Решение:
Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:
\(\left\{\begin{matrix}
x> 0, \\\displaystyle \frac{4}{x}\neq 1,
\\x\neq 1,
\\16x\neq 1.
\end{matrix}\right.\)
Упростим эту систему:
\(\left\{\begin{matrix}
x> 0, \\x\neq 4,
\\x\neq 1,
\\x\neq \displaystyle \frac{1}{16}.
\end{matrix}\right.\)
Это область допустимых значений неравенства.
Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что
\(log_{a}b=\displaystyle \frac{1}{log_{b}a}.\)
В данном случае удобно перейти к основанию \(4\).
\(\displaystyle \frac{4}{log_{4}x}+\frac{3}{log_{4}\frac{4}{x}}+\frac{4}{log_{4}(16x)}\leq 0;\)
\(\displaystyle \frac{4}{log_{4}x}+\frac{3}{1-log_{4}x}+\frac{4}{2+log_{4}x}\leq 0.\)
Сделаем замену: \(log_{4}x=t:\)
\(\displaystyle \frac{4}{t}+\frac{3}{1-t}+\frac{4}{2+t}\leq 0.\)
Упростим неравенство и решим его методом интервалов:
\(\displaystyle \frac{(t-2)(t+\frac{4}{5})}{t(1-t)(2+t)}\geq 0.\)
Итак, \(t\in \left (- \infty; -2 \right )\cup \left [ -\displaystyle \frac{4}{5}; 0 \right )\cup (1; 2].\)
Вернемся к переменной \(x\):
\(\left[\begin{matrix}
log_{4}x< -2, \\-\displaystyle \frac{4}{5}\leq log_{4}x< 0,
\\1\leq log_{4}x< 2;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
0< x, \\\left[\begin{matrix}
x< \displaystyle \frac{1}{16}, \\4^{-\frac{4}{5}}\leq x< 1,
\\4< x\leq 16.
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\)
Мы добавили условие \(x> 0\) (из ОДЗ).
Ответ: \(x\in \left (0; \displaystyle \frac{1}{16}\right )\cup \left [4^{-\frac{4}{5}}; 1\right )\cup (4; 16].\)
Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов.
7. \(log_{\frac{1}{3}}\left (\displaystyle \frac{2-3x}{x}\right )\geq -1.\)
Решение:
Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений.
В данном случае \(\displaystyle \frac{2-3x}{x}> 0.\)
Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию \(3\):
\(log_{3}\displaystyle \frac{x}{2-3x}\geq -1.\)
Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию \(3\), а затем перейти к алгебраическому неравенству:
\(log_{3}\displaystyle \frac{x}{2-3x}\geq log_{3}\frac{1}{3};\)
\(\displaystyle \frac{x}{2-3x}\geq \frac{1}{3}.\)
Видим, что условие \(\displaystyle \frac{2-3x}{x}> 0\) (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.
\(\displaystyle \frac{x}{2-3x}-\frac{1}{3}\geq 0;\)
\(\displaystyle \frac{3x-1}{2-3x}\geq 0.\)
Решаем неравенство методом интервалов:
Ответ: \(x\in \left [\displaystyle \frac{1}{3};\frac{2}{3}\right ).\)
Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:
8. Решите неравенство: \({{\log }_{{ 3}} \left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}\right){ +}{{\log }_{\frac{{ 1}}{{ 3}}} \displaystyle \frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +1}\ge {{\log }_{{ 3}} \left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}\right)}}}. \)
Решение:
Неравенство равносильно системе:
\( \left\{ \begin{array}{c}
{{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10 > 0}, \\
{ x}{ +5 > 0}, \\
{{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20 > 0}, \\
{{\log }_{{ 3}} \left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}\right){ -}{{\log }_{{ 3}} \displaystyle \frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +}{{\log }_{{ 3}} { 3}}\ge {{\log }_{{ 3}} \left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}\right)}}}; \end{array}
\right. \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+5)(x+2) > 0, \\x+5 > 0, \\\left (x+2\right )\left (x+\displaystyle {10\over3}\right ) > 0, \\ log_3 \displaystyle \frac{(x+5)(x+2)\cdot 9\cdot 3}{(x+5)} > log_3\left( 3\left(x+2\right)\left (x+\displaystyle {{10}\over3{}}\right) \right ); \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > -2, \\9\cdot (x+2)\geq(x+2)\left(x+\displaystyle {{10}\over{3}}\right ); \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > -2,\\x+ \displaystyle {{10}\over{3}} \leq9; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > -2,\\x\leq \displaystyle {{17}\over{3}}. \end{matrix}\right.\)
\(x^2+7x+10=0;\)
\(D=0; \, x_{1,2}=\displaystyle \frac{-7\pm 3}{2};\)
\(x_1=-5x; \, x_2=-2.\)
\(3x^2+16x+20=0;\)
\(D=16^2-12\cdot 20=16\cdot(16-3\cdot 5 )=16; \)
\(x_{1,2}=\displaystyle {{-16 \pm4 }\over{6}};\)
\(x_1=-2; \, x_2=-\displaystyle {{10}\over{3}}.\)
Ответ: \({ x}\in \left({ -2};{ }\displaystyle \frac{{ 17}}{{ 3}}\right].\)
9. Решите неравенство: \(log_{2}\left (\left (5^{-x^{2}}-3\right )\left (5^{-x^{2}+9}-1\right )\right )+log_{2}\displaystyle \frac{5^{-x^{2}}-3}{5^{-x^{2}+9}-1}> log_{2}\left (5^{4-x^{2}}-2\right )^{2}.\)
Решение:
Выражение \(5^{-x^{2}}\), навязчиво повторяется в условии задачи.
Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, \(t>0\). Тогда
\(5^{-x^{2}+9}=5^{9}\cdot t;\)
\(5^{4-x^{2}}=5^{4}\cdot t=625t.\)
Неравенство примет вид:
\(log_{2}\left(\left(t-3\right)\left(5^{9}\cdot t-1\right)\right)+log_{2}\displaystyle \frac{t-3}{5^{9}\cdot t-1}> log_{2}(625t-2)^{2}.\)
Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что \(t>0\).
Кроме того, \((t-3)(5^{9}\cdot t-1)> 0.\)
Если это условие выполнено, то и частное \(\displaystyle \frac{t-3}{5^{9}\cdot t-1}\) будет положительным.
А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть \((625t-2)^{2}\).
Это означает, что \(625t-2\neq 0\), то есть \(t\neq \displaystyle \frac{2}{625}.\)
Аккуратно запишем ОДЗ
\(\left\{\begin{matrix}
t> 0, \\\displaystyle \frac{t-3}{5^{9}\cdot t-1}> 0,
\\625t-2\neq 0.
\end{matrix}\right.\)
Решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.
Итак, \(t\in \left (0; \displaystyle \frac{1}{5^{9}}\right )\cup (3; +\infty ).\)
Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:
«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.
\((t-3)^{2}> (625t-2)^{2}.\)
Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:
\((t-3)^{2}-(625t-2)^{2}> 0;\)
\((t-3-625t+2)(t-3+625-2)> 0;\)
\((-625t-1)(625t-5)> 0.\)
Вспомним, что \(t\in \left (0; \displaystyle \frac{1}{5^{9}}\right )\cup (3; +\infty )\) (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.
Получим, что \(t< \displaystyle \frac{1}{5^{9}}.\)
Вернемся к переменной \(x.\)
Поскольку \(t=5^{-x^{2}},\)
\(5^{-x^{2}}< 5^{-9}; \; -x^{2}< -9; \; x^{2}> 9; \; (x-3)(x+3)> 0.\)
Ответ: \(x\in (-\infty; -3)\cup(3;+\infty ).\)
10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.
\(log_{\left| x\right|-2}\left| x-3\right|\leq 0.\)
Решение:
Запишем ОДЗ:
\(\left\{\begin{matrix}
\left| x\right|-2> 0, \\\left| x\right|-2\neq 1,
\\\left| x-3\right|\neq 0.
\end{matrix}\right.\)
Воспользуемся формулой \(log_{a}b=\displaystyle \frac{log_{c}b}{log_{c}a}\) и перейдем к основанию \(10\):
\(\displaystyle \frac{lg\left| x-3\right|}{lg(\left| x\right|-2)}\leq 0.\)
Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию
\(g(x)=\displaystyle \frac{lg\left| x-3\right|}{lg(\left| x\right|-2)}.\)
Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.
Выражение \(lg\left| x-3\right|\) равно нулю, если \(\left| x-3\right|=1\), то есть \(x= 4\) или \(x= 2\).
Выражение \(lg(\left| x\right|-2)\) равно нулю, если \(\left| x\right|=3\), то есть в точках \(3\) и \(−3\).
Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.
Найдем знак функции \(g(x)\) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.
Ответ: \(x\in (-3; -2)\cup (3; 4].\)
11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.
\(log_{x+2}(36+16x-x^{2})-\displaystyle \frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}\geq 2.\)
Решение:
Запишем ОДЗ:
\(\left\{\begin{matrix}
x+2> 0, \\x+2\neq 1,
\\36+16x-x^{2}> 0,
\\x\neq 18;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x> -2, \\x\neq -1,
\\x\in (-2; 18).
\end{matrix}\right.\)
Итак, \(x\in (-2; -1)\cup (-1; 18).\) Это ОДЗ.
Обратите внимание, что \(36+16x-x^{2}=-(x+2)(x-18).\)
Это пригодится вам при решении неравенства.
Упростим исходное неравенство:
\(log_{x+2}((18-x)(x+2))-\displaystyle \frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}\geq 2;\)
\(1+log_{x+2}(18-x)-\displaystyle \frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}\geq 2.\)
Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки.
В первую вы попадете, если напишете, что \(log_{x+2}(x-18)^{2}=2log_{x+2}(x-18).\)
Ведь выражение \(log_{x+2}(x-18)\) в данном случае не имеет смысла, поскольку \(x< 18.\)
Как же быть? Вспомним, что \((x-18)^{2}=(18-x)^{2}.\) Тогда:
\(1+log_{x+2}(18-x)-\displaystyle \frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(18-x)^{2}\geq 2.\)
Вторая ловушка – попроще. Запись \(log^{2}_{a}b\) означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:
\(log^{2}_{x+2}(18-x)^{2}=(log_{x+_2}(18-x)^{2})^{2}=(2log_{x+2}(18-x))^{2}=4log^{2}_{x+2}(18-x).\)
Дальше – всё просто. Сделаем замену: \(log_{x+2}(18-x)=t.\)
\(t-\displaystyle \frac{1}{4}t^{2}\geq 1;\)
\(t^{2}-4t +4\leq 0;\)
\((t-2)^{2}\leq 0.\)
Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому \(t= 2\). Тогда
\(log_{x+2}(18-x)=2;\)
\(log_{x+2}(18-x)=log_{x+2}(x+2)^{2};\)
\(18-x=x^{2}+4x+4;\)
\(x^{2}+5x-14=0;\)
\(x_{1}=-7\) — не удовлетворяет ОДЗ;
\(x_{2}=2.\)
Ответ: \(2.\)
Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.
Читайте также: Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)
