previous arrow
next arrow
Slider

Логарифмические неравенства

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}c}\Leftrightarrow { }\boldsymbol{{{ a}}^{{ c}}}{ }{ =}\boldsymbol{{ b}}.

При этом b \textgreater 0,a \textgreater 0,a\ne 1.

Основное логарифмическое тождество:

\boldsymbol{{{ a}}^{{{{ log}}_{{ a}} { b}}}{ =}{ b}{,}}

\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} {{ a}}^{{ c}}}{ =c}}.

Основные формулы для логарифмов:

\boldsymbol{log_a(bc)}=\boldsymbol{log_ab+log_ac} (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

\boldsymbol{log_a {{b} \over {c}}=log_ab-log_ac} (Логарифм частного равен разности логарифмов)

\boldsymbol{log_ab^m=mlog_ab} (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{{{ log}}_{{ c}} { b}}}{{{{ log}}_{{ c}} { a}}} }

\boldsymbol{{ }{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{ 1}}{{{{ log}}_{{ b}} { a}}}}.

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду {{ } }{{log}_a {{ x}}_{{ 1}}}{ \textless }{{log}_a {{ x}}_{{ 2}}}. Знак здесь может быть любой: \textgreater , \textgreater , \textless . Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени {a} \textgreater 1, знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что 0 \textless {a} \textless 1, знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения {{log}_a x}.

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение {{log}_a x}.

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log3x > log35.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log3x1 > log3x2 следует, что x1 > x2.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log5(15 + 3x) > log52x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Итак,

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

3.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство 2{{log}_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right) \textless {{log}_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}}

2{{\log }_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right) \textless {{\log }_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}1-x \textgreater 0 \\3x+1 \textgreater 0 \\{\left(1-x\right)}^2 \textgreater 3x+1 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \end{array}\\1+x^2-2x \textgreater 3x+1 \end{array}\right. \Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \end{array}\\x^2-5x \textgreater 0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \\x\left(x-5\right) \textgreater 0 \end{array}\right.

Ответ: x\in \left(-\frac{1}{3};0\right)

5. Решите неравенство {{log}_{x^2+1} \frac{2\cdot 4^x-15\cdot 2^x+23}{4^x-9\cdot 2^x+14}\ge 0}

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{c}x^2+1 \textgreater 0 \\x^2+1\ne 1 \end{array}\right.\Longleftrightarrow x\ne 0

Если x\ne 0, то x^2+1 \textgreater 1. Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

\frac{2\cdot 4^x-15\cdot 2^x+23}{4^x-9\cdot 2^x+14}\ge 1

Сделаем замену 2^x=t, t ?0.

\frac{2t^2-15t+23}{t^2-9t+14}-1\ge 0

\frac{2t^2-15t+23-t^2+9t-14}{t^2-9t+14}\ge 0

\frac{t^2-6t+9}{t^2-9t+14}\ge 0

\frac{{\left(t-3\right)}^2}{\left(t-2\right)\left(t-7\right)}\ge 0

\left[ \begin{array}{c}t=3 \\t \textgreater 7 \\t \textless 2 \end{array}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}2^x=3 \\2^x \textgreater 7 \\2^x \textless 2 \end{array}\right. \\x\ne 0 \end{array}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x={{\log }_2 3} \\x \textless 1 \\x \textgreater {{\log }_2 7} \end{array}\right. \\x\ne 0 \end{array}\right.\right.\right.

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Ответ: x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;1\right)\cup \left\{{{\log }_2 3}\right\}\cup \left({{\log }_2 7};+\infty \right)

6.

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что


В данном случае удобно перейти к основанию 4.



Сделаем замену


Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Итак, t\in \left (- \infty;-2 \right )\cup \left [ -\frac{4}{5}; 0 \right )\cup (1;2].

Вернемся к переменной x:


Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:


Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.


Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

{{\log }_{{ 3}} \left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}\right){ +}{{\log }_{\frac{{ 1}}{{ 3}}} \frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +1}\ge {{\log }_{{ 3}} \left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}\right)}}}

Неравенство равносильно системе:

\left\{ \begin{array}{c}{{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10 \textgreater 0} \\{ x}{ +5 \textgreater 0} \\{{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20 \textgreater 0} \\{{\log }_{{ 3}} \left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}\right){ -}{{\log }_{{ 3}} \frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +}{{\log }_{{ 3}} { 3}}\ge {{\log }_{{ 3}} \left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}\right)}}} \end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+5)(x+2) \textgreater 0\\x+5 \textgreater 0 \\(x+2)(x+{10\over3}) \textgreater 0 \\log_3{{(x+5)(x+2)\cdot9 \cdot 3}\over(x+5)} \textgreater log_3\left ( 3(x+2)(x+{{10}\over3{}}) \right ) \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\9\cdot (x+2)\geq(x+2)(x+{{10}\over{3}}) \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\x+ {{10}\over{3}} \leq9 \end{matrix}\right. \textless = \textgreater \left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\x\leq {{17}\over{3}} \end{matrix}\right.

\newline x^2+7x+10=0 \hfill \newline D=0; \, x_{1,2} \newline = {{-7 \pm3 }\over{2}}; \newline x_1=-5x; \, x_2=-2; \newline 3x^2+16x+20=0 \newline D=16^2-12\cdot 20 = \newline =16\cdot(16-3\cdot 5 )=16; \newline x_{1,2}={{-16 \pm4 }\over{6}}; \newline x_1=-2; \, x_2=-{{10}\over{3}}

Ответ: { x}\in \left({ -2};{ }\frac{{ 17}}{{ 3}}\right].

9. Решите неравенство:

Выражение 5-x2навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда


Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (59 · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)2.

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:




Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Запишем ОДЗ:

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.


Запишем ОДЗ:


Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Как же быть? Вспомним, что (x - 18)2=(18 - x)2. Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:


Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

- не удовлетворяет ОДЗ;

Ответ: 2.

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Читайте также: Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Логарифмические неравенства повышенной сложности