Логарифмические неравенства

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую надо возвести $a$ , чтобы получить $b$ .

$\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}c}\Leftrightarrow { }\boldsymbol{{{ a}}^{{ c}}}{ }{ =}\boldsymbol{{ b}}.$

При этом $b \textgreater 0,a \textgreater 0,a\ne 1.$

Основное логарифмическое тождество:

$\boldsymbol{{{ a}}^{{{{ log}}_{{ a}} { b}}}{ =}{ b}{,}}$

$\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} {{ a}}^{{ c}}}{ =c}}.$

Основные формулы для логарифмов:

$\boldsymbol{log_a(bc)}=\boldsymbol{log_ab+log_ac}$ (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

$\boldsymbol{log_a {{b} \over {c}}=log_ab-log_ac}$ (Логарифм частного равен разности логарифмов)

$\boldsymbol{log_ab^m=mlog_ab}$ (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

$\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{{{ log}}_{{ c}} { b}}}{{{{ log}}_{{ c}} { a}}} }$

$\boldsymbol{{ }{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{ 1}}{{{{ log}}_{{ b}} { a}}}}.$

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду ${{ } }{{log}_a {{ x}}_{{ 1}}}{ \textless }{{log}_a {{ x}}_{{ 2}}}.$ Знак здесь может быть любой: $\textgreater , \textgreater , \textless .$ Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени ${a} \textgreater 1$ , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что $0 \textless {a} \textless 1,$ знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения ${{log}_a x}$ .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение ${{log}_a x}.$

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log₅(15 + 3x) > log₅2x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

$\left\{\begin{matrix} 15+3x>0;\\ 2x>0. \end{matrix}\right.$

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Итак,
$\left\{\begin{matrix} x>0;\\ x>-15. \end{matrix}\right.$

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

3. $log_{\frac{5}{6}}\left ( 2x-9 \right )\geq log_{\frac{5}{6}}x.$

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

$\left\{\begin{matrix} 2x-9>0;\\ x>0. \end{matrix}\right.$

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку $\frac{5}{6}<1$ , логарифмическая функция с основанием $\frac{5}{6}$ монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если $log_{\frac{5}{6}}(2x-9)\geq log_{\frac{5}{6}}x$ , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче логарифмическое неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство $2{{log}_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right) \textless {{log}_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}}$

$2{{\log }_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right) \textless {{\log }_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}1-x \textgreater 0 \\3x+1 \textgreater 0 \\{\left(1-x\right)}^2 \textgreater 3x+1 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \end{array}\\1+x^2-2x \textgreater 3x+1 \end{array}\right. \Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \end{array}\\x^2-5x \textgreater 0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \\x\left(x-5\right) \textgreater 0 \end{array}\right.$

Ответ: $x\in \left(-\frac{1}{3};0\right)$

5. Решите неравенство ${{log}_{x^2+1} \frac{2\cdot 4^x-15\cdot 2^x+23}{4^x-9\cdot 2^x+14}\ge 0}$

ОДЗ: $\left\{ \begin{array}{c}x^2+1 \textgreater 0 \\x^2+1\ne 1 \end{array}\right.\Longleftrightarrow x\ne 0$

Если $x\ne 0$ , то $x^2+1 \textgreater 1$ . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

$\frac{2\cdot 4^x-15\cdot 2^x+23}{4^x-9\cdot 2^x+14}\ge 1$

Сделаем замену $2^x=t, t \textgreater 0.$

$\frac{2t^2-15t+23}{t^2-9t+14}-1\ge 0$

$\frac{2t^2-15t+23-t^2+9t-14}{t^2-9t+14}\ge 0$

$\frac{t^2-6t+9}{t^2-9t+14}\ge 0$

$\frac{{\left(t-3\right)}^2}{\left(t-2\right)\left(t-7\right)}\ge 0$

$\left[ \begin{array}{c}t=3 \\t \textgreater 7 \\t \textless 2 \end{array}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}2^x=3 \\2^x \textgreater 7 \\2^x \textless 2 \end{array}\right. \\x\ne 0 \end{array}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x={{\log }_2 3} \\x \textless 1 \\x \textgreater {{\log }_2 7} \end{array}\right. \\x\ne 0 \end{array}\right.\right.\right.$

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Ответ: $x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;1\right)\cup \left\{{{\log }_2 3}\right\}\cup \left({{\log }_2 7};+\infty \right)$

6. $4log_{x}4+3log_{\frac{4}{x}}4+4log_{16x}4\leq 0$

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

$\left\{\begin{matrix} x>0;\\ \frac{4}{x}\neq 1;\\ x\neq 1;\\ 16x\neq 1. \end{matrix}\right.$

Упростим эту систему:

$\left\{\begin{matrix} x>0;\\ x\neq 4;\\ x\neq 1;\\ x\neq \frac{1}{16}. \end{matrix}\right.$

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

$log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}$
В данном случае удобно перейти к основанию 4.

$\frac{4}{log_{4}x}+\frac{3}{log_{4}\frac{4}{x}}+\frac{4}{log_{4}(16x)}\leq 0;$
$\frac{4}{log_{4}x}+\frac{3}{1-log_{4}x}+\frac{4}{2+log_{4}x}\leq 0$
Сделаем замену $log_{4}x=t:$

$\frac{4}{t}+\frac{3}{1-t}+\frac{4}{2+t}\leq 0$
Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

$\frac{(t-2)(t+\frac{4}{5})}{t(1-t)(2+t)}\geq 0.$

Итак, $t\in \left (- \infty;-2 \right )\cup \left [ -\frac{4}{5}; 0 \right )\cup (1;2].$

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ: $x\in \left (0;\frac{1}{16} \right )\cup \left [ 4^{-\frac{4}{5}};1 \right )\cup (4;16]$

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

$log_{\frac{1}{3}}\left ( \frac{2-3x}{x} \right )\geq -1$ Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

$\frac{2-3x}{x}>0$ Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

$log_{3}\frac{x}{2-3x}\geq -1.$ Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

$log_{3}\frac{x}{2-3x}\geq log_{3}\frac{1}{3};$
$\frac{x}{2-3x}\geq \frac{1}{3}.$ Видим, что условие $\frac{2-3x}{x}>0$ (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

$\frac{x}{2-3x}-\frac{1}{3}\geq 0;$
$\frac{3x-1}{2-3x}\geq 0;$ Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ: $x\in \left [ \frac{1}{3};\frac{2}{3} \right ).$

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

${{\log }_{{ 3}} \left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}\right){ +}{{\log }_{\frac{{ 1}}{{ 3}}} \frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +1}\ge {{\log }_{{ 3}} \left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}\right)}}}$

Неравенство равносильно системе:

$\left\{ \begin{array}{c}{{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10 \textgreater 0} \\{ x}{ +5 \textgreater 0} \\{{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20 \textgreater 0} \\{{\log }_{{ 3}} \left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}\right){ -}{{\log }_{{ 3}} \frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +}{{\log }_{{ 3}} { 3}}\ge {{\log }_{{ 3}} \left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}\right)}}} \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+5)(x+2) \textgreater 0\\x+5 \textgreater 0 \\(x+2)(x+{10\over3}) \textgreater 0 \\log_3{{(x+5)(x+2)\cdot9 \cdot 3}\over(x+5)} \textgreater log_3\left ( 3(x+2)(x+{{10}\over3{}}) \right ) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\9\cdot (x+2)\geq(x+2)(x+{{10}\over{3}}) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\x+ {{10}\over{3}} \leq9 \end{matrix}\right. \textless = \textgreater \left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\x\leq {{17}\over{3}} \end{matrix}\right.$

$\newline x^2+7x+10=0 \hfill \newline D=0; \newline \, x_{1,2} = {{-7 \pm3 }\over{2}}; \newline x_1=-5x; \, x_2=-2; \newline 3x^2+16x+20=0 \newline D=16^2-12\cdot 20 = \newline =16\cdot(16-3\cdot 5 )=16; \newline x_{1,2}={{-16 \pm4 }\over{6}}; \newline x_1=-2; \, x_2=-{{10}\over{3}}$

Ответ: ${ x}\in \left({ -2};{ }\frac{{ 17}}{{ 3}}\right].$

9. Решите неравенство:

$log_{2}\left ( \left ( 5^{-x^{2}}-3 \right )\left ( 5^{-x^{2}+9}-1 \right ) \right )+log_{2}\frac{5^{-x^{2}}-3}{5^{-x^{2}+9}-1}>log_{2}\left ( 5^{4-x^{2}}-2 \right )^{2}.$

Выражение 5^-x²навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

$5^{-x^{2}}=t$

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

$5^{-x^{2}+9}=5^{9}\cdot t$
$5^{4-x^{2}}=5^{4}\cdot t=625t$

Неравенство примет вид:

$log_{2}\left ( \left ( t-3 \right ) \left ( 5^{9}\cdot t-1 \right )\right )+log_{2}\frac{t-3}{5^{9}\cdot t-1}>log_{2}\left ( 625t-2 \right )^{2}$

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (5⁹ · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное $\frac{t-3}{5^{9}\cdot t-1}$ будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)².

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть $t\neq \frac{2}{625}$

Аккуратно запишем ОДЗ

$\left\{\begin{matrix} t>0;\\ \frac{t-3}{5^{9}\cdot t-1}>0;\\ 625t-2\neq 0 \end{matrix}\right.$

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак, $t\in \left ( 0;\frac{1}{5^{9}} \right ) \cup \left ( 3;+\infty \right ).$

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

$(t-3)^{2}>(625t-2)^{2}$

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

$(t-3)^{2}-(625t-2)^{2}>0;$
$(t-3-625t+2)(t-3+625t-2)>0;$
$(-624t-1)(626t-5)>0.$
Вспомним, что $t\in \left ( 0;\frac{1}{5^{9}} \right )\cup \left ( 3;+\infty \right )$ (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что $t<\frac{1}{5^{9}}$

Вернемся к переменной x

Поскольку $t=5^{-x^{2}},$

$5^{-x^{2}}<5^{-9};$ $-x^{2}<-9;$ $x^{2}> 9;$ $(x-3)(x+3)>0$ Ответ: $x\in (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )$

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

$log_{|x|-2}|x-3|\leq 0.$

Запишем ОДЗ:

$\left\{\begin{matrix} |x|-2>0;\\ |x|-2\neq 1;\\ |x-3|\neq 0. \end{matrix}\right.$

Воспользуемся формулой $log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$ и перейдем к основанию 10:

$\frac{lg|x-3|}{lg(|x|-2)}\leq 0.$ Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

$g(x)=\frac{lg|x-3|}{lg(|x|-2)}.$ Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ: $x\in \left ( -3; -2 \right )\cup (3;4].$

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

$log_{x+2}(36+16x-x^{2})-\frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}\geq 2.$
Запишем ОДЗ:

$\left\{\begin{matrix} x+2>0\\ x+2\neq 1\\ 36+16x-x^{2}>0\\ x\neq 18 \end{matrix}\right. \: \: \: \: \: \: \: \: \Leftrightarrow \: \: \: \: \: \left\{\begin{matrix} x>-2\\ x\neq -1\\ x\in (-2;18) \end{matrix}\right.$
Итак, $x\in (-2;-1)\cup (1;18).$ Это ОДЗ.

Обратите внимание, что $36+16x-x^{2}=-(x+2)(x-18)$ .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

$log_{x+2}((18-x)(x+2))-\frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}\geq 2;$

$1+log_{x+2}(18-x)-\frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(x-18)^{2}\geq 2;$

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что $log_{x+2}(x-18)^{2}=2log_{x+2}(x-18).$ Ведь выражение $log_{x+2}(x-18)$ в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Как же быть? Вспомним, что (x - 18)²=(18 - x)². Тогда:

$1+log_{x+2}(18-x)-\frac{1}{16}log^{2}_{x+2}(18-x)^{2}\geq 2.$ Вторая ловушка – попроще. Запись $log^{2}_{a}b$ означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

$log^{2}_{x+2}(18-x)^{2}=(log_{x+2}(18-x)^{2})^{2}=(2log_{x+2}(18-x))^{2}=4log^{2}_{x+2}(18-x).$
Дальше – всё просто. Сделаем замену $log_{x+2}(18-x)=t$

$t-\frac{1}{4}t^{2}\geq 1;$

$t^{2}-4t+4\leq 0;$

$(t-2)^{2}\leq 0.$

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

$log_{x+2}(18-x)=2;\\ \, \\ log_{x+2}(18-x)=log_{x+2}(x+2)^{2};\\ \, \\ 18-x=x^{2}+4x+4;\\ \, \\ x^{2}+5x-14=0;$

$x_{1}=-7$ - не удовлетворяет ОДЗ;

$x_{2}=2.$

Ответ: 2.

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Логарифмические неравенства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.05.2023

Это полезно