Slider

Логарифмические неравенства

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}c}\Leftrightarrow { }\boldsymbol{{{ a}}^{{ c}}}{ }{ =}\boldsymbol{{ b}}.

При этом b \textgreater 0,a \textgreater 0,a\ne 1.

Основное логарифмическое тождество:

\boldsymbol{{{ a}}^{{{{ log}}_{{ a}} { b}}}{ =}{ b}{,}}

\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} {{ a}}^{{ c}}}{ =c}}.

Основные формулы для логарифмов:

\boldsymbol{log_a(bc)}=\boldsymbol{log_ab+log_ac} (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

\boldsymbol{log_a {{b} \over {c}}=log_ab-log_ac} (Логарифм частного равен разности логарифмов)

\boldsymbol{log_ab^m=mlog_ab} (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{{{ log}}_{{ c}} { b}}}{{{{ log}}_{{ c}} { a}}} }

\boldsymbol{{ }{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{ 1}}{{{{ log}}_{{ b}} { a}}}}.

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду {{ } }{{log}_a {{ x}}_{{ 1}}}{ \textless }{{log}_a {{ x}}_{{ 2}}}. Знак здесь может быть любой: \textgreater , \textgreater , \textless . Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени {a} \textgreater 1, знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что 0 \textless {a} \textless 1, знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения {{log}_a x}.

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение {{log}_a x}.

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log3x > log35.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log3x1 > log3x2 следует, что x1 > x2.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log5(15 + 3x) > log52x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Итак,

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

3.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство 2{{log}_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right) \textless {{log}_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}}

2{{\log }_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right) \textless {{\log }_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}1-x \textgreater 0 \\3x+1 \textgreater 0 \\{\left(1-x\right)}^2 \textgreater 3x+1 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \end{array}\\1+x^2-2x \textgreater 3x+1 \end{array}\right. \Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \end{array}\\x^2-5x \textgreater 0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \\x\left(x-5\right) \textgreater 0 \end{array}\right.

Ответ: x\in \left(-\frac{1}{3};0\right)

5. Решите неравенство {{log}_{x^2+1} \frac{2\cdot 4^x-15\cdot 2^x+23}{4^x-9\cdot 2^x+14}\ge 0}

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{c}x^2+1 \textgreater 0 \\x^2+1\ne 1 \end{array}\right.\Longleftrightarrow x\ne 0

Если x\ne 0, то x^2+1 \textgreater 1. Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

\frac{2\cdot 4^x-15\cdot 2^x+23}{4^x-9\cdot 2^x+14}\ge 1

Сделаем замену 2^x=t, t ?0.

\frac{2t^2-15t+23}{t^2-9t+14}-1\ge 0

\frac{2t^2-15t+23-t^2+9t-14}{t^2-9t+14}\ge 0

\frac{t^2-6t+9}{t^2-9t+14}\ge 0

\frac{{\left(t-3\right)}^2}{\left(t-2\right)\left(t-7\right)}\ge 0

\left[ \begin{array}{c}t=3 \\t \textgreater 7 \\t \textless 2 \end{array}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}2^x=3 \\2^x \textgreater 7 \\2^x \textless 2 \end{array}\right. \\x\ne 0 \end{array}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x={{\log }_2 3} \\x \textless 1 \\x \textgreater {{\log }_2 7} \end{array}\right. \\x\ne 0 \end{array}\right.\right.\right.

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Ответ: x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;1\right)\cup \left\{{{\log }_2 3}\right\}\cup \left({{\log }_2 7};+\infty \right)

6.

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что


В данном случае удобно перейти к основанию 4.



Сделаем замену


Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Итак, t\in \left (- \infty;-2 \right )\cup \left [ -\frac{4}{5}; 0 \right )\cup (1;2].

Вернемся к переменной x:


Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:


Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.


Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

{{\log }_{{ 3}} \left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}\right){ +}{{\log }_{\frac{{ 1}}{{ 3}}} \frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +1}\ge {{\log }_{{ 3}} \left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}\right)}}}

Неравенство равносильно системе:

\left\{ \begin{array}{c}{{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10 \textgreater 0} \\{ x}{ +5 \textgreater 0} \\{{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20 \textgreater 0} \\{{\log }_{{ 3}} \left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}\right){ -}{{\log }_{{ 3}} \frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +}{{\log }_{{ 3}} { 3}}\ge {{\log }_{{ 3}} \left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}\right)}}} \end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+5)(x+2) \textgreater 0\\x+5 \textgreater 0 \\(x+2)(x+{10\over3}) \textgreater 0 \\log_3{{(x+5)(x+2)\cdot9 \cdot 3}\over(x+5)} \textgreater log_3\left ( 3(x+2)(x+{{10}\over3{}}) \right ) \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\9\cdot (x+2)\geq(x+2)(x+{{10}\over{3}}) \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\x+ {{10}\over{3}} \leq9 \end{matrix}\right. \textless = \textgreater \left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\x\leq {{17}\over{3}} \end{matrix}\right.

\newline x^2+7x+10=0 \hfill \newline D=0; \, x_{1,2} \newline = {{-7 \pm3 }\over{2}}; \newline x_1=-5x; \, x_2=-2; \newline 3x^2+16x+20=0 \newline D=16^2-12\cdot 20 = \newline =16\cdot(16-3\cdot 5 )=16; \newline x_{1,2}={{-16 \pm4 }\over{6}}; \newline x_1=-2; \, x_2=-{{10}\over{3}}

Ответ: { x}\in \left({ -2};{ }\frac{{ 17}}{{ 3}}\right].

9. Решите неравенство:

Выражение 5-x2навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда


Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (59 · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)2.

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:




Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Запишем ОДЗ:

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.


Запишем ОДЗ:


Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Как же быть? Вспомним, что (x - 18)2=(18 - x)2. Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:


Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

- не удовлетворяет ОДЗ;

Ответ: 2.

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Читайте также: Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных