Нарисована единичная окружность то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями OX и OY , в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Полный круг 360 градусов.
Точка с координатами (1; 0) соответствует углу в 0 градусов. Точка с координатами ( 1; 0) отвечает углу в \(180^{\circ}\), точка с координатами (0; 1) углу в \(90^{\circ}\). Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу \(\alpha\).
Синусом угла \(\alpha\) называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу \(\alpha\).
Например:
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус абсцисса (x), синус ордината (y). Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от 1 до 1:
\(-1\leq \sin \alpha \leq 1\).
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
| \(\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1\) |
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать от-дельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу \(\alpha\), смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по x (это косинус угла \(\alpha\)) и по y (это синус угла \(\alpha\)).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов, то есть полный круг, соответствует 2\(\pi\) радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке угол будет отрицательным. Например, угол \(30^{\circ}\) это угол величиной в \(30^{\circ}\) , который отложили от положительного направления оси x по часовой стрелке. Легко заметить, что
\(\sin( -\alpha )=-\sin \alpha .\)
Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол \(732^{\circ}\) это два полных оборота по часовой стрелке и еще \(12^{\circ}\). Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по x и по y, значения синуса и косинуса повторяются через \(360^{\circ}\). То есть:
\(\sin( \alpha +360^{\circ}\cdot n )=\sin \alpha ,\)
где n целое число. То же самое можно записать в радианах:
\(\sin( \alpha +2\pi n )=\sin \alpha .\)
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. Ведь
| \(\varphi\) | 0 | \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\) | \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\) | \(\displaystyle \frac{\pi }{3}\) | \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) | \(\displaystyle \frac{2\pi }{3}\) | \(\displaystyle \frac{3\pi }{4}\) | \(\displaystyle \frac{5\pi }{6}\) | \(\pi\) |
| \(\textup{tg} \alpha\) | 0 | \(\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | не существует | \(-\sqrt{3}\) | \(-1\) | \(-\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}\) | 0 |
| \(\textup{ctg} \alpha\) | не существует | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}\) | 0 | \(-\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}\) | \(-1\) | \(-\sqrt{3}\) | не существует |
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
