Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике > Тригонометрический круг. Текст к рисунку

Тригонометрический круг. Текст к рисунку

Нарисована единичная окружность то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями OX и OY , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Полный круг 360 градусов.

Точка с координатами (1; 0) соответствует углу в 0 градусов. Точка с координатами ( 1; 0) отвечает углу в $180^{\circ}$ , точка с координатами (0; 1) углу в $90^{\circ}$ . Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу $\alpha$ .

Синусом угла $\alpha$ называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу $\alpha$ .

Например:

$\cos 60^{\circ}=\displaystyle \frac{1}{2},$ $\cos 0^{\circ}=1,$ $\sin 45^{\circ}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2},$ $\sin 240^{\circ}=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус абсцисса (x), синус ордината (y). Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от 1 до 1:

$-1\leq \cos \alpha \leq 1,$

$-1\leq \sin \alpha \leq 1$ .

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

$\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать от-дельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу $\alpha$ , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по x (это косинус угла $\alpha$ ) и по y (это синус угла $\alpha$ ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов, то есть полный круг, соответствует 2 $\pi$ радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке угол будет отрицательным. Например, угол $30^{\circ}$ это угол величиной в $30^{\circ}$ , который отложили от положительного направления оси x по часовой стрелке. Легко заметить, что

$\cos( -\alpha )=\cos \alpha,$

$\sin( -\alpha )=-\sin \alpha .$

Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол $732^{\circ}$ это два полных оборота по часовой стрелке и еще $12^{\circ}$ . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по x и по y, значения синуса и косинуса повторяются через $360^{\circ}$ . То есть:

$\cos( \alpha +360^{\circ}\cdot n )=\cos \alpha ,$

$\sin( \alpha +360^{\circ}\cdot n )=\sin \alpha ,$

где n целое число. То же самое можно записать в радианах:

$\cos( \alpha +2\pi n )=\cos \alpha ,$

$\sin( \alpha +2\pi n )=\sin \alpha .$

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. Ведь

$\textup{tg} \alpha =\displaystyle \frac{\sin\alpha }{\cos\alpha},$ $\textup{ctg} \alpha =\displaystyle \frac{\cos\alpha }{\sin \alpha }$
В результате получим следующую таблицу.

$\varphi$	0	$\displaystyle \frac{\pi }{6}$	$\displaystyle \frac{\pi }{4}$	$\displaystyle \frac{\pi }{3}$	$\displaystyle \frac{\pi }{2}$	$\displaystyle \frac{2\pi }{3}$	$\displaystyle \frac{3\pi }{4}$	$\displaystyle \frac{5\pi }{6}$	$\pi$
$\textup{tg} \alpha$	0	$\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	не существует	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}$	0
$\textup{ctg} \alpha$	не существует	$\sqrt{3}$	$1$	$\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}$	0	$-\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	не существует