Тригонометрический круг. Текст к рисунку

Нарисована единичная окружность то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями OX и OY , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Полный круг 360 градусов.

Точка с координатами (1; 0) соответствует углу в 0 градусов. Точка с координатами ( 1; 0) отвечает углу в $180^{\circ}$ , точка с координатами (0; 1) углу в $90^{\circ}$ . Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу $\alpha$ .

Синусом угла $\alpha$ называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу $\alpha$ .

Например:

$\cos 60^{\circ}=\displaystyle \frac{1}{2},$ $\cos 0^{\circ}=1,$ $\sin 45^{\circ}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2},$ $\sin 240^{\circ}=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус абсцисса (x), синус ордината (y). Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от 1 до 1:

$-1\leq \cos \alpha \leq 1,$

$-1\leq \sin \alpha \leq 1$ .

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

$\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать от-дельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу $\alpha$ , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по x (это косинус угла $\alpha$ ) и по y (это синус угла $\alpha$ ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов, то есть полный круг, соответствует 2 $\pi$ радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке угол будет отрицательным. Например, угол $30^{\circ}$ это угол величиной в $30^{\circ}$ , который отложили от положительного направления оси x по часовой стрелке. Легко заметить, что

$\cos( -\alpha )=\cos \alpha,$

$\sin( -\alpha )=-\sin \alpha .$

Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол $732^{\circ}$ это два полных оборота по часовой стрелке и еще $12^{\circ}$ . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по x и по y, значения синуса и косинуса повторяются через $360^{\circ}$ . То есть:

$\cos( \alpha +360^{\circ}\cdot n )=\cos \alpha ,$

$\sin( \alpha +360^{\circ}\cdot n )=\sin \alpha ,$

где n целое число. То же самое можно записать в радианах:

$\cos( \alpha +2\pi n )=\cos \alpha ,$

$\sin( \alpha +2\pi n )=\sin \alpha .$

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. Ведь

$\textup{tg} \alpha =\displaystyle \frac{\sin\alpha }{\cos\alpha},$ $\textup{ctg} \alpha =\displaystyle \frac{\cos\alpha }{\sin \alpha }$
В результате получим следующую таблицу.

$\varphi$	0	$\displaystyle \frac{\pi }{6}$	$\displaystyle \frac{\pi }{4}$	$\displaystyle \frac{\pi }{3}$	$\displaystyle \frac{\pi }{2}$	$\displaystyle \frac{2\pi }{3}$	$\displaystyle \frac{3\pi }{4}$	$\displaystyle \frac{5\pi }{6}$	$\pi$
$\textup{tg} \alpha$	0	$\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	не существует	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}$	0
$\textup{ctg} \alpha$	не существует	$\sqrt{3}$	$1$	$\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}$	0	$-\displaystyle \frac{1 }{\sqrt{3}}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	не существует

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.