Нарисована единичная окружность то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями OX и OY , в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Полный круг 360 градусов.
Точка с координатами (1; 0) соответствует углу в 0 градусов. Точка с координатами ( 1; 0) отвечает углу в , точка с координатами (0; 1) углу в
. Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу
.
Например:
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус абсцисса (x), синус ордината (y). Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от 1 до 1:
.
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать от-дельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по x (это косинус угла
) и по y (это синус угла
).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов, то есть полный круг, соответствует 2 радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке угол будет отрицательным. Например, угол это угол величиной в
, который отложили от положительного направления оси x по часовой стрелке. Легко заметить, что
Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол это два полных оборота по часовой стрелке и еще
. Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по x и по y, значения синуса и косинуса повторяются через
. То есть:
где n целое число. То же самое можно записать в радианах:
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. Ведь
0 | |||||||||
0 | не существует | 0 | |||||||
не существует | 0 | не существует |