ЕГЭ-2025. Задание 14. Стереометрия на ЕГЭ по математике

1. В правильной треугольной призме \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) отметили точки \(M\) и \(K\) на ребрах \(AA_{1}\) и \(A_{1}B_{1}\) соответственно. Известно, что \(AM=5MA_{1}, \; A_{1}K=KB_{1}.\) Через точки \(M\) и \(K\) провели плоскость \(\alpha\) перпендикулярно плоскости \(ABB_{1}.\)

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершину \(C_{1}.\)

б) Найдите площадь сечения призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) плоскостью \(\alpha\), если все ребра призмы равны 12.

Посмотреть решение.

2. В правильной четырехугольной пирамиде \(SABCD\) известно, что \(AB=1.\) Через точку \(O\) пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру \(SC\) провели плоскость \(\alpha.\)

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершины \(B\) и \(D.\)

б) В каком отношении плоскость \(\alpha\) делит ребро \(SC\), считая от вершины \(S\), если площадь сечения равна \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}\)?

Посмотреть решение.

3. Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\) с основанием \(ABCD.\) Плоскость \(\alpha\) проходит через ребро \(AB\) и пересекает ребра \(SC\) и \(SD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Известно, что \(AB=AN=BM=5MN.\)

а) Докажите, что \(SM:MC=SN:ND=1:4.\)

б) Найдите косинус угла между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью основания пирамиды.

Посмотреть решение.

4. Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости основания \(ABCD\) правильной четырехугольной пирамиды \(SABCD\) и пересекает ребро \(SA\) в точке \(K.\) Сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) является правильным треугольником площадью \(2\sqrt{3}.\)

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой \(AC.\)

б)  В каком отношении точка \(K\) делит ребро \(SA\), считая от точки \(S\), если объем пирамиды равен \(36\sqrt{6}.\)

Посмотреть решение.

5. Дана правильная призма \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}.\) Точка \(K\) лежит на ребре \(AB\) и делит его в отношении \(AK:KB=3:1.\) Точка \(L\) - середина ребра \(BC.\) Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(K\) и \(L\) и пересекает ребра \(B_{1}C_{1}\) и \(A_{1}B_{1}\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Известно, что \(B_{1}M:MC_{1}=3:1.\)

а) Докажите что \(MN\perp AB.\)

б) Найдите угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью основания призмы, если все ребра призмы равны.

Посмотреть решение.