1. Дан оcтроугольный треугольник \(ABC.\) Известно, что \(\angle BAC=2\angle ABC.\) Точка \(O\) - центр описанной окружности треугольника \(ABC.\) Вокруг треугольника \(AOC\)описана окружность, которая пересекает сторону \(BC\) в точке \(P.\)
а) Докажите, что треугольники\(ABC\) и \(PAC\) подобны.
б) Найдите \(AB\), если \(BC=6\) и \(AC=4.\)
2. Биссектриса угла \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает его сторону \(AD\) в точке \(M\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) параллелограмма пересекаются в точке \(O\). Окружность, описанная вокруг треугольника \(ABM\), касается прямых \(BC\) и\(OM.\)
а) Докажите, что \(AB\perp BD.\)
б) Отрезки \(AC\) и \(BM\) пересекаются в точке \(K.\) Найдите площадь четырехугольника \(KODM\), если \(OM=2.\)
3. В треугольнике \(ABC\) проведена высота \(AH\) и медиана \(AM\), угол \(ACB\) равен \(30^{\circ}.\) Точка \(H\) лежит на отрезке \(BM.\) В треугольнике \(ACM\) проведена высота \(MQ.\) Прямые \(MQ\) и \(AH\) пересекаются в точке \(F.\) Известно, что \(AM\) - биссектриса угла \(HAC.\)
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника \(CFM\) если \(AB=10.\)
4. В четырехугольник \(KLMN\) вписана окружность с центром \(O.\) Эта окружность касается стороны \(MN\) в точке \(A.\) Известно, что \(\angle MNK=90^{\circ}, \; \angle NKL=\angle KLM=120^{\circ}.\)
а) Докажите, что точка \(A\) лежит на прямой \(LO.\)
б) Найдите длину стороны \(MN,\) если \(LA=1.\)
В варианте ЕГЭ 2026 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
