Анна Малкова
Что проще запомнить с первого раза и пересказать другу – сюжет интересного фильма или большую таблицу с формулами по геометрии?
Мы хорошо запоминаем сюжеты и истории. А однообразная и скучная информация быстро вылетает из головы.
Можно запоминать формулы «как буковки». Долго, трудно и напряженно. Результат – вы сами знаете, какой.
А можно придумать историю. Понять, почему формула именно такая. Как она получилась. На что она похожа.
Например, формулы для площадей геометрических фигур. Они есть в нашем ЕГЭ-Справочнике.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \(S=a\cdot b\)
Чем больше стороны, тем больше площадь. Проверяйте, чтобы площадь была выражена в квадратных единицах.
Отрежем от нашего прямоугольника треугольник. И переставим этот треугольник, как на рисунке, получим параллелограмм.
Площадь параллелограмма: \(S=a\cdot h\)
Поделим параллелограмм пополам. Получим два равных треугольника и формулу для площади треугольника:
\(S=\displaystyle \frac{ah}{2}.\)
Теперь трапеция. Поделим ее на два треугольника с основаниями \(a\) и \(b\).
Площадь трапеции
\(S_{трапеции}=\displaystyle \frac{a+b}{2}\cdot h.\)
В формулы для длины окружности и площади круга входит число \(\pi \).
Длина окружности
\(L=\pi D=2\pi R.\)
Число \(\pi \) – это отношение длины окружности к ее диаметру.
\(\pi \approx 3,1415926.\)
Число \(\pi \) известно с глубокой древности. С давних времен – с доисторических – люди плели круглые корзины и лепили из глины круглые тарелки и миски. Во всяком случае, старались сделать их круглыми.
Нарисуйте древнего человека, который плетет корзинку. Он смотрит на небо и видит на нем круглое солнце. Он старается, чтобы его корзина получилась круглой, как солнце. Измерив диаметр своего изделия, наш первобытный труженик осознает, что диаметр укладывается на окружности корзины три раза, и еще немного остается! Причем это справедливо и для маленькой корзины, и для большой. Удивительное открытие!
Во сколько же раз длина окружности больше, чем ее диаметр? В \(\pi \) раз.
A площадь выражается в квадратных единицах, значит, в формуле должен быть квадрат радиуса.
Площадь круга
\(S_{круга}=\pi R^{2}.\)
Формулу для площади сектора запомнить легко. Кусочки, на которые вы нарезаете круглую пиццу, – это секторы.
Вспомним, что \(1\) градус – это \(\displaystyle \frac{1}{360}\) часть полного круга. Тогда площадь сектора в 1 градус равна \(\displaystyle \frac{1}{360}\) части полного круга. А площадь сектора в \(\alpha \) градусов равна \(\displaystyle \frac{\alpha }{360}\) части полного круга.
\(S_{сектора}=\displaystyle \frac{\alpha }{360}\pi R^{2}.\)
Точно так же для длины дуги:
\(L_{дуги}=\displaystyle \frac{\alpha }{360}2\pi R^{2}.\)
А теперь — вписанная окружность.
Есть отличная «запоминалка», и ее все знают.
Биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.
Нарисуем угол, который крыса делит пополам, и эта крыса тащит за собой (на хвосте) круглый сыр. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.
Прогоним крысу, оставим вписанную в угол окружность. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
А поскольку прямоугольные треугольники \(AOB\) и \(COB\) на рисунке равны – значит, равны расстояния от точки \(O\) до точек \(A\) и \(C\). Биссектриса угла треугольника – это множество точек, равноудаленных от сторон угла.
Впишем в треугольник окружность. Окружность касается всех сторон треугольника – значит, ее центр одинаково удален от сторон \(AB\), \(BC\) и \(AC\). Центр окружности, вписанной в треугольник, – это точка пересечения его биссектрис.
А где же находится центр окружности, описанной вокруг треугольника? Очевидно, что расстояние от этой точки до всех вершин треугольника одинаково и равно радиусу описанной окружности.
Где находятся точки, равноудаленные от концов отрезка, вы знаете. На серединном перпендикуляре к отрезку.
Вот и нарисуем три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника. А в точке, где все они пересекаются, уселась киса, чтобы быть на одинаковом расстоянии от вершин треугольника. А что делает киса? – правильно, писает! Хочет до всех вершин треугольника достать. И получается окружность, описанная вокруг треугольника.
Чтобы легко запоминать формулы, придумывайте истории. Глупые, смешные, даже неприличные. И картинки к ним рисуйте!
Теперь стереометрия. Будем искать логические связи. Ассоциации. Придумывать себе «запоминалки».
Посмотрим на таблицу с формулами для объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.
С призмой и цилиндром все просто – их объем равен произведению площади основания на высоту.
Чем больше площадь основания, тем больше объем.
Чем больше высота, тем больше объем.
Объем призмы
\(V=S_{оси}\cdot h\)
Объем цилиндра
\(V=S_{оси}\cdot h=\pi R^{2}\cdot h\)
С объемами пирамиды и конуса тоже просто: умножаем \(\displaystyle \frac{1}{3}\) на площадь основания и на высоту. Как вы думаете, почему у пирамиды и у конуса похожие формулы для объема?
Объем пирамиды
\(V=\displaystyle \frac{1}{3}S_{оси}\cdot h.\)
Объем конуса
\(V=\displaystyle \frac{1}{3}S_{оси}\cdot h=\frac{1}{3}\pi R^{2}\cdot h\)
Площадь боковой поверхности многогранника равна сумме площадей всех его боковых граней. Сложные формулы здесь не нужны. А чтобы найти площадь полной поверхности многогранника, нужно найти сумму площадей всех его граней.
Теперь цилиндр. В его основаниях – два круга. Как запомнить, чему равна площадь боковой поверхности цилиндра? Развернем боковую поверхность цилиндра и получим прямоугольник, одна сторона которого равна \(2\pi R\), а другая равна \(h\).
Площадь боковой поверхности конуса
Как запомнить формулу для площади боковой поверхности конуса?
Нарисуем ракушку в форме конуса. Вот у нее какая красивая боковая поверхность.
А в ракушке что бывает? – жемчужинка! По-английски жемчужина: pearl. Вот и запомним формулу для площади боковой поверхности конуса:
\(S_{бок}=\pi rl.\)
Остались объем шара \(V=\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^{3}\) и площадь поверхности сферы \(S=4\pi R^{2}\).
Что же, две формулы можно и просто выучить.
Хорошо, а как выучить формулы тригонометрии?
Есть отличный способ. Вырежьте из плотной бумаги карточки. На одной пишете левую часть формулы. На другой – правую. Перемешиваете. И собираете. Любые формулы запоминаются легко и быстро!
И конечно, чем больше решаете задач, тем лучше запоминаются формулы.
