Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Вычисление перемещения по графику проекции скорости

Из кодификатора по физике, 2020.
«1.1.3. Вычисление перемещения по графику зависимости υ(t).»

Теория

Пусть задан график зависимости проекции скорости { v }_{ x } от времени t (рис. 1).

Проекция перемещении тела { s }_{ x } за промежуток времени от { t }_{ 1 } до { t }_{ 2 } численно равна по величине площади фигуры, ограниченной графиком { v }_{ x }(t), осью времени 0t и перпендикулярами к { t }_{ 1 } и { t }_{ 2 } (см. рис. 1, площадь выделена штриховкой).

Проекцию перемещения на ось 0Х будем считать:

положительной, если проекция скорости на данную ось будет положительной (тело движется по направлению оси) (см. рис. 1);

отрицательной, если проекция скорости на данную ось будет отрицательной (тело движется против оси) (рис. 2).

Путь s может быть только положительным:

Напоминаем формулы для расчета площадей фигур:

— прямоугольника – S=a\cdot b

— треугольника – S=\frac { a\cdot h }{ 2 }

— трапеции – S=\frac { a+b }{ 2 } \cdot h

Задачи

Задача 1. По графику проекции скорости тела (рис. 3) определите проекцию его перемещения между 1 и 5 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Проекция перемещения за промежуток времени Δt={ t }_{ 2 }{ t }_{ 1 }=5с–1с=4c численно равна площади фигуры, ограниченной графиком { v }_{ x }(t), осью времени 0t и перпендикулярами к { t }_{ 1 }=1 с и { t }_{ 2 }=5 с (рис. 4, площадь выделена штриховкой). Фигура ABCD — это трапеция, ее площадь равна

S=\frac { a+b }{ 2 } \cdot h=\frac { AD+BC }{ 2 } \cdot DC

где DC = Δt = 4 c, AD = 3 м/c, BC = 5 м/c. Тогда S = 16 м.
Проекция перемещения { s }_{ x }>0, т.к. проекция скорости { v }_{ x }>0.
{ s }_{ x }=S=16 м.

Ответ: 16.

 

Задача 2. Автомобиль движется по прямой улице вдоль оси X. На рисунке 5 представлен график зависимости проекции скорости автомобиля от времени. Определите путь, пройденный автомобилем в течение указанных интервалов времени.

Интервал времени Путь
от 0 до 10 с Ответ: м.
от 30 до 40 с Ответ: м.

В бланк ответов перенесите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком.

Решение. Путь за промежуток времени Δt = { t }_{ 2 }{ t }_{ 1 } численно равна площади фигуры, ограниченной графиком { v }_{ x }(t), осью времени 0t и перпендикулярами к { t }_{ 1 } и { t }_{ 2 }.

На интервале [0 с, 10 с] ищем площадь треугольника (рис. 6).

{ S }_{ 1 }=\frac { a\cdot h }{ 2 },

где a = 20 м/c, h=\triangle { t }_{ 1 }=10c-0c=10c. Тогда { S }_{ 1 }=100 м.

Путь равен значению площади (путь всегда положительный, т.е. s > 0).

{ s }_{ 1 }={ S }_{ 1 }=100 м.

На интервале [30 с, 40 с] ищем площадь трапеции (см. рис. 6).

{ S }_{ 2 }=\frac { a+b }{ 2 } \cdot h,

где a = 10 м/c, b = 15 м/c, h = Δt = 40 c – 30 с = 10 с. Тогда { s }_{ 2 }={ S }_{ 2 }=125 м.

Ответ: 100125.

Задача 3. Определите за первые 4 с (рис. 7):

а) проекцию перемещения тела;

б) пройденный путь.

Ответ: а) ____ м; б) ____ м.

 

Решение. Проекция перемещения за время \triangle t={ t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 }=4c-0=4c (пер-вые 4 с) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком { v }_{ x }(t), осью времени 0t и перпендикулярами к { t }_{ 1 }=0 с и { t }_{ 2 }=4 с (рис. 8, площадь выделена штриховкой).

Так как при { t }_{ 0 }=3 с проекция скорости поменяла знак, то получили две фигуры, два треугольника, площади которых равны:

{ S }_{ 1 }=\frac { { a }_{ 1 }\cdot { h }_{ 1 } }{ 2 } ,\quad { S }_{ 2 }=\frac { { a }_{ 2 }\cdot { h }_{ 2 } }{ 2 } ,

где

{ a }_{ 1 }=30\quad м/с, \quad { h }_{ 1 }=\triangle { t }_{ 1 }=3c-0c=3c

{ a }_{ 2 }=|-10 м/c|=10 м/c, \quad { h }_{ 2 }=\triangle { t }_{ 2 }=4c-3c=1c.

Тогда { S }_{ 1 }=45м, \quad { S }_{ 2 }=5м.

а) Проекция перемещения { s }_{ 1x }>0, т.к. проекция скорости { v }_{ 1x }>0; проекция перемещения { s }_{ 2x }<0, т.к. проекция скорости { v }_{ 2x }<0. В итоге получаем: { s }_{ x }={ s }_{ 1x }+{ s }_{ 2x }={ S }_{ 1 }-{ S }_{ 2 },\quad { s }_{ 1x }=45м - 5м = 40 м. б) Путь равен значению площади (путь всегда положительный, т.е. s>0).

s={ S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 }, s = 45 м + 5 м = 50 м.

Ответ: а) 40; б) 50.

Задача 4. График зависимости проекции скорости материальной точки, движущейся вдоль оси 0Х, от времени изображен на рисунке 9. Определите перемещение точки, которое она совершила за первые 6 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Проекция перемещения за время \triangle t={ t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 }=6c-0=6c (пер-вые 6 с) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком { v }_{ x }(t), осью времени 0t и перпендикулярами к { t }_{ 1 }=0 c и { t }_{ 2 }=6 c (рис. 10, площадь выделена штриховкой).

Так как при { t }_{ 01 }=2c и { t }_{ 02 }=4c проекция скорости меняет знак, то получили три фигуры, три треугольника, площади которых равны:

{ S }_{ 1 }=\frac { { a }_{ 1 }\cdot { h }_{ 1 } }{ 2 } ,\quad { S }_{ 2 }=\frac { { a }_{ 2 }\cdot { h }_{ 2 } }{ 2 } ,\quad { S }_{ 3 }=\frac { { a }_{ 3 }\cdot { h }_{ 3 } }{ 2 } ,

где

{ a }_{ 1 }=3 м/с, h_{ 1 }=\triangle { t }_{ 1 }=2c-0c=2c

{ a }_{ 2 }=|-2 м/c| = 2 м/с, h_{ 2 }=\triangle { t }_{ 2 }=4c-2c=2c

{ a }_{ 2 }=3м/c, h_{ 3 }=\triangle { t }_{ 3 }=6c-4c=2c.

Тогда { S }_{ 1 }=3 м, { S }_{ 2 }=2 м, { S }_{ 3 }=3 м.

Проекция перемещения { s }_{ 1x }>0, т.к. проекция скорости { v }_{ 1x }>0.

Проекция перемещения { s }_{ 2x }<0, т.к. проекция скорости { v }_{ 2x }<0. Проекция перемещения { s }_{ 3x }>0, т.к. проекция скорости { v }_{ 3x }>0. В итоге получаем:

{ s }_{ x }={ s }_{ 1x }+{ s }_{ 2x }+{ s }_{ 3x }={ S }_{ 1 }-{ S }_{ 2 }+{ S }_{ 3 },\quad { s }_{ x }= 3 м – 2 м + 3 м = 4 м.

Ответ: 4.

 

Задача 5. На рисунке приведен график зависимости v_x скорости тела от времени t.

Определите путь, пройденный телом в интервале времени от 0 до 5 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Решение любых графических задач основывается на умении «читать» графики. В данной задаче рассматривается зависимость проекции скорости тела от времени. На интервале от 0 до 3с проекция скорости уменьшается от значения 15 м/с до 0. На интервале от 3 до 5с модуль проекции начинает возрастать от нулевого значения до 10 м/с. Причем важно «увидеть», что тело в этом временном интервале начинает движение в направлении, противоположном оси ОХ.

Пройденный путь будет определяться площадью геометрической фигуры, образованной под графиком проекции скорости.

Рис.1

Дальнейшее решение задачи сводится к нахождению площадей двух треугольников, заштрихованных на рис.1

S_1=\frac{15\cdot 3}{2}=22,5 (м).

S_2=\frac{10\cdot 2}{2}=10 (м).

Тогда, общий путь в интервале времени от 0 до 5с будет определяться суммой отдельных путей S_1 и S_2.

S_o = S_1+S_2
S_o = 22,5+10=32,5 (м).
Ответ: 32,5 м

По условию этой задачи можно поставить второй вопрос: найти проекцию перемещения в интервале времени от 0 до 5с.

В этом случае надо учесть, что проекция перемещения в интервале времени от 0 до 3 с положительная и её значение равно пройденному пути на этом интервале.

S_{1x}=S_1=22,5 (м).

В интервале времени от 3 с до 5 с проекция перемещения отрицательная, так как тело движется в направлении противоположном оси ОХ.

S_{2x}=-10 (м).

Проекция перемещения за весь интервал времени будет равна S_{o.x}=S_{1x}+S_{2x}
S_{o.x}=22,5+(-10)=12,5 (м).

Ответ: 12,5 м

Задача 6. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v прямолинейно движущегося тела от времени t. Определите по графику путь, пройденный телом в интервале времени от 1 до 5 с.


Ответ: ____ м.

Решение. Для нахождения пройденного пути в интервале времени от 1с до 5с необходимо рассчитать площадь геометрической фигуры под графиком модуля скорости.

Рис.1

Дальнейшее решение сводится к расчету площади трапеции, заштрихованной на графике (см. рис.1).

S=\frac{4+2}{2}\cdot 10=30 (м).

Особенностью подобной задачи является то, что при решении, необходимо внимательно отследить временной интервал, на котором требуется рассчитать пройденный путь.
Ответ: 30 м.

Задача 7. Из двух городов навстречу друг другу с постоянной скоростью двиижутся два автомобиля. На графике показана зависимость расстояния между автомобилями от времени. Скорость первого автомобиля равна 15 м/с. Какова скорость второго автомобиля?


Ответ: ____ м.

Решение. При движении навстречу друг к другу расстояние между двумя автомобилями уменьшается от значения 144 км до 0. На графике видно, что встреча автомобилей произошла в момент времени 60 минут, так как расстояние между автомобилями стало равным 0. Расчеты в этой задаче требуют обязательного применения системы «СИ».

144 км = 144000 м; 60 мин = 3600 с.
Используя эти данные, можно рассчитать скорость сближения автомобилей.

v=\frac{144000}{3600}=40 м/с

Так как автомобили движутся навстречу друг другу, то v=v_1+v_2, отсюда скорость второго автомобиля можно выразить как v_2=v-v_1

v_2=40-15=25 (м/с)

Ответ: 25 м/с.

Задача 8. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Найдите путь, пройденный телом за время от момента времени 0 с до момента времени 5 с. (Ответ дайте в метрах.)


Ответ: ____ м.

Решение. Для нахождения пройденного пути необходимо рассчитать площадь геометрической фигуры (трапеции) под графиком модуля скорости (см.рис.1). Это относится к интервалу времени от 0 до 3 с. От 3 с до 5 с скорость тела равна 0, следовательно, тело находилось в состоянии покоя и пройденный путь в этом интервале равен 0.

Рис.1

S_1=\frac{3+1}{2}\cdot 10=20 (м).
S_2=0
S_o=20+0=20 (м).

Сакович А.Л., 2020



Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Вычисление перемещения по графику проекции скорости» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.01.2023

Поделиться страницей

Это полезно

Теория вероятностей на ЕГЭ-2023 по математике
В варианте ЕГЭ-2023 две задачи по теории вероятностей — это №3 и №4. По заданию 4 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
Математика 100 баллов
Неравенства. 14 задание ЕГЭ
Ященко и реальный ЕГЭ