Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Материалы для подготовки к ОГЭ по математике > Oбыкновенные дроби

Oбыкновенные дроби

Обыкновенные дроби. Действия с дробями. Сложение и вычитание дробей, умножение и деление дробей

Выражение вида $\frac{a}{b}$ – это обыкновенная дробь.

Число $a$ над дробной чертой – это числитель, а число $b$ под дробной чертой – знаменатель.

Правильной обыкновенной дробью называется такая дробь, у которой числитель меньше знаменателя, например $\frac{3}{4}$ . А неправильной – когда числитель больше знаменателя: $\frac{4}{3}$ или $\frac{9}{7}$ .

Если дробь неправильная, ее можно перевести в смешанное число. Такое, где есть и целая, и дробная часть. Например,

$\frac{4}{3}=\frac{3+1}{3}=\frac{3}{3}+\frac{1}{3}=1\frac{1}{3}$ ;

$\frac{10}{4}=2\frac{2}{4}=2\frac{1}{2}$

Действия с дробями

Проще всего складывать дроби с одинаковыми знаменателями.

Мы складываем числители этих дробей, а знаменатель остается прежним.

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$ ;

$\frac{6}{7}+\frac{1}{7}=\frac{7}{7}=1$ ;

$\frac{5}{8}+\frac{7}{8}=\frac{12}{8}=1 \frac{4}{8}=1 \frac{1}{2}$ ;

Как быть, если знаменатели разные? В этом случае мы приводим дроби к одинаковому знаменателю. Это то же самое, что и наименьшее общее кратное чисел (кратко НОК).

Наименьшее общее кратное, или НОК, двух и более чисел – это наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел. Внимание: оно на них делится.

Например, НОК чисел 15 и 21 равно 105. Вот как мы его нашли:

$15=3\cdot5$ ,

$21=3\cdot7$ ,

НОК $(15; 21)=3\cdot5\cdot7=105$ .

Мы выписали общий множитель чисел 15 и 21, это число 3. И добавили множители 5 и 7, каждый из которых есть только в одном из чисел.

Сложим дроби $\frac{2}{3}+\frac{5}{7}$

НОК $(3;7)=21$ , значит, наименьшим общим знаменателем будет число 21. Приведем каждую дробь к этому общему знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

У дроби $\frac{2}{3}$ знаменатель равен 3, а дополнительный множитель для нее 7 (т.к. $3\cdot7=21$ ). Получим: $\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21}$ . Мы привели первую дробь к знаменателю 21, что нам и нужно для сложения.

Теперь приведем вторую дробь к знаменателю 21.

У дроби $\frac{5}{7}$ знаменатель равен 7, дополнительный множитель 3 (потому что $7\cdot3=21)$ , $\frac{5\cdot3}{7\cdot3}=\frac{15}{21}$ .

Теперь складываем дроби с равными знаменателями.

$\frac{2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{14}{21}+\frac{15}{21}=\frac{29}{21}=1 \frac{8}{21}$

Выполним вычитание двух дробей с разными знаменателями.

Найдем значение выражения $\frac{1}{2}-\frac{49}{20}$

$\frac{1}{2}-\frac{49}{20}=\frac{10}{20}-\frac{49}{20}=-\frac{39}{20}=-1 \frac{19}{20}=-1 \frac{19\cdot5}{20\cdot5}=-1 \frac{95}{100}=-1,95$

Сложим три дроби с разными знаменателями. Можно складывать по очереди, либо найти общий знаменатель всех трех дробей и выполнить сложение одновременно:

$\frac{3}{8}+\frac{1}{6}+\frac{5}{12}=\frac{3\cdot3}{24}+\frac{1\cdot4}{24}+\frac{5\cdot2}{24}=\frac{9+4+10}{24}=\frac{23}{24}$

Умножить одну обыкновенную дробь на другую очень просто: над дробной чертой будет произведение числителей, а под дробной чертой – произведение знаменателей. Числитель умножаем на числитель, знаменатель умножаем на знаменатель.

$\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3\cdot1}{5\cdot2}=\frac{3}{10}=0,3$ .

Пример 1.
Перемножим дроби: $\frac{10}{15}\cdot\frac{9}{2}$ .
Решение:
$\frac{10}{15}\cdot\frac{9}{2}=\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{2}=\frac{9}{3}=3$ .
Сначала сократили дробь $\frac{10}{15}$ , а затем выполняли умножение. Запомним: если вычисления можно упростить, упрощаем их.

Пример 2.
Найдем значение выражения: $(\frac{10}{13}+\frac{15}{4})\cdot\frac{26}{5}.$
Решение:
$(\frac{10}{13}+\frac{15}{4})\cdot\frac{26}{5}=(\frac{40}{52}+\frac{195}{52})\cdot\frac{26}{5}=\frac{235}{52}\cdot\frac{26}{5}=\frac{47}{2}=23,5$
Теперь деление дробей. Как поделить одну дробь на другую?
Очень просто – первую дробь умножаем на вторую перевернутую.
Ту дробь, на которую делим, нужно перевернуть.

Пример 3.
$\frac{12}{5} : \frac{15}{2}=\frac{12}{5}\cdot\frac{2}{15}=\frac{4\cdot2}{5\cdot5}=\frac{8}{25}=0,32$

Пример 4.
$\frac{3}{5} : \frac{4}{25}=\frac{3}{5}\cdot\frac{25}{4}=\frac{3\cdot5}{4}=\frac{15}{4}=3 \frac{3}{4}=3,75$

Пример 5.
Найдите значение выражения: $(\frac{18}{25}-\frac{9}{11}): \frac{6}{11}$
Решение:
Выполним действие в скобках:
$\frac{18}{25}-\frac{9}{11}=\frac{198}{275}-\frac{225}{275}=-\frac{27}{275}$
А теперь второе действие – делим обыкновенные дроби
$-\frac{27}{275}:\frac{6}{11}=-\frac{27}{275}\cdot \frac{11}{6}=-\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{25}=-\frac{9}{50}=-0,18$

Примеры решения задач ОГЭ по теме: Обыкновенные дроби

1. Найдите значение выражения: $(\frac{19}{8}+\frac{11}{12}):\frac{5}{48}.$
Решение:
Сначала выполним действие в скобках.
$\frac{19}{8}+\frac{11}{12}=\frac{19\cdot3}{24}+\frac{11\cdot2}{24}=\frac{57+22}{24}=\frac{79}{24}$
Сделали действие - проверьте, можно ли сократить дробь. А выделять целую часть пока не надо, потому что следующее действие – деление на дробь.
$\frac{79}{24}\div\frac{5}{48}=\frac{79}{24}\cdot\frac{48}{5}=\frac{79}{1}\cdot\frac{2}{5}=\frac{158}{5}=31 \frac{3}{5}=31,6$

2. Найдите значение выражения
$\frac{1}{\frac{1}{18}-\frac{1}{21}}.$
Решение:
Первое действие – найдем разность в знаменателе:
$\frac{1}{18}-\frac{1}{21}=\frac{7}{126}-\frac{6}{126}=\frac{1}{126}.$
Трехэтажные дроби стараемся не писать.
$1: \frac{1}{126}=\frac{1}{1}:\frac{1}{126}=\frac{1}{1}\cdot\frac{126}{1}=126$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Oбыкновенные дроби» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 15.09.2023

Oбыкновенные дроби

Это полезно