Автор материала - Анна Малкова
Какими были задачи с параметрами на ЕГЭ-2022? На этой странице — обзор всех типов задач №17, предложенных на ЕГЭ по математике в этом году, с полным решением и оформлением.
Напомним, что «параметры» — одна из дорогостоящих задач ЕГЭ. Она оценивается в 4 первичных балла.
Основной темой задач с параметрами на ЕГЭ этого года были модули.
Если вы не помните, что такое модуль числа, — вам сюда.
Способы решения — разные. В одних задачах удобнее графический способ, в других — аналитический.
Мы начнем с тех задач, которые решаются графическим способом. В первых трех, которые мы здесь разбираем, нам встретится уравнение окружности.
Почитать о нем подробно можно здесь.
1. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\left|x^2+a^2-6x-4a\right|=2x+2a\) имеет ровно 4 решения?
Решение:
Вспомним, как решать уравнения вида \(\left|A\right|=B.\)
\(\left|A\right|=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
B\ge 0 \\
\left[ \begin{array}{c}
A=B \\
A=-B \end{array}
\right. \end{array}
.\right.\)
Поэтому исходное уравнение равносильно системе:
\(\left\{ \begin{array}{c}
2x+2a\ge 0 \\
\left[ \begin{array}{c}
x^2+a^2-6x-4a=2x+2a \\
x^2+a^2-6x-4a=-2x-2a \end{array}
\right. \end{array}
.\right.\)
Получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x+a\ge 0 \\
\left[ \begin{array}{c}
x^2-8x+a^2-6a=0 \\
x^2-4x+a^2-2a=0 \end{array}
\right. \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x+a\ge 0 \\
\left[ \begin{array}{c}
x^2-8x+16+a^2-6a+9=25 \\
x^2-4x+4+a^2-2a+1=5 \end{array}
\right. \end{array}
\right.\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
a\ge -x \\
\left[ \begin{array}{c}
{\left(x-4\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2=25 \\
{\left(x-2\right)}^2+{\left(a-1\right)}^2=5 \end{array}
\right. \end{array}
.\right.\)
Изобразим решения системы в координатах \(\left(x;a\right).\)
Уравнение \({\left(x-4\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2=25\) задает окружность \(\omega _1\) с центром \(P\left(4;3\right)\) и радиусом 5; уравнение \({\left(x-2\right)}^2+{\left(a-1\right)}^2=5\) задает окружность \(\omega _2\) с центром \(Q\left(2;1\right)\) и радиусом \(\sqrt{5}\); при этом должно выполняться условие \(a\ge -x.\)
Заметим, что обе окружности проходят через точки \(O(0;0)\) и \(M(1;-1).\)
Найдем, при каких значениях параметра \(a\) исходное уравнение имеет ровно 4 решения.
При \(a=-1\) прямая \(a=-1\) проходит через точку \(M,\) общую для двух окружностей; уравнение имеет ровно 3 решения.
Если прямая \(a=a_0\) проходит через точку \(A\) (нижнюю точку окружности \(\omega _2\)), уравнение также имеет 3 решения.
При этом \(a=1-\sqrt{5},\) поскольку разность ординат точек Q и A равна \(\sqrt{5},\) то есть радиусу окружности \(\omega _2.\)
При \(1-\sqrt{5}\textless a\textless -1\) уравнение имеет 4 решения.
Если \(a\le 1-\sqrt{5},\) решений меньше 4.
Если \(a=0,\) уравнение имеет ровно 3 решения, т.к. точка O(0; 0) общая для обеих окружностей.
Если прямая \(a=a_0\) проходит через B — верхнюю точку окружности \(\omega _2,\) уравнение имеет ровно 3 решения.
В этом случае \(a=1+\sqrt{5}.\)
При \(0\textless a\textless 1+\sqrt{5}\) уравнение имеет ровно 4 решения.
Если \(a\textgreater 1+\sqrt{5,}\) решений меньше, чем 4.
Объединив случаи, получим ответ.
Ответ: \(a\in \left(1-\sqrt{5};-1\right)\cup \left(0;1+\sqrt{5}\right).\)
2. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^2-x-7a+a^2=\left|7x-a\right|\) имеет ровно 2 решения?
Решение:
Раскроем модуль по определению.
\(x^2-x-7a+a^2=\left|7x-a\right|\ \ \Leftrightarrow \ \)
\(\Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
7x-a\ge 0 \\
{\ x}^2-x-7a+a^2-7x+a=0 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
7x-a\textless 0 \\
{\ x}^2-x-7a+a^2+7x-a=0 \end{array}
\right. \end{array}
\right.\ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
a\le 7x \\
{\ x}^2-8x+a^2-6a=0 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
a\textgreater 7x \\
{\ x}^2+6x+a^2-8a=0 \end{array}
\right. \end{array}
\right.\ \ \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \ \ \ \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
a\le 7x \\
{\ x}^2-8x+16+a^2-6a+9=25 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
a\textgreater 7x \\
{\ x}^2+6x+9+a^2-8a+16=25 \end{array}
\right. \end{array}
\right. \ \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
a\le 7x \\
{\ (x-4)}^2+({a-3)}^2=25\ \ \ \ \ \ (1) \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
a\textgreater 7x \\
{\ (x+3)}^2+{(a-4)}^2=25\ \ \ \ \ (2) \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
Уравнение (1) задает окружность с центром в точке Р (4; 3) и радиусом 5,
уравнение (2) задает окружность с центром в точке Q(-3; 4) и радиусом 5.
Изобразим график совокупности двух систем в системе координат (x;a).
При \(a\le 7x\) получаем часть окружности (1), лежащую ниже прямой a = 7x;
при \(a\textgreater 7x\) получаем часть окружности (2), лежащую выше прямой a = 7x.
Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если прямая \({a = a}_{0 }\) пересекает график совокупности двух систем ровно два раза.
Прямая \(a = a{}_{0 },\) проходящая через точку С, пересекает график совокупности двух систем один раз.
Найдем координаты С — самой нижней точки и Е — самой верхней точки правой окружности.
Для этих точек x = 4. Найдем координату a:
\({\ (4-4)}^2+({a-3)}^2=25;\ \ \ \ ({a-3)}^2=25;\ \ \ \ a=-2\) или \( a=8,\)
Координаты точек С (4; \(-2)\) и Е (4; 8).
Найдем координаты D — самой нижней точки и F — самой верхней точки левой окружности
Для этих точек x = - 3, найдем координату a.
\({\ (-3\ +3)}^2+({a-4)}^2=25;\ \ \ \ ({a-4)}^2=25;\ \ \ a=-1\) или \(a=9,\)
Координаты точек: D (\(-\)3; \(-\)1), F(\(-\)3; 9).
Точки А и В, в которых пересекаются две окружности, лежат на прямой
a = 7x (так как при a = 7x выражение под модулем равно нулю).
Подставив a = 7x в уравнение окружности (1) \({\ (x-4)}^2+({a-3)}^2=25,\ \) получим:
\({\ x}^2-8x+{\left(7x\right)}^2-6\cdot 7x=0;\)
\({50\ x}^2-50x=0;\)
\(50x(x-1)=0,\) x = 0 или x = 1.
Получили точки В (0; 0) и А (1; 7).
Прямая \(a = a{}_{0 }\) пересекает график совокупности двух систем ровно два раза в следующих случаях:
1) если прямая \(a = a{}_{0 }\) проходит выше точки С, но ниже точки D:
\(-2\textless a\textless -1;\)
2) если прямая \(a = a{}_{0 }\) проходит выше точки В, но ниже точки А:
\( 0\ \textless a\textless 7;\)
3) если прямая \(a = a{}_{0 }\) проходит выше точки Е, но ниже точки F:
\( 8\ \textless a\textless 9.\)
Если \(a\textless -2\) или \(a\textgreater 9,\) то решений нет.
Если \(a = -2\) или a = 9, уравнение имеет ровно одно решение.
Если \(a = -1\ \) или a = 8, ровно три решения.
Если \(-1\textless a\textless 0\) или \(7\textless a\textless 8,\) ровно четыре решения. Эти случаи нам не подходят.
Ответ: a \(\in (-2;-1)\cup (0;7)\cup (8;9).\)
3. При каких значениях параметра \(a\) уравнение
\(\left|x^2+a^2-7x+5a\right|=x-a\)
имеет ровно 2 корня?
Решение:
\(\left|A\right|=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
B\ge 0 \\
\left[ \begin{array}{c}
A=B \\
A=-B \end{array}
\right. \end{array}
.\right.\)
Раскрыв модуль, получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
x^2+a^2-7x+5a=x-a \\
x^2+a^2-7x+5a=a-x \end{array}
\right. \\
x-a\ge 0 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
x^2-8x+a^2+6a=0 \\
x^2-6x+a^2+4a=0 \end{array}
\right. \\
x-a\ge 0 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
x^2-8x+16+a^2+6a+9=25 \\
x^2-6x+9+a^2+4a+4=13 \end{array}
\right. \\
x-a\ge 0 \end{array}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
{\left(x-4\right)}^2+{\left(a+3\right)}^2=25 \\
{\left(x-3\right)}^2+{\left(a+2\right)}^2=13 \end{array}
\right. \\
x-a\ge 0 \end{array}
.\right.\right.\)
Решим систему графически в координатах \(\left(x;a\right)\)
Прямая \(a=x\) - это биссектриса первого и третьего координатных углов.
Неравенство \(a\le x\) задает полуплоскость, расположенную ниже прямой \(a=x.\)
Уравнение \({\left(x-3\right)}^2+{\left(a+2\right)}^2=13\) задает окружность \(\omega \)1 с центром в точке \(P\left(3;-2\right)\) и радиусом \(R=\sqrt{13}.\)
Уравнение \({\left(x-4\right)}^2+{\left(a+3\right)}^2=25\) задает окружность \(\omega \)2 с центром в точке \(Q\left(4;-3\right)\) и радиусом \(R=5.\)
Заметим, что обе окружности проходят через точки О(0; 0) и М(1; 1). В этом легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнения окружностей.
Исходное уравнение имеет ровно 2 корня, если прямая \(a = a_0\) пересекает совокупность двух окружностей ровно в двух точках, лежащих не выше прямой a = x.
Это происходит в следующих случаях:
1) Прямая \(a = a_0\) проходит выше точки А и ниже точки В на рисунке, где А — нижняя точка окружности \(\omega \)2, В — нижняя точка окружности \(\omega \)1.
2) Прямая \(a = a_0\) проходит выше точки С и ниже точки D на рисунке, где D — верхняя точка окружности \(\omega \)2, С — верхняя точка окружности \(\omega \)1.
3) Прямая \(a = a_0\) проходит выше точки О(0; 0) и ниже точки М(1;1).
Найдем координаты точек А, В, С, D.
\(A\left(4;-8\right);\ \ D\left(4;2\right);\ \ B\left(3;-\left(2+\sqrt{13}\right)\right);\ \ C\left(3;\sqrt{13}-2\right).\)
Получим, что \(a\in \left(-8;-2-\sqrt{13}\right)\cup \left(0;1\right)\cup \left(\sqrt{13}-2;2\right).\)
Ответ: \(a\in \left(-8;-2-\sqrt{13}\right)\cup \left(0;1\right)\cup \left(\sqrt{13}-2;2\right).\)
Заметим, что в каждом из уравнений присутствовало выражение \(a^2+\ x^2\) — как в уравнении окружности. Именно поэтому становилось понятно, что их можно решить графически в координатах x; a.
Теперь — следующий тип задач. Здесь окружностей уже не будет. Зато будет разложение на множители.
4. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(a^2-ax-2x^2-6a+3x+9\left|x\right|=0\)
имеет ровно 4 решения?
Решение:
Раскроем модуль. Уравнение равносильно совокупности двух систем:
\(\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
x\textless 0 \\
a^2-ax-2x^2-6a-6x=0 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x\ge 0 \\
a^2-ax-2x^2-6a+12x=0 \end{array}
\right. \end{array}
.\right.\)
Упростим по очереди каждую из них.
1) Случай \(x\textless 0:\)
\(a^2-ax-2x^2-6a-6x=0;\)
\(2x^2+\left(a+6\right)x+6a-a^2=0.\)
Найдем дискриминант и корни этого квадратного уравнения.
\(D={\left(a+6\right)}^2-8\left(6a-a^2\right)=a^2+12a+36-48a+8a^2=\)
\(9a^2-36a+36=9\left(a^2-4a+4\right)=9{\left(a-2\right)}^2\ge 0;\)
\(\displaystyle x=\frac{-a-6\pm 3\left(a-2\right)}{4};\)
\(\displaystyle x_1=\frac{2a-12}{4}=\frac{a}{2}-3;\)
\(x_2=-a.\)
2) Случай \(x\ge 0:\)
\(a^2-ax-2x^2-6a+12x=0;\)
\(2x^2+\left(a-12\right)x+6a-a^2=0.\)
В этом случае также найдем дискриминант и корни квадратного уравнения.
\(D={\left(a-12\right)}^2-8\left(6a-a^2\right)=a^2-24a+144-48a+8a^2=\)
\(9a^2-72a+144=9\left(a^2-8a+16\right)=9{\left(a-4\right)}^2;\)
\(\displaystyle x=\frac{12-a\pm 3\left(a-4\right)}{4};\ \ x_1=\frac{12-a+3a-12}{4}=\frac{a}{2};\)
\(\displaystyle x_2=\frac{12-a-3a+12}{4}=\frac{-4a+24}{4}=6-a.\)
Получим:
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
x \textless 0 \\
\left[ \begin{array}{c}
x=\frac{a}{2}-3 \\
x=-a \end{array}
\right. \end{array}
\right.\) или \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
x\ge 0 \\
\left[ \begin{array}{c}
x=\frac{a}{2} \\
x=6-a \end{array}
\right. \end{array}
\right.\).
Решим совокупность двух систем графически в координатах \(\left(a;x\right).\)
Если \(a\le 0,\) уравнение имеет меньше 4 решений.
Если \(a\ge 6,\) также меньше 4 решений.
Если прямая \(a=a_0\) проходит через точку A или точку B, уравнение имеет ровно 3 решения.
В точке A пересекаются прямые \(\displaystyle x=\frac{a}{2}\) и \(x=6-a\), значит, для этой точки
\(\displaystyle \frac{a}{2}=6-a, a=12-2a, a=4 . \)
В точке B пересекаются прямые \(\displaystyle x=\frac{a}{2}-3\) и \(x=-a\) , то для точки B:
\(\displaystyle \frac{a}{2}-3=-a ; a-6=-2a; \ a=2\).
Уравнение имеет ровно 4 решения, если \(0 \textless a \textless 2\) или \( 2\ \textless a \textless 4\) или \(4\ \textless a \textless 6\) .
Ответ: \(a\in (0; 2)\cup (2; 4) \cup (4; 6). \)
Следующие две задачи мы решим (для разнообразия) аналитическим способом.
5. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(a^2-4ax-5x^2-6a-12x+18\left|x\right|=0\)
имеет меньше 4 решений?
Решение:
Уравнение равносильно совокупности:
\(\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
x\ge 0 \\
a^2-4ax-5x^2-6a+6x=0 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x\textless 0 \\
a^2-4ax-5x^2-6a-30x=0 \end{array}
\right. \end{array}
.\right.\)
Рассмотрим каждый случай отдельно
1) \(x\ge 0;\)
\(a^2-4ax-5x^2-6a+6x=0\Leftrightarrow 5x^2+\left(4a-6\right)x+6a-a^2=0\ \ (1)\)
2) \(x\textless 0\)
\(a^2-4ax-5x^2-6a-30x=0\Leftrightarrow 5x^2+\left(4a+30\right)x+6a-a^2=0\ \ (2)\)
Каждое из уравнений — квадратное и не может иметь больше 2 корней.
Если уравнение (1) имеет 2 неотрицательных корня, а уравнение (2) имеет 2 отрицательных корня, исходное уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем, при каких значениях \(a\) это происходит, а затем исключим эти значения. Получим случай, когда исходное уравнение имеет менее 4 корней.
Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если уравнение \(5x^2+\left(4a-6\right)x+6a-a^2=0\) имеет два неотрицательных корня, а уравнение \(5x^2+\left(4a+30\right)x+6a-a^2-a^2=0\) имеет два отрицательных корня.
1 уравнение:
\(5x^2+\left(4a-6\right)x+6a-a^2=0.\)
По теореме Виета, \(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a};\)
\(\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}\) для уравнения \(ax^2+bx+c=0.\)
.
При этом \(D\textgreater 0.\)
\( \displaystyle \left\{\begin{matrix}
4a-6 \textless 0 \\ a^2 -6a\leq 0
\\(4a-6)^2-20(6a-a^2)\textgreater 0
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a \textless \frac{3}{2} \\ a(a-6)\leq 0
\\ 16a^2-48a+36-120a+20a^2\textgreater 0
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a \textless \frac{3}{2} \\ 0\leq a
\leq 6 \\ 36a^2-168a+36 \textgreater 0
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a \textless \frac{3}{2} \\ 0 \leq a \leq 6
\\ 3a^2 -14a+3 \textgreater 0
.\end{matrix}\right.\)
\(3a^2-14a+3=0.\)
\(D=196-4\cdot 9=160.\)
\(\sqrt{D}=4\sqrt{10}.\)
\(\displaystyle a=\frac{14\pm 4\sqrt{10}}{6}=\frac{7 \pm 2\sqrt{10}}{3}.\)
\(\displaystyle
\left\{ \begin{array}{c}
\ a \textless \frac{3}{2} \\
0\le a\le 6 \\
{\ 3a}^2-14a+3 \textgreater 0 \end{array}
\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
0\le a \textless \frac{3}{2} \\
\left(a-\frac{7+2\sqrt{10}}{3}\right)\left(a-\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right) \textgreater 0
\end{array}
.\right.\
\)
Оценим \(\displaystyle \frac{7-2\sqrt{10}}{3}\) и \(\displaystyle \frac{7+2\sqrt{10}}{3}.\)
Сравним \(7\vee 2\sqrt{10};7\textgreater 2\sqrt{10},\) т.к. \(49\textgreater 40;\)
\(\displaystyle \frac{7-2\sqrt{10}}{3}\textgreater 0,\) также \(\displaystyle \frac{7-2\sqrt{10}}{3}\textless \frac{7-2\cdot 3}{3};0\textless \frac{7-2\sqrt{10}}{3}\textless \frac{1}{3}.\)
\(\displaystyle \frac{7+2\cdot 3}{3}\textless \frac{7+2\sqrt{10}}{3}\textless \frac{7+2\cdot 4}{3};4\textless \frac{7+2\sqrt{10}}{3}\textless 5.\)
Получим: \(\displaystyle 0\leq a \textless \frac{7-2\sqrt{10}}{3}.\)
2 уравнение: \(5x^2+\left(4a+30\right)x+6a-a^2=0;\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
x_1\textless 0 \\
x_2\textless 0 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x_1+x_2\textless 0 \\
x_1x_2\textgreater 0 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
-\left(4a+30\right)\textless 0 \\
6a-a^2\textgreater 0 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
2a+15\textgreater 0 \\
a\left(a-6\right)\textless 0 \end{array}
.\right.\)
При этом \(D\textgreater 0,\) т.е. \({\left(4a+30\right)}^2-20\left(6a-a^2\right)\textgreater 0.\)
\(16a^2+240a+900-20\left(6a-a^2\right)\textgreater 0;\)
\(4a^2+60a+225-30a+5a^2\textgreater 0;\)
\(9a^2+30a+225\textgreater 0;\)
\(3a^2+10a+75\textgreater 0\) — верно при всех a.
Получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
2a+15\textgreater 0 \\
a\left(a-6\right)\textless 0; \end{array}
\Leftrightarrow 0\textless a\textless 6.\right.\)
Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если выполняется система условий:
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
0 \leq a\textless \frac{7-2\sqrt{10}}{3} \\
0\textless a\textless 6 \end{array}
\right.\Leftrightarrow 0\textless a\textless \frac{7-2\sqrt{10}}{3}.\) При всех остальных значениях a — меньше четырёх решений. Значит, подходят значения \( \displaystyle a\in \left(-\infty ;0\right]\cup [ \frac{7-2\sqrt{10}}{3};+\infty ).\)
Ответ: \(\displaystyle a\in \left(-\infty ;0\right]\cup [\frac{7-2\sqrt{10}}{3};+\infty).\)
6. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
\(a^2-2ax-3x^2-4a-4x+8\left|x\right|=0\)
имеет ровно 4 корня.
Решение:
Раскроем модуль по определению.
\(a^2-2ax-3x^2-4a-4x+8\left|x\right|=0\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
a^2-2ax-3x^2-4a-4x+8x=0 \\
x\ge 0 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x\textless 0 \\
a^2-2ax-3x^2-4a-4x-8x=0 \end{array}
\right. \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
a^2-2ax-3x^2-4a+4x=0 \\
x\ge 0 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x\textless 0 \\
a^2-2ax-3x^2-4a-12x=0 \end{array}
\right. \end{array}
\right.\ .\)
Мы получили совокупность двух систем. Чтобы исходное уравнение имело ровно 4 корня, нужно, чтобы каждая система имела ровно два решения. Решим каждую из систем отдельно.
1) Первая система:
\(\left\{ \begin{array}{c}
a^2-2ax-3x^2-4a+4x=0 \\
x\ge 0 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x\ge 0 \\
3x^2+2\left(a-2\right)x+4a-a^2=0 \end{array}
\right. . \)
Чтобы квадратное уравнение имело два неотрицательных корня, необходимо и достаточно выполнения условий:
\(\left\{ \begin{array}{c}
D\textgreater 0 \\
x_1+x_2\textgreater 0 \\
x_1\cdot x_2\textgreater 0 \end{array}
\right. . \)
Другой способ: можно рассмотреть квадратичную функцию
\(y=3x^2+2\left(a-2\right)x+4a-a^2\ \) и воспользоваться условиями: \(\ \ \ \left\{ \begin{array}{c}
D\textgreater 0 \\
x_B \textless 0 \\
f\left(0\right)\ge 0 \end{array}
\right..\)
Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения.
\(4{\left(a-2\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(4a-a^2\right)\textgreater 0;\)
\(a^2-4a+4-12a+3a^2\textgreater 0;\)
\(4a^2-16a+4\textgreater 0;\)
\(a^2-4a+1\textgreater 0;\) при этом \(a-2 \textless 0;\)
\(4a-a^2\ge 0.\)
Получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
a^2-4a+1\textgreater 0 \\
a \textless 2 \\
0\le a\le 4 \end{array}
.\right.\)
Корни уравнения \(a^2-4a+1=0;\)
\(a=2\pm \sqrt{3}.\)
Отсюда \(0\le a\textless 2 - \sqrt{3}.\)
2) Вторая система:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x\textless 0 \\
a^2-2ax-3x^2-4a-12x=0 \end{array}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x\textless 0 \\
3x^2+2\left(a+6\right)x+4a-a^2=0 \end{array}
\right.\right. . \)
Чтобы система имела ровно 2 решения, для квадратичной функции
\(y=3x^2+2\left(a+6\right)x+4a-a^2\)
необходимо и достаточно выполнения условий:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x_B\textless 0 \\
D\textgreater 0 \\
f\left(0\right)\textgreater 0 \end{array}
.\right.\)
\(D\textgreater 0;\)
\(4{\left(a+6\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(4a-a^2\right)\textgreater 0;\)
\(a^2+12a+36-12a+3a^2\textgreater 0;\)
\(4a^2+36\textgreater 0\) — верно для всех \(a.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
a+6\textgreater 0 \\
4a-a^2\textgreater 0 \end{array}
.\right.\)
Решение второй системы: \(0\textless a\textless 4.\)
Исходное уравнение имеет ровно 4 различных решения, если
\(\left\{ \begin{array}{c}
0\le a\textless 2 - \sqrt{3} \\
0\textless a\textless 4 \end{array}
\right.\Leftrightarrow 0\textless a\textless 2 - \sqrt{3}.\)
Ответ: \(a\in \left(0;2 - \sqrt{3}\right).\)
Как всему этому научиться? Если вы решили освоить тему «Параметры» — не нужно начинать со сложных задач. Вначале — подготовительная работа. Элементарные функции и их графики, базовые элементы для решения задач с параметрами. Кроме того, надо отлично знать методы алгебры: разложение выражений на множители, выделение полных квадратов, решение уравнений и неравенств всех типов и многое другое.
Изучить все это можно на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике. На нем мы решаем и такие задачи, и более сложные. Изучаем не менее 11 методов решения задач с параметрами. Выпускники Онлайн-курса отлично справились с «параметрами» на ЕГЭ-2022.
