Автор материала - Анна Малкова
Какими были задачи с параметрами на ЕГЭ-2022? На этой странице — обзор всех типов задач №17, предложенных на ЕГЭ по математике в этом году, с полным решением и оформлением.
Напомним, что «параметры» — одна из дорогостоящих задач ЕГЭ. Она оценивается в 4 первичных балла.
Основной темой задач с параметрами на ЕГЭ этого года были модули.
Если вы не помните, что такое модуль числа, — вам сюда.
Способы решения — разные. В одних задачах удобнее графический способ, в других — аналитический.
Мы начнем с тех задач, которые решаются графическим способом. В первых трех, которые мы здесь разбираем, нам встретится уравнение окружности.
Почитать о нем подробно можно здесь.
1. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\left|x^2+a^2-6x-4a\right|=2x+2a\) имеет ровно 4 решения?
Решение:
Вспомним, как решать уравнения вида \(\left|A\right|=B.\)
\(\left|A\right|=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
B\ge 0, \\
\left[ \begin{array}{c}
A=B, \\
A=-B. \end{array}
\right. \end{array} \right.\)
Поэтому исходное уравнение равносильно системе:
\(\left\{ \begin{array}{c}
2x+2a\ge 0, \\
\left[ \begin{array}{c}
x^2+a^2-6x-4a=2x+2a, \\
x^2+a^2-6x-4a=-2x-2a. \end{array}
\right. \end{array} \right.\)
Получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x+a\ge 0, \\
\left[ \begin{array}{c}
x^2-8x+a^2-6a=0 ,\\
x^2-4x+a^2-2a=0; \end{array}
\right. \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x+a\ge 0, \\
\left[ \begin{array}{c}
x^2-8x+16+a^2-6a+9=25, \\
x^2-4x+4+a^2-2a+1=5; \end{array}
\right. \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
a\ge -x, \\
\left[ \begin{array}{c}
{\left(x-4\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2=25, \\
{\left(x-2\right)}^2+{\left(a-1\right)}^2=5. \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
Изобразим решения системы в координатах \(\left(x;a\right).\)
Уравнение \({\left(x-4\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2=25\) задает окружность \(\omega _1\) с центром \(P\left(4;3\right)\) и радиусом 5; уравнение \({\left(x-2\right)}^2+{\left(a-1\right)}^2=5\) задает окружность \(\omega _2\) с центром \(Q\left(2;1\right)\) и радиусом \(\sqrt{5}\); при этом должно выполняться условие \(a\ge -x.\)
Заметим, что обе окружности проходят через точки \(O(0;0)\) и \(M(1;-1).\)
Найдем, при каких значениях параметра \(a\) исходное уравнение имеет ровно 4 решения.
При \(a=-1\) прямая \(a=-1\) проходит через точку \(M,\) общую для двух окружностей; уравнение имеет ровно 3 решения.
Если прямая \(a=a_0\) проходит через точку \(A\) (нижнюю точку окружности \(\omega _2\)), уравнение также имеет 3 решения.
При этом \(a=1-\sqrt{5},\) поскольку разность ординат точек \(Q\) и \(A\) равна \(\sqrt{5},\) то есть радиусу окружности \(\omega _2.\)
При \(1-\sqrt{5}< a< -1\) уравнение имеет 4 решения.
Если \(a\le 1-\sqrt{5},\) решений меньше 4.
Если \(a=0,\) уравнение имеет ровно 3 решения, т. к. точка \(O(0; 0)\) общая для обеих окружностей.
Если прямая \(a=a_0\) проходит через \(B\) — верхнюю точку окружности \(\omega _2,\) уравнение имеет ровно 3 решения.
В этом случае \(a=1+\sqrt{5}.\)
При \(0< a< 1+\sqrt{5}\) уравнение имеет ровно 4 решения.
Если \(a> 1+\sqrt{5},\) решений меньше, чем 4.
Объединив случаи, получим ответ.
Ответ: \(a\in \left(1-\sqrt{5};-1\right)\cup \left(0;1+\sqrt{5}\right).\)
2. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^2-x-7a+a^2=\left|7x-a\right|\) имеет ровно 2 решения?
Решение:
Раскроем модуль по определению.
\(x^2-x-7a+a^2=\left|7x-a\right|\ \ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
7x-a\ge 0, \\
{\ x}^2-x-7a+a^2-7x+a=0, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
7x-a< 0 ,\\
{\ x}^2-x-7a+a^2+7x-a=0;\end{array}
\right. \end{array}
\right.\ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
a\le 7x, \\
{\ x}^2-8x+a^2-6a=0, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
a> 7x, \\
{\ x}^2+6x+a^2-8a=0; \end{array}
\right. \end{array}
\right.\ \ \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \ \ \ \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
a\le 7x, \\
{\ x}^2-8x+16+a^2-6a+9=25, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
a> 7x, \\
{\ x}^2+6x+9+a^2-8a+16=25; \end{array}
\right. \end{array}
\right. \ \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
a\le 7x, \\
{\ (x-4)}^2+({a-3)}^2=25,\ \ \ \ \ \ (1) \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
a> 7x, \\
{\ (x+3)}^2+{(a-4)}^2=25.\ \ \ \ \ (2) \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
Уравнение (1) задает окружность с центром в точке \(P(4; 3)\) и радиусом 5,
уравнение (2) задает окружность с центром в точке \(Q(-3; 4)\) и радиусом 5.
Изобразим график совокупности двух систем в системе координат \((x;a)\).
При \(a\le 7x\) получаем часть окружности (1), лежащую ниже прямой \(a = 7x;\)
при \(a> 7x\) получаем часть окружности (2), лежащую выше прямой \(a = 7x.\)
Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если прямая \({a = a}_{0 }\) пересекает график совокупности двух систем ровно два раза.
Прямая \(a = a{}_{0 },\) проходящая через точку \(C\), пересекает график совокупности двух систем один раз.
Найдем координаты \(C\) — самой нижней точки и \(E\) — самой верхней точки правой окружности.
Для этих точек \(x=4\). Найдем координату \(a\):
\({\ (4-4)}^2+({a-3)}^2=25; \; ({a-3)}^2=25; \; a=-2\) или \( a=8,\)
Координаты точек \(C (4; -2)\) и \(E (4; 8)\).
Найдем координаты \(D\) — самой нижней точки и \(F\) — самой верхней точки левой окружности.
Для этих точек \(x= - 3,\) найдем координату \(a\).
\({\ (-3\ +3)}^2+({a-4)}^2=25; \; ({a-4)}^2=25; \; a=-1\) или \(a=9,\)
Координаты точек: \(D (-3; -1), \, F(3; 9).\)
Точки \(A\) и \(B\), в которых пересекаются две окружности, лежат на прямой \(a = 7x\) (так как при \(a = 7x\) выражение под модулем равно нулю).
Подставив \(a = 7x\) в уравнение окружности (1) \({(x-4)}^2+({a-3)}^2=25,\) получим:
\({x}^2-8x+{\left(7x\right)}^2-6\cdot 7x=0;\)
\({50x}^2-50x=0;\)
\(50x(x-1)=0, \; x = 0\) или \(x = 1.\)
Получили точки \(B (0; 0)\) и \(A (1; 7).\)
Прямая \(a = a{}_{0 }\) пересекает график совокупности двух систем ровно два раза в следующих случаях:
1) Если прямая \(a = a{}_{0 }\) проходит выше точки \(C\), но ниже точки \(D\):
\(-2< a< -1.\)
2) Если прямая \(a = a{}_{0 }\) проходит выше точки \(B\), но ниже точки \(A\):
\( 0< a< 7.\)
3) Если прямая \(a = a{}_{0 }\) проходит выше точки \(E\), но ниже точки \(F\):
\( 8< a< 9.\)
Если \(a< -2\) или \(a> 9,\) то решений нет.
Если \(a = -2\) или \(a = 9,\) уравнение имеет ровно одно решение.
Если \(a = -1\ \) или \( a = 8,\) ровно три решения.
Если \(-1< a< 0\) или \(7< a< 8,\) ровно четыре решения. Эти случаи нам не подходят.
Ответ: a \(\in (-2;-1)\cup (0;7)\cup (8;9).\)
3. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\left|x^2+a^2-7x+5a\right|=x-a\) имеет ровно 2 корня?
Решение:
\(\left|A\right|=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
B\ge 0, \\
\left[ \begin{array}{c}
A=B, \\
A=-B. \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
Раскрыв модуль, получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
x^2+a^2-7x+5a=x-a, \\
x^2+a^2-7x+5a=a-x, \end{array}
\right. \\
x-a\ge 0 ; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
x^2-8x+a^2+6a=0, \\
x^2-6x+a^2+4a=0, \end{array}
\right. \\
x-a\ge 0; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
x^2-8x+16+a^2+6a+9=25, \\
x^2-6x+9+a^2+4a+4=13, \end{array}
\right. \\
x-a\ge 0; \end{array}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
{\left(x-4\right)}^2+{\left(a+3\right)}^2=25, \\
{\left(x-3\right)}^2+{\left(a+2\right)}^2=13, \end{array}
\right. \\
x-a\ge 0. \end{array} \right.\right.\)
Решим систему графически в координатах \(\left(x;a\right)\):
Прямая \(a=x\) - это биссектриса первого и третьего координатных углов.
Неравенство \(a\le x\) задает полуплоскость, расположенную ниже прямой \(a=x.\)
Уравнение \({\left(x-3\right)}^2+{\left(a+2\right)}^2=13\) задает окружность \(\omega _{1} \) с центром в точке \(P\left(3;-2\right)\) и радиусом \(R=\sqrt{13}.\)
Уравнение \({\left(x-4\right)}^2+{\left(a+3\right)}^2=25\) задает окружность \(\omega _{2} \) с центром в точке \(Q\left(4;-3\right)\) и радиусом \(R=5.\)
Заметим, что обе окружности проходят через точки \(O(0; 0)\) и \(M(1; 1)\). В этом легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнения окружностей.
Исходное уравнение имеет ровно 2 корня, если прямая \(a = a_0\) пересекает совокупность двух окружностей ровно в двух точках, лежащих не выше прямой \(a = x.\)
Это происходит в следующих случаях:
1) Прямая \(a = a_0\) проходит выше точки \(A\) и ниже точки \(B\) на рисунке, где \(A\) — нижняя точка окружности \(\omega _{2}, \; B\) — нижняя точка окружности \(\omega _{1}.\)
2) Прямая \(a = a_0\) проходит выше точки \(C\) и ниже точки \(D\) на рисунке, где \(D\) — верхняя точка окружности \(\omega _{2}, \; C \) — верхняя точка окружности \(\omega _{1}.\)
3) Прямая \(a = a_0\) проходит выше точки \(O(0; 0)\) и ниже точки \(M(1;1).\)
Найдем координаты точек \(A, \; B, \; C, \; D.\)
\(A\left(4;-8\right);\ \ D\left(4;2\right);\ \ B\left(3;-\left(2+\sqrt{13}\right)\right);\ \ C\left(3;\sqrt{13}-2\right).\)
Получим, что \(a\in \left(-8;-2-\sqrt{13}\right)\cup \left(0;1\right)\cup \left(\sqrt{13}-2;2\right).\)
Ответ: \(a\in \left(-8;-2-\sqrt{13}\right)\cup \left(0;1\right)\cup \left(\sqrt{13}-2;2\right).\)
Заметим, что в каждом из уравнений присутствовало выражение \(a^2+\ x^2\) — как в уравнении окружности. Именно поэтому становилось понятно, что их можно решить графически в координатах \((x; a).\)
Теперь — следующий тип задач. Здесь окружностей уже не будет. Зато будет разложение на множители.
4. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(a^2-ax-2x^2-6a+3x+9\left|x\right|=0\) имеет ровно 4 решения?
Решение:
Раскроем модуль. Уравнение равносильно совокупности двух систем:
\(\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
x<0,\\
a^2-ax-2x^2-6a-6x=0, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x\ge 0, \\
a^2-ax-2x^2-6a+12x=0. \end{array}
\right. \end{array} \right.\)
Упростим по очереди каждую из них.
1) Случай \(x<0:\)
\(a^2-ax-2x^2-6a-6x=0;\)
\(2x^2+\left(a+6\right)x+6a-a^2=0.\)
Найдем дискриминант и корни этого квадратного уравнения.
\(D={\left(a+6\right)}^2-8\left(6a-a^2\right)=a^2+12a+36-48a+8a^2=9a^2-36a+36=9\left(a^2-4a+4\right)=9{\left(a-2\right)}^2\ge 0;\)
\(\displaystyle x=\frac{-a-6\pm 3\left(a-2\right)}{4};\)
\(\displaystyle x_1=\frac{2a-12}{4}=\frac{a}{2}-3;\)
\(x_2=-a.\)
2) Случай \(x\ge 0:\)
\(a^2-ax-2x^2-6a+12x=0;\)
\(2x^2+\left(a-12\right)x+6a-a^2=0.\)
В этом случае также найдем дискриминант и корни квадратного уравнения.
\(D={\left(a-12\right)}^2-8\left(6a-a^2\right)=a^2-24a+144-48a+8a^2=9a^2-72a+144=9\left(a^2-8a+16\right)=9{\left(a-4\right)}^2;\)
\(\displaystyle x=\frac{12-a\pm 3\left(a-4\right)}{4};\ \ x_1=\frac{12-a+3a-12}{4}=\frac{a}{2};\)
\(\displaystyle x_2=\frac{12-a-3a+12}{4}=\frac{-4a+24}{4}=6-a.\)
Получим:
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
x < 0, \\
\left[ \begin{array}{c}
x=\displaystyle \frac{a}{2}-3, \\
x=-a \end{array}
\right. \end{array}
\right. \; \) или \( \; \displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
x\ge 0 ,\\
\left[ \begin{array}{c}
x=\displaystyle \frac{a}{2}, \\
x=6-a. \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
Решим совокупность двух систем графически в координатах \(\left(a;x\right).\)
Если \(a\le 0,\) уравнение имеет меньше 4 решений.
Если \(a\ge 6,\) также меньше 4 решений.
Если прямая \(a=a_0\) проходит через точку \(A\) или точку \(B\), уравнение имеет ровно 3 решения.
В точке \(A\) пересекаются прямые \(\displaystyle x=\frac{a}{2}\) и \(x=6-a\), значит, для этой точки:
\(\displaystyle \frac{a}{2}=6-a; \; a=12-2a; \; a=4. \)
В точке \(B\) пересекаются прямые \(\displaystyle x=\frac{a}{2}-3\) и \(x=-a\), то для точки \(B\):
\(\displaystyle \frac{a}{2}-3=-a ; \; a-6=-2a; \; a=2\).
Уравнение имеет ровно 4 решения, если \(0 < a < 2\) или \( 2 < a < 4\) или \(4 < a < 6.\)
Ответ: \(a\in (0; 2)\cup (2; 4) \cup (4; 6). \)
Следующие две задачи мы решим (для разнообразия) аналитическим способом.
5. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(a^2-4ax-5x^2-6a-12x+18\left|x\right|=0\) имеет меньше 4 решений?
Решение:
Уравнение равносильно совокупности:
\(\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
x\ge 0 ,\\
a^2-4ax-5x^2-6a+6x=0, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x < 0, \\
a^2-4ax-5x^2-6a-30x=0. \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
Рассмотрим каждый случай отдельно
1) \(x\ge 0;\)
\(a^2-4ax-5x^2-6a+6x=0\Leftrightarrow 5x^2+\left(4a-6\right)x+6a-a^2=0.\ \ (1)\)
2) \(x < 0;\)
\(a^2-4ax-5x^2-6a-30x=0\Leftrightarrow 5x^2+\left(4a+30\right)x+6a-a^2=0.\ \ (2)\)
Каждое из уравнений — квадратное и не может иметь больше 2 корней.
Если уравнение (1) имеет 2 неотрицательных корня, а уравнение (2) имеет 2 отрицательных корня, исходное уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем, при каких значениях \(a\) это происходит, а затем исключим эти значения. Получим случай, когда исходное уравнение имеет менее 4 корней.
Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если уравнение \(5x^2+\left(4a-6\right)x+6a-a^2=0\) имеет два неотрицательных корня, а уравнение \(5x^2+\left(4a+30\right)x+6a-a^2-a^2=0\) имеет два отрицательных корня.
1 уравнение:
\(5x^2+\left(4a-6\right)x+6a-a^2=0.\)
По теореме Виета, \(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a};\)
\(\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}\) для уравнения \(ax^2+bx+c=0.\)
\(\left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
x_{1}\geq 0,\\x_{2}=0,
\end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}
x_{2}\geq 0, \\x_{1}=0;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{1}+x_{2}> 0, \\x_{1}x_{2}\geq 0;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
-(4a-6)> 0, \\6a-a^{2}\geq 0.
\end{matrix}\right.\)
При этом \(D> 0.\)
\( \displaystyle \left\{\begin{matrix}
4a-6 < 0, \\ a^2 -6a\leq 0,
\\(4a-6)^2-20(6a-a^2)> 0;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a < \displaystyle \frac{3}{2}, \\ a(a-6)\leq 0,
\\ 16a^2-48a+36-120a+20a^2>0;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a < \displaystyle \frac{3}{2}, \\ 0\leq a
\leq 6, \\ 36a^2-168a+36> 0;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a < \displaystyle \frac{3}{2}, \\ 0 \leq a \leq 6,
\\ 3a^2 -14a+3 > 0.
\end{matrix}\right.\)
\(3a^2-14a+3=0.\)
\(D=196-4\cdot 9=160;\)
\(\sqrt{D}=4\sqrt{10}.\)
\(\displaystyle a=\frac{14\pm 4\sqrt{10}}{6}=\frac{7 \pm 2\sqrt{10}}{3}.\)
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} \ a < \displaystyle \frac{3}{2}, \\ 0\le a\le 6, \\ {\ 3a}^2-14a+3 > 0; \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 0\le a< \displaystyle \frac{3}{2}, \\ \left(a-\displaystyle \frac{7+2\sqrt{10}}{3}\right)\left(a-\displaystyle \frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right) > 0. \end{array} \right.\)
Оценим \(\displaystyle \frac{7-2\sqrt{10}}{3}\) и \(\displaystyle \frac{7+2\sqrt{10}}{3}.\)
Сравним \(7\vee 2\sqrt{10}; \; 7 > 2\sqrt{10},\) т. к. \(49 > 40;\)
\(\displaystyle \frac{7-2\sqrt{10}}{3} > 0,\) также \(\displaystyle \frac{7-2\sqrt{10}}{3} < \frac{7-2\cdot 3}{3}; \; 0 < \frac{7-2\sqrt{10}}{3} < \frac{1}{3}.\)
\(\displaystyle \frac{7+2\cdot 3}{3} < \frac{7+2\sqrt{10}}{3} < \frac{7+2\cdot 4}{3}; \; 4 < \frac{7+2\sqrt{10}}{3} < 5.\)
Получим: \(\displaystyle 0\leq a < \frac{7-2\sqrt{10}}{3}.\)
2 уравнение: \(5x^2+\left(4a+30\right)x+6a-a^2=0;\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
x_1 < 0, \\
x_2 < 0; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x_1+x_2 < 0, \\
x_1x_2 > 0; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
-\left(4a+30\right) < 0, \\
6a-a^2 > 0; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
2a+15 > 0, \\
a\left(a-6\right) < 0. \end{array} \right.\)
При этом \(D > 0,\) т. е. \({\left(4a+30\right)}^2-20\left(6a-a^2\right) > 0.\)
\(16a^2+240a+900-20\left(6a-a^2\right) > 0;\)
\(4a^2+60a+225-30a+5a^2 > 0;\)
\(9a^2+30a+225 > 0;\)
\(3a^2+10a+75 > 0\) — верно при всех \(a.\)
Получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
2a+15 > 0, \\
a\left(a-6\right) < 0; \end{array}
\Leftrightarrow 0 < a < 6.\right.\)
Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если выполняется система условий:
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
0 \leq a < \displaystyle \frac{7-2\sqrt{10}}{3}, \\
0 < a < 6; \end{array}
\right.\Leftrightarrow 0 < a < \frac{7-2\sqrt{10}}{3}.\)
При всех остальных значениях \(a\) — меньше четырёх решений.
Значит, подходят значения \( \displaystyle a\in \left(-\infty ;0\right]\cup \left [ \frac{7-2\sqrt{10}}{3};+\infty \right).\)
Ответ: \(\displaystyle a\in \left(-\infty ;0\right]\cup \left [\frac{7-2\sqrt{10}}{3};+\infty \right).\)
6. Найдите все положительные значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(a^2-2ax-3x^2-4a-4x+8\left|x\right|=0\) имеет ровно 4 корня.
Решение:
Раскроем модуль по определению.
\(a^2-2ax-3x^2-4a-4x+8\left|x\right|=0\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
a^2-2ax-3x^2-4a-4x+8x=0, \\
x\ge 0, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x < 0, \\
a^2-2ax-3x^2-4a-4x-8x=0; \end{array}
\right. \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
a^2-2ax-3x^2-4a+4x=0, \\
x\ge 0, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x < 0, \\
a^2-2ax-3x^2-4a-12x=0. \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
Мы получили совокупность двух систем. Чтобы исходное уравнение имело ровно 4 корня, нужно, чтобы каждая система имела ровно два решения. Решим каждую из систем отдельно.
1) Первая система:
\(\left\{ \begin{array}{c}
a^2-2ax-3x^2-4a+4x=0, \\
x\ge 0; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x\ge 0, \\
3x^2+2\left(a-2\right)x+4a-a^2=0. \end{array}
\right. \)
Чтобы квадратное уравнение имело два неотрицательных корня, необходимо и достаточно выполнения условий:
\(\left\{ \begin{array}{c}
D > 0, \\
x_1+x_2 > 0, \\
x_1\cdot x_2 > 0. \end{array}
\right. \)
Другой способ: можно рассмотреть квадратичную функцию
\(y=3x^2+2\left(a-2\right)x+4a-a^2\) и воспользоваться условиями: \(\left\{ \begin{array}{c}
D > 0, \\
x_B < 0, \\
f\left(0\right)\ge 0. \end{array}
\right.\)
Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения.
\(4{\left(a-2\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(4a-a^2\right) > 0;\)
\(a^2-4a+4-12a+3a^2 > 0;\)
\(4a^2-16a+4 > 0;\)
\(a^2-4a+1 > 0;\) при этом \(a-2 < 0;\)
\(4a-a^2\ge 0.\)
Получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
a^2-4a+1 > 0, \\
a < 2, \\
0\le a\le 4. \end{array} \right.\)
Корни уравнения \(a^2-4a+1=0;\)
\(a=2\pm \sqrt{3}.\)
Отсюда \(0\le a < 2 - \sqrt{3}.\)
2) Вторая система:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x < 0, \\
a^2-2ax-3x^2-4a-12x=0; \end{array}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x < 0, \\
3x^2+2\left(a+6\right)x+4a-a^2=0. \end{array}
\right.\right. \)
Чтобы система имела ровно 2 решения, для квадратичной функции \(y=3x^2+2\left(a+6\right)x+4a-a^2\) необходимо и достаточно выполнения условий:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x_B < 0, \\
D > 0, \\
f\left(0\right) > 0. \end{array} \right.\)
\(D > 0;\)
\(4{\left(a+6\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(4a-a^2\right) > 0;\)
\(a^2+12a+36-12a+3a^2 > 0;\)
\(4a^2+36 > 0\) — верно для всех \(a.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
a+6 > 0, \\
4a-a^2 >0. \end{array} \right.\)
Решение второй системы: \(0 < a < 4.\)
Исходное уравнение имеет ровно 4 различных решения, если
\(\left\{ \begin{array}{c}
0\le a < 2 - \sqrt{3}, \\
0 < a < 4; \end{array}
\right.\Leftrightarrow 0 < a < 2 - \sqrt{3}.\)
Ответ: \(a\in \left(0;2 - \sqrt{3}\right).\)
Как всему этому научиться? Если вы решили освоить тему «Параметры» — не нужно начинать со сложных задач. Вначале — подготовительная работа. Элементарные функции и их графики, базовые элементы для решения задач с параметрами. Кроме того, надо отлично знать методы алгебры: разложение выражений на множители, выделение полных квадратов, решение уравнений и неравенств всех типов и многое другое.
Изучить все это можно на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике. На нем мы решаем и такие задачи, и более сложные. Изучаем не менее 11 методов решения задач с параметрами. Выпускники Онлайн-курса отлично справились с «параметрами» на ЕГЭ-2022.
