Slider

Модуль числа

А. Г. Малкова, И. В. Яковлев. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru

В данной статье обсуждается определение модуля, а также простейшие уравнения и неравенства
с модулем.

Модуль числа и уравнения с модулем — тема особенная, прямо-таки заколдованная :-) Она
совсем не сложная, просто в школе её редко объясняют нормально. В результате без специальной
подготовки почти никто из школьников не может дать правильное определение модуля
и уж тем более решить уравнение с модулем. И эту картину мы наблюдаем на протяжении
многих лет.

Поэтому осваивайте тему «Уравнения и неравенства с модулем» по нашим статьям и на
наших занятиях! Вы сумеете обойти множество конкурентов на ЕГЭ, олимпиадах и вступительных
экзаменах.

Модуль числа называют ещё абсолютной величиной этого числа. Попросту говоря, при взятии
модуля нужно отбросить от числа его знак. В записи положительного числа и так нет.
никакого знака, поэтому модуль положительного числа равен ему самому. Например,
Модуль нуля равен нулю. А модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному
(без знака!). Например,

Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен:

Определение модуля

Вот оно:

От большинства известных из школы определений оно отличается лишь одним: в нём есть
выбор. Есть условие. И в зависимости от этого условия мы раскрываем модуль либо так, либо
иначе.

Так же, как в информатике — в разветвляющихся алгоритмах с применением условных
операторов. Как, вообще-то, и в жизни: сдал ЕГЭ на минимальный балл — можешь подавать
документы в ВУЗ. Не сдал на минимальный балл — можешь идти в армию :-)

Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы
раскрываем модуль по определению. Например,

В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например,
так
как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых x и y. Или:
так
так как выражение под модулем неположительно при любых z.

Геометрическая интерпретация модуля

Нарисуем числовую прямую. Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа.
Например, То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.

Эта геометрическая интерпретация очень полезна для решения уравнений и неравенств с
модулем.

Рассмотрим простейшее уравнение . Мы видим, что на числовой прямой есть две
точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и −3. Значит, у уравнения
есть два решения: x = 3 и x = −3.

Вообще, если имеются два числа a и b, то равно расстоянию между ними на числовой
прямой.

(В связи с этим нередко встречается обозначение длины отрезка AB, то есть расстояния
от точки A до точки B.)

Ясно, что (расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b
до точки a).

Решим уравнение . Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки x до
точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Мы видим, что наше уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы решили его самым простым
способом — без использования определения модуля.

Перейдём к неравенствам. Решим неравенство .

Эту запись можно прочитать так: «расстояние от точки x до точки −7 меньше четырёх».
Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Ответ: (-11; -3).

Другой пример. Решим неравенство |10 − x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой
прямой.

Ответ:

График функции  

Этот график надо знать обязательно. Для имеем y = x. Для имеем y = −x. В
результате получаем:

С помощью этого графика также можно решать уравнения и неравенства.

Корень из квадрата

Нередко в задачах ЕГЭ требуется вычислить
, где a – некоторое число или выражение.
Не забывайте, что

Действительно, по определению арифметического квадратного корня — это такое неотрицательное
число, квадрат которого равен
. Оно равно a при и -a при , т. е. как
раз .

Примеры заданий ЕГЭ

1. Найдите значение выражения при .

Заметим, что при . Следовательно, значение
нашего выражения равно: .

2. Найдите значение выражения при .

Действуем аналогично:

.

В следующей статье мы рассмотрим более сложные уравнения и неравенства с модулем,
относящиеся к части С заданий ЕГЭ, а также методы их решения.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.