ЕГЭ-2025 Задача 18 — 1. Решение

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение

\(a\Big(x-\displaystyle \frac{9}{x}\Big)^{2}-2\Big(x-\displaystyle \frac{9}{x}\Big)-49a+18=0\) имеет ровно два различных корня.

Решение:

Сделаем замену: \(t=x-\displaystyle \frac{9}{x}.\)

Уравнение примет вид: \(at^{2}-2t-49a+18=0.\)

Построим эскиз графика функции \(t=f(x)=x-\displaystyle \frac{9}{x}.\)

\(D(f): \; x\neq 0.\) Функция нечетная.

Нули функции: \(x-\displaystyle \frac{9}{x}=0; \; \frac{x^{2}-9}{x}=0;\)

\(x=3\) или \(x=-3.\)

Асимптоты:

• если \(x\to 0,\) то \(t\to \infty , \; x=0\) - вертикальная асимптота;
• если \(x\to \infty ,\) то \(t\sim x , \; t=x\) - наклонная асимптота.

Знаки на интервалах:

\(f'(x)=\Big(x-\displaystyle \frac{9}{x}\Big)'=1+\displaystyle \frac{9}{x^{2}}=\frac{x^{2}+9}{x}> 0\) при \(x\neq 0,\) значит, \(t=f(x)\) монотонно возрастает при \(x\neq 0.\)

Каждому \(t\) соответствует 2 значения \(x.\)

Значит, уравнение \(at^{2}-2t-(49a-18)=0\) должно иметь единственное решение.

Это достигается в следующих случаях:

1) \(a=0; \; -2t+18=0; \; t=9.\)

2) \(D=0; \; 4+4a(49a-18)=0;\)

\(49a^{2}-18a+1=0;\)

\(a=\displaystyle \frac{9\pm 4\sqrt{2}}{49}.\)

Ответ: \(0; \; \displaystyle \frac{9\pm 4\sqrt{2}}{49}.\)