ЕГЭ-2025 Задача 18 — 3. Решение

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \((\left | x+2\right |+\left | x-a\right |)^{2}-5\cdot (\left | x+2\right |+\left | x-a\right |)+3a(5-3a)=0\) имеет ровно два различных решения.

Решение:

Сделаем замену: \(t=\left | x+2\right |+\left | x-a\right |.\)

1) \(a> -2; \; t(-2)=\left | a+2\right |.\)

2) \(a<  -2.\)

Каждому \(t>\left | a+2\right |\) соответствует два различных решения.

Если \(t=\left | a+2\right |,\) то бесконечно много решений.

Если \(t < \left | a+2\right |,\) то \(\varnothing .\)

3) \(a=-2; \; t=2\left |x +2\right |.\)

Если \(a=-2,\) то \(t> 0.\)

\(t^{2}-5t-66=0;\)

\(D> 0 ,\) корни есть. По теореме Виета они разных знаков, значит,

\(t_{1}> 0, \; t_{2}<0 \Rightarrow a=-2\) подходит.

После замены уравнение примет вид: \(t^{2}-5t+3a(5-3a)=0.\)

Корни (по теореме Виета): \(t_{1}=3a, \; t_{2}=5-3a.\)

Исходное уравнение имеет ровно два различных решения в следующих случаях:

1) \(\left\{\begin{matrix} t_{1}> \left | a+2\right |, \\t_{2}< \left | a+2\right | \end{matrix}\right.\) или \(t_{1}=t_{2}>\left | a+2\right |.\)

\(\begin{matrix} \left | A\right | > B\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} A> B, \\A< -B, \end{matrix}\right. \\\left | A\right | < B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A< B, \\A> -B. \end{matrix}\right. \end{matrix}\)

\(\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 3a> \left | a+2\right |, \\5-3a< \left | a+2\right |, \end{matrix}\right. (1)\\\left\{\begin{matrix} 3a< \left | a+2\right |,  \\5-3a> \left | a+2\right |,  \end{matrix}\right. (2)\\3a=5-3a> \left | a+2\right |. \end{matrix}\right.\)

Решим первую систему совокупности:

\(\left\{\begin{matrix} 3a> \left | a+2\right |, \\5-3a< \left | a+2\right |; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+2< 3a, \\a+2> -3a, \\\left[\begin{matrix} a+2> 5-3a, \\a+2< 3a-5; \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a> 1, \\a> -\displaystyle \frac{1}{2}, \\\left[\begin{matrix} a> \displaystyle \frac{3}{4}, \\a> \displaystyle \frac{7}{2}; \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a> 1.\)

Решим вторую систему совокупности:

\(\left\{\begin{matrix} 3a< \left | a+2\right |, \\5-3a> \left | a+2\right |; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} a+2> 3a, \\a+2< -3a, \end{matrix}\right. \\a+2< 5-3a, \\a+2> 3a-5; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} a< 1, \\a< -\displaystyle \frac{1}{2}, \end{matrix}\right. \\a< \displaystyle \frac{3}{4}, \\a< \displaystyle \frac{7}{2}; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a< \displaystyle \frac{3}{4}.\)

Решим \(3a=5-3a> \left | a+2\right |:\)

\(a=\displaystyle \frac{5}{6}; \; \frac{15}{6}> \frac{17}{6}\) - неверно.

Совокупность (1) имеет решение: \(\left[\begin{matrix} a< \displaystyle \frac{3}{4}, \\a> 1, \end{matrix}\right.\) объединяем с \(a=-2\) и получаем решение \(\Big(-\infty ; \displaystyle \frac{3}{4}\Big)\cup (1; +\infty ).\)

Ответ: \(\Big(-\infty ; \displaystyle \frac{3}{4}\Big)\cup (1; +\infty ).\)