Автор материала - Анна Малкова
Какими были задачи с параметрами на ЕГЭ-2022? На этой странице — обзор всех типов задач №17, предложенных на ЕГЭ по математике в этом году, с полным решением и оформлением.
Напомним, что «параметры» — одна из дорогостоящих задач ЕГЭ. Она оценивается в 4 первичных балла.
Основной темой задач с параметрами на ЕГЭ этого года были модули.
Если вы не помните, что такое модуль числа, — вам сюда.
Способы решения — разные. В одних задачах удобнее графический способ, в других — аналитический.
Мы начнем с тех задач, которые решаются графическим способом. В первых трех, которые мы здесь разбираем, нам встретится уравнение окружности.
Почитать о нем подробно можно здесь.
1. При каких значениях параметра уравнение
имеет ровно 4 решения?
Решение:
Вспомним, как решать уравнения вида
Поэтому исходное уравнение равносильно системе:
Получим:
Изобразим решения системы в координатах
Уравнение задает окружность
с центром
и радиусом 5; уравнение
задает окружность
с центром
и радиусом
; при этом должно выполняться условие
Заметим, что обе окружности проходят через точки и
Найдем, при каких значениях параметра исходное уравнение имеет ровно 4 решения.
При прямая
проходит через точку
общую для двух окружностей; уравнение имеет ровно 3 решения.
Если прямая проходит через точку
(нижнюю точку окружности
), уравнение также имеет 3 решения.
При этом поскольку разность ординат точек Q и A равна
то есть радиусу окружности
При уравнение имеет 4 решения.
Если решений меньше 4.
Если уравнение имеет ровно 3 решения, т.к. точка O(0; 0) общая для обеих окружностей.
Если прямая проходит через B — верхнюю точку окружности
уравнение имеет ровно 3 решения.
В этом случае
При уравнение имеет ровно 4 решения.
Если решений меньше, чем 4.
Объединив случаи, получим ответ.
Ответ:
2. При каких значениях параметра уравнение
имеет ровно 2 решения?
Решение:
Раскроем модуль по определению.
Уравнение (1) задает окружность с центром в точке Р (4; 3) и радиусом 5,
уравнение (2) задает окружность с центром в точке Q(-3; 4) и радиусом 5.
Изобразим график совокупности двух систем в системе координат (x;a).
При получаем часть окружности (1), лежащую ниже прямой a = 7x;
при получаем часть окружности (2), лежащую выше прямой a = 7x.
Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если прямая пересекает график совокупности двух систем ровно два раза.
Прямая проходящая через точку С, пересекает график совокупности двух систем один раз.
Найдем координаты С — самой нижней точки и Е — самой верхней точки правой окружности.
Для этих точек x = 4. Найдем координату a:
или
Координаты точек С (4; и Е (4; 8).
Найдем координаты D — самой нижней точки и F — самой верхней точки левой окружности
Для этих точек x = - 3, найдем координату a.
или
Координаты точек: D (3;
1), F(
3; 9).
Точки А и В, в которых пересекаются две окружности, лежат на прямой
a = 7x (так как при a = 7x выражение под модулем равно нулю).
Подставив a = 7x в уравнение окружности (1) получим:
x = 0 или x = 1.
Получили точки В (0; 0) и А (1; 7).
Прямая пересекает график совокупности двух систем ровно два раза в следующих случаях:
1) если прямая проходит выше точки С, но ниже точки D:
2) если прямая проходит выше точки В, но ниже точки А:
3) если прямая проходит выше точки Е, но ниже точки F:
Если или
то решений нет.
Если или a = 9, уравнение имеет ровно одно решение.
Если или a = 8, ровно три решения.
Если или
ровно четыре решения. Эти случаи нам не подходят.
Ответ: a
3. При каких значениях параметра уравнение
имеет ровно 2 корня?
Решение:
Раскрыв модуль, получим:
Решим систему графически в координатах
Прямая - это биссектриса первого и третьего координатных углов.
Неравенство задает полуплоскость, расположенную ниже прямой
Уравнение задает окружность
1 с центром в точке
и радиусом
Уравнение задает окружность
2 с центром в точке
и радиусом
Заметим, что обе окружности проходят через точки О(0; 0) и М(1; 1). В этом легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнения окружностей.
Исходное уравнение имеет ровно 2 корня, если прямая пересекает совокупность двух окружностей ровно в двух точках, лежащих не выше прямой a = x.
Это происходит в следующих случаях:
1) Прямая проходит выше точки А и ниже точки В на рисунке, где А — нижняя точка окружности
2, В — нижняя точка окружности
1.
2) Прямая проходит выше точки С и ниже точки D на рисунке, где D — верхняя точка окружности
2, С — верхняя точка окружности
1.
3) Прямая проходит выше точки О(0; 0) и ниже точки М(1;1).
Найдем координаты точек А, В, С, D.
Получим, что
Ответ:
Заметим, что в каждом из уравнений присутствовало выражение — как в уравнении окружности. Именно поэтому становилось понятно, что их можно решить графически в координатах x; a.
Теперь — следующий тип задач. Здесь окружностей уже не будет. Зато будет разложение на множители.
4. При каких значениях параметра уравнение
имеет ровно 4 решения?
Решение:
Раскроем модуль. Уравнение равносильно совокупности двух систем:
Упростим по очереди каждую из них.
1) Случай
Найдем дискриминант и корни этого квадратного уравнения.
2) Случай
В этом случае также найдем дискриминант и корни квадратного уравнения.
Получим:
или
.
Решим совокупность двух систем графически в координатах
Если уравнение имеет меньше 4 решений.
Если также меньше 4 решений.
Если прямая проходит через точку A или точку B, уравнение имеет ровно 3 решения.
В точке A пересекаются прямые и
, значит, для этой точки
В точке B пересекаются прямые и
, то для точки B:
.
Уравнение имеет ровно 4 решения, если или
или
.
Ответ:
Следующие две задачи мы решим (для разнообразия) аналитическим способом.
5. При каких значениях параметра уравнение
имеет меньше 4 решений?
Решение:
Уравнение равносильно совокупности:
Рассмотрим каждый случай отдельно
1)
2)
Каждое из уравнений — квадратное и не может иметь больше 2 корней.
Если уравнение (1) имеет 2 неотрицательных корня, а уравнение (2) имеет 2 отрицательных корня, исходное уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем, при каких значениях это происходит, а затем исключим эти значения. Получим случай, когда исходное уравнение имеет менее 4 корней.
Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если уравнение имеет два неотрицательных корня, а уравнение
имеет два отрицательных корня.
1 уравнение:
По теореме Виета,
для уравнения
При этом
Оценим и
Сравним т.к.
также
Получим:
2 уравнение:
При этом т.е.
— верно при всех a.
Получим:
Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если выполняется система условий:
При всех остальных значениях a — меньше четырёх решений. Значит, подходят значения
Ответ:
6. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно 4 корня.
Решение:
Раскроем модуль по определению.
Мы получили совокупность двух систем. Чтобы исходное уравнение имело ровно 4 корня, нужно, чтобы каждая система имела ровно два решения. Решим каждую из систем отдельно.
1) Первая система:
Чтобы квадратное уравнение имело два неотрицательных корня, необходимо и достаточно выполнения условий:
Другой способ: можно рассмотреть квадратичную функцию
и воспользоваться условиями:
Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения.
при этом
Получим:
Корни уравнения
Отсюда
2) Вторая система:
Чтобы система имела ровно 2 решения, для квадратичной функции
необходимо и достаточно выполнения условий:
— верно для всех
Решение второй системы:
Исходное уравнение имеет ровно 4 различных решения, если
Ответ:
Как всему этому научиться? Если вы решили освоить тему «Параметры» — не нужно начинать со сложных задач. Вначале — подготовительная работа. Элементарные функции и их графики, базовые элементы для решения задач с параметрами. Кроме того, надо отлично знать методы алгебры: разложение выражений на множители, выделение полных квадратов, решение уравнений и неравенств всех типов и многое другое.
Изучить все это можно на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике. На нем мы решаем и такие задачи, и более сложные. Изучаем не менее 11 методов решения задач с параметрами. Выпускники Онлайн-курса отлично справились с «параметрами» на ЕГЭ-2022.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 05.09.2023