Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения

Автор материала - Анна Малкова

Какими были задачи с параметрами на ЕГЭ-2022? На этой странице — обзор всех типов задач №17, предложенных на ЕГЭ по математике в этом году, с полным решением и оформлением.

Напомним, что «параметры» — одна из дорогостоящих задач ЕГЭ. Она оценивается в 4 первичных балла.

Основной темой задач с параметрами на ЕГЭ этого года были модули.

Если вы не помните, что такое модуль числа, — вам сюда.

Способы решения — разные. В одних задачах удобнее графический способ, в других — аналитический.

Мы начнем с тех задач, которые решаются графическим способом. В первых трех, которые мы здесь разбираем, нам встретится уравнение окружности.

Почитать о нем подробно можно здесь.

1. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\left|x^2+a^2-6x-4a\right|=2x+2a$ имеет ровно 4 решения?

Решение:

Вспомним, как решать уравнения вида $\left|A\right|=B.$

$\left|A\right|=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}B\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}A=B \\A=-B \end{array}\right. \end{array}.\right.$

Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

$\left\{ \begin{array}{c}2x+2a\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}x^2+a^2-6x-4a=2x+2a \\x^2+a^2-6x-4a=-2x-2a \end{array}\right. \end{array}.\right.$

Получим:

$\left\{ \begin{array}{c}x+a\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}x^2-8x+a^2-6a=0 \\x^2-4x+a^2-2a=0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x+a\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}x^2-8x+16+a^2-6a+9=25 \\x^2-4x+4+a^2-2a+1=5 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}a\ge -x \\\left[ \begin{array}{c}{\left(x-4\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2=25 \\{\left(x-2\right)}^2+{\left(a-1\right)}^2=5 \end{array}\right. \end{array}.\right.$

Изобразим решения системы в координатах $\left(x;a\right).$

Уравнение ${\left(x-4\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2=25$ задает окружность $\omega _1$ с центром $P\left(4;3\right)$ и радиусом 5; уравнение ${\left(x-2\right)}^2+{\left(a-1\right)}^2=5$ задает окружность $\omega _2$ с центром $Q\left(2;1\right)$ и радиусом $\sqrt{5}$ ; при этом должно выполняться условие $a\ge -x.$

Заметим, что обе окружности проходят через точки $O(0;0)$ и $M(1;-1).$

Найдем, при каких значениях параметра $a$ исходное уравнение имеет ровно 4 решения.

При $a=-1$ прямая $a=-1$ проходит через точку $M,$ общую для двух окружностей; уравнение имеет ровно 3 решения.

Если прямая $a=a_0$ проходит через точку $A$ (нижнюю точку окружности $\omega _2$ ), уравнение также имеет 3 решения.

При этом $a=1-\sqrt{5},$ поскольку разность ординат точек Q и A равна $\sqrt{5},$ то есть радиусу окружности $\omega _2.$

При $1-\sqrt{5}\textless a\textless -1$ уравнение имеет 4 решения.

Если $a\le 1-\sqrt{5},$ решений меньше 4.

Если $a=0,$ уравнение имеет ровно 3 решения, т.к. точка O(0; 0) общая для обеих окружностей.

Если прямая $a=a_0$ проходит через B — верхнюю точку окружности $\omega _2,$ уравнение имеет ровно 3 решения.

В этом случае $a=1+\sqrt{5}.$

При $0\textless a\textless 1+\sqrt{5}$ уравнение имеет ровно 4 решения.

Если $a\textgreater 1+\sqrt{5,}$ решений меньше, чем 4.

Объединив случаи, получим ответ.

Ответ: $a\in \left(1-\sqrt{5};-1\right)\cup \left(0;1+\sqrt{5}\right).$

2. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2-x-7a+a^2=\left|7x-a\right|$ имеет ровно 2 решения?

Решение:

Раскроем модуль по определению.

$x^2-x-7a+a^2=\left|7x-a\right|\ \ \Leftrightarrow \$

$\Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}7x-a\ge 0 \\{\ x}^2-x-7a+a^2-7x+a=0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}7x-a\textless 0 \\{\ x}^2-x-7a+a^2+7x-a=0 \end{array}\right. \end{array}\right.\ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}a\le 7x \\{\ x}^2-8x+a^2-6a=0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}a\textgreater 7x \\{\ x}^2+6x+a^2-8a=0 \end{array}\right. \end{array}\right.\ \ \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \ \ \ \left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}a\le 7x \\{\ x}^2-8x+16+a^2-6a+9=25 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}a\textgreater 7x \\{\ x}^2+6x+9+a^2-8a+16=25 \end{array}\right. \end{array}\right. \ \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}a\le 7x \\{\ (x-4)}^2+({a-3)}^2=25\ \ \ \ \ \ (1) \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}a\textgreater 7x \\{\ (x+3)}^2+{(a-4)}^2=25\ \ \ \ \ (2) \end{array}\right. \end{array}\right.$

Уравнение (1) задает окружность с центром в точке Р (4; 3) и радиусом 5,

уравнение (2) задает окружность с центром в точке Q(-3; 4) и радиусом 5.

Изобразим график совокупности двух систем в системе координат (x;a).

При $a\le 7x$ получаем часть окружности (1), лежащую ниже прямой a = 7x;

при $a\textgreater 7x$ получаем часть окружности (2), лежащую выше прямой a = 7x.

Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если прямая ${a = a}_{0 }$ пересекает график совокупности двух систем ровно два раза.

Прямая $a = a{}_{0 },$ проходящая через точку С, пересекает график совокупности двух систем один раз.

Найдем координаты С — самой нижней точки и Е — самой верхней точки правой окружности.

Для этих точек x = 4. Найдем координату a:

${\ (4-4)}^2+({a-3)}^2=25;\ \ \ \ ({a-3)}^2=25;\ \ \ \ a=-2$ или $a=8,$

Координаты точек С (4; $-2)$ и Е (4; 8).

Найдем координаты D — самой нижней точки и F — самой верхней точки левой окружности

Для этих точек x = - 3, найдем координату a.

${\ (-3\ +3)}^2+({a-4)}^2=25;\ \ \ \ ({a-4)}^2=25;\ \ \ a=-1$ или $a=9,$

Координаты точек: D ( $-$ 3; $-$ 1), F( $-$ 3; 9).

Точки А и В, в которых пересекаются две окружности, лежат на прямой

a = 7x (так как при a = 7x выражение под модулем равно нулю).

Подставив a = 7x в уравнение окружности (1) ${\ (x-4)}^2+({a-3)}^2=25,\$ получим:

${\ x}^2-8x+{\left(7x\right)}^2-6\cdot 7x=0;$

${50\ x}^2-50x=0;$

$50x(x-1)=0,$ x = 0 или x = 1.

Получили точки В (0; 0) и А (1; 7).

Прямая $a = a{}_{0 }$ пересекает график совокупности двух систем ровно два раза в следующих случаях:

1) если прямая $a = a{}_{0 }$ проходит выше точки С, но ниже точки D:

$-2\textless a\textless -1;$

2) если прямая $a = a{}_{0 }$ проходит выше точки В, но ниже точки А:

$0\ \textless a\textless 7;$

3) если прямая $a = a{}_{0 }$ проходит выше точки Е, но ниже точки F:

$8\ \textless a\textless 9.$

Если $a\textless -2$ или $a\textgreater 9,$ то решений нет.

Если $a = -2$ или a = 9, уравнение имеет ровно одно решение.

Если $a = -1\$ или a = 8, ровно три решения.

Если $-1\textless a\textless 0$ или $7\textless a\textless 8,$ ровно четыре решения. Эти случаи нам не подходят.

Ответ: a $\in (-2;-1)\cup (0;7)\cup (8;9).$

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\left|x^2+a^2-7x+5a\right|=x-a$

имеет ровно 2 корня?

Решение:

$\left|A\right|=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}B\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}A=B \\A=-B \end{array}\right. \end{array}.\right.$

Раскрыв модуль, получим:

$\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x^2+a^2-7x+5a=x-a \\x^2+a^2-7x+5a=a-x \end{array}\right. \\x-a\ge 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x^2-8x+a^2+6a=0 \\x^2-6x+a^2+4a=0 \end{array}\right. \\x-a\ge 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x^2-8x+16+a^2+6a+9=25 \\x^2-6x+9+a^2+4a+4=13 \end{array}\right. \\x-a\ge 0 \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}{\left(x-4\right)}^2+{\left(a+3\right)}^2=25 \\{\left(x-3\right)}^2+{\left(a+2\right)}^2=13 \end{array}\right. \\x-a\ge 0 \end{array}.\right.\right.$

Решим систему графически в координатах $\left(x;a\right)$

Прямая $a=x$ - это биссектриса первого и третьего координатных углов.

Неравенство $a\le x$ задает полуплоскость, расположенную ниже прямой $a=x.$

Уравнение ${\left(x-3\right)}^2+{\left(a+2\right)}^2=13$ задает окружность $\omega$ 1 с центром в точке $P\left(3;-2\right)$ и радиусом $R=\sqrt{13}.$

Уравнение ${\left(x-4\right)}^2+{\left(a+3\right)}^2=25$ задает окружность $\omega$ 2 с центром в точке $Q\left(4;-3\right)$ и радиусом $R=5.$

Заметим, что обе окружности проходят через точки О(0; 0) и М(1; 1). В этом легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнения окружностей.

Исходное уравнение имеет ровно 2 корня, если прямая $a = a_0$ пересекает совокупность двух окружностей ровно в двух точках, лежащих не выше прямой a = x.

Это происходит в следующих случаях:

1) Прямая $a = a_0$ проходит выше точки А и ниже точки В на рисунке, где А — нижняя точка окружности $\omega$ 2, В — нижняя точка окружности $\omega$ 1.

2) Прямая $a = a_0$ проходит выше точки С и ниже точки D на рисунке, где D — верхняя точка окружности $\omega$ 2, С — верхняя точка окружности $\omega$ 1.

3) Прямая $a = a_0$ проходит выше точки О(0; 0) и ниже точки М(1;1).

Найдем координаты точек А, В, С, D.

$A\left(4;-8\right);\ \ D\left(4;2\right);\ \ B\left(3;-\left(2+\sqrt{13}\right)\right);\ \ C\left(3;\sqrt{13}-2\right).$

Получим, что $a\in \left(-8;-2-\sqrt{13}\right)\cup \left(0;1\right)\cup \left(\sqrt{13}-2;2\right).$

Ответ: $a\in \left(-8;-2-\sqrt{13}\right)\cup \left(0;1\right)\cup \left(\sqrt{13}-2;2\right).$

Заметим, что в каждом из уравнений присутствовало выражение $a^2+\ x^2$ — как в уравнении окружности. Именно поэтому становилось понятно, что их можно решить графически в координатах x; a.

Теперь — следующий тип задач. Здесь окружностей уже не будет. Зато будет разложение на множители.

4. При каких значениях параметра $a$ уравнение $a^2-ax-2x^2-6a+3x+9\left|x\right|=0$

имеет ровно 4 решения?

Решение:

Раскроем модуль. Уравнение равносильно совокупности двух систем:
$\left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}x\textless 0 \\a^2-ax-2x^2-6a-6x=0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}x\ge 0 \\a^2-ax-2x^2-6a+12x=0 \end{array}\right. \end{array}.\right.$

Упростим по очереди каждую из них.

1) Случай $x\textless 0:$

$a^2-ax-2x^2-6a-6x=0;$

$2x^2+\left(a+6\right)x+6a-a^2=0.$

Найдем дискриминант и корни этого квадратного уравнения.

$D={\left(a+6\right)}^2-8\left(6a-a^2\right)=a^2+12a+36-48a+8a^2=$

$9a^2-36a+36=9\left(a^2-4a+4\right)=9{\left(a-2\right)}^2\ge 0;$

$\displaystyle x=\frac{-a-6\pm 3\left(a-2\right)}{4};$

$\displaystyle x_1=\frac{2a-12}{4}=\frac{a}{2}-3;$

$x_2=-a.$

2) Случай $x\ge 0:$

$a^2-ax-2x^2-6a+12x=0;$

$2x^2+\left(a-12\right)x+6a-a^2=0.$

В этом случае также найдем дискриминант и корни квадратного уравнения.

$D={\left(a-12\right)}^2-8\left(6a-a^2\right)=a^2-24a+144-48a+8a^2=$

$9a^2-72a+144=9\left(a^2-8a+16\right)=9{\left(a-4\right)}^2;$

$\displaystyle x=\frac{12-a\pm 3\left(a-4\right)}{4};\ \ x_1=\frac{12-a+3a-12}{4}=\frac{a}{2};$

$\displaystyle x_2=\frac{12-a-3a+12}{4}=\frac{-4a+24}{4}=6-a.$

Получим:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}x \textless 0 \\\left[ \begin{array}{c}x=\frac{a}{2}-3 \\x=-a \end{array}\right. \end{array}\right.$ или $\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}x\ge 0 \\\left[ \begin{array}{c}x=\frac{a}{2} \\x=6-a \end{array}\right. \end{array}\right.$ .

Решим совокупность двух систем графически в координатах $\left(a;x\right).$

Если $a\le 0,$ уравнение имеет меньше 4 решений.

Если $a\ge 6,$ также меньше 4 решений.

Если прямая $a=a_0$ проходит через точку A или точку B, уравнение имеет ровно 3 решения.

В точке A пересекаются прямые $\displaystyle x=\frac{a}{2}$ и $x=6-a$ , значит, для этой точки
$\displaystyle \frac{a}{2}=6-a, a=12-2a, a=4 .$
В точке B пересекаются прямые $\displaystyle x=\frac{a}{2}-3$ и $x=-a$ , то для точки B:
$\displaystyle \frac{a}{2}-3=-a ; a-6=-2a; \ a=2$ .
Уравнение имеет ровно 4 решения, если $0 \textless a \textless 2$ или $2\ \textless a \textless 4$ или $4\ \textless a \textless 6$ .

Ответ: $a\in (0; 2)\cup (2; 4) \cup (4; 6).$

Следующие две задачи мы решим (для разнообразия) аналитическим способом.

5. При каких значениях параметра $a$ уравнение $a^2-4ax-5x^2-6a-12x+18\left|x\right|=0$

имеет меньше 4 решений?

Решение:

Уравнение равносильно совокупности:

$\left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}x\ge 0 \\a^2-4ax-5x^2-6a+6x=0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}x\textless 0 \\a^2-4ax-5x^2-6a-30x=0 \end{array}\right. \end{array}.\right.$

Рассмотрим каждый случай отдельно

1) $x\ge 0;$

$a^2-4ax-5x^2-6a+6x=0\Leftrightarrow 5x^2+\left(4a-6\right)x+6a-a^2=0\ \ (1)$

2) $x\textless 0$

$a^2-4ax-5x^2-6a-30x=0\Leftrightarrow 5x^2+\left(4a+30\right)x+6a-a^2=0\ \ (2)$

Каждое из уравнений — квадратное и не может иметь больше 2 корней.

Если уравнение (1) имеет 2 неотрицательных корня, а уравнение (2) имеет 2 отрицательных корня, исходное уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем, при каких значениях $a$ это происходит, а затем исключим эти значения. Получим случай, когда исходное уравнение имеет менее 4 корней.

Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если уравнение $5x^2+\left(4a-6\right)x+6a-a^2=0$ имеет два неотрицательных корня, а уравнение $5x^2+\left(4a+30\right)x+6a-a^2-a^2=0$ имеет два отрицательных корня.

1 уравнение:

$5x^2+\left(4a-6\right)x+6a-a^2=0.$

По теореме Виета, $\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a};$

$\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}$ для уравнения $ax^2+bx+c=0.$

При этом $D\textgreater 0.$

$\displaystyle \left\{\begin{matrix}4a-6 \textless 0 \\ a^2 -6a\leq 0\\(4a-6)^2-20(6a-a^2)\textgreater 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a \textless \frac{3}{2} \\ a(a-6)\leq 0\\ 16a^2-48a+36-120a+20a^2\textgreater 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a \textless \frac{3}{2} \\ 0\leq a\leq 6 \\ 36a^2-168a+36 \textgreater 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a \textless \frac{3}{2} \\ 0 \leq a \leq 6\\ 3a^2 -14a+3 \textgreater 0.\end{matrix}\right.$

$3a^2-14a+3=0.$

$D=196-4\cdot 9=160.$

$\sqrt{D}=4\sqrt{10}.$

$\displaystyle a=\frac{14\pm 4\sqrt{10}}{6}=\frac{7 \pm 2\sqrt{10}}{3}.$

$\displaystyle\left\{ \begin{array}{c}\ a \textless \frac{3}{2} \\0\le a\le 6 \\{\ 3a}^2-14a+3 \textgreater 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}0\le a \textless \frac{3}{2} \\\left(a-\frac{7+2\sqrt{10}}{3}\right)\left(a-\frac{7-2\sqrt{10}}{3}\right) \textgreater 0\end{array}.\right.\$

Оценим $\displaystyle \frac{7-2\sqrt{10}}{3}$ и $\displaystyle \frac{7+2\sqrt{10}}{3}.$

Сравним $7\vee 2\sqrt{10};7\textgreater 2\sqrt{10},$ т.к. $49\textgreater 40;$

$\displaystyle \frac{7-2\sqrt{10}}{3}\textgreater 0,$ также $\displaystyle \frac{7-2\sqrt{10}}{3}\textless \frac{7-2\cdot 3}{3};0\textless \frac{7-2\sqrt{10}}{3}\textless \frac{1}{3}.$

$\displaystyle \frac{7+2\cdot 3}{3}\textless \frac{7+2\sqrt{10}}{3}\textless \frac{7+2\cdot 4}{3};4\textless \frac{7+2\sqrt{10}}{3}\textless 5.$

Получим: $\displaystyle 0\leq a \textless \frac{7-2\sqrt{10}}{3}.$

2 уравнение: $5x^2+\left(4a+30\right)x+6a-a^2=0;$

$\left\{ \begin{array}{c}x_1\textless 0 \\x_2\textless 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x_1+x_2\textless 0 \\x_1x_2\textgreater 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}-\left(4a+30\right)\textless 0 \\6a-a^2\textgreater 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}2a+15\textgreater 0 \\a\left(a-6\right)\textless 0 \end{array}.\right.$

При этом $D\textgreater 0,$ т.е. ${\left(4a+30\right)}^2-20\left(6a-a^2\right)\textgreater 0.$

$16a^2+240a+900-20\left(6a-a^2\right)\textgreater 0;$

$4a^2+60a+225-30a+5a^2\textgreater 0;$

$9a^2+30a+225\textgreater 0;$

$3a^2+10a+75\textgreater 0$ — верно при всех a.

Получим:

$\left\{ \begin{array}{c}2a+15\textgreater 0 \\a\left(a-6\right)\textless 0; \end{array}\Leftrightarrow 0\textless a\textless 6.\right.$

Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если выполняется система условий:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}0 \leq a\textless \frac{7-2\sqrt{10}}{3} \\0\textless a\textless 6 \end{array}\right.\Leftrightarrow 0\textless a\textless \frac{7-2\sqrt{10}}{3}.$ При всех остальных значениях a — меньше четырёх решений. Значит, подходят значения $\displaystyle a\in \left(-\infty ;0\right]\cup [ \frac{7-2\sqrt{10}}{3};+\infty ).$

Ответ: $\displaystyle a\in \left(-\infty ;0\right]\cup [\frac{7-2\sqrt{10}}{3};+\infty).$

6. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение
$a^2-2ax-3x^2-4a-4x+8\left|x\right|=0$
имеет ровно 4 корня.

Решение:

Раскроем модуль по определению.

$a^2-2ax-3x^2-4a-4x+8\left|x\right|=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}a^2-2ax-3x^2-4a-4x+8x=0 \\x\ge 0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}x\textless 0 \\a^2-2ax-3x^2-4a-4x-8x=0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}a^2-2ax-3x^2-4a+4x=0 \\x\ge 0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}x\textless 0 \\a^2-2ax-3x^2-4a-12x=0 \end{array}\right. \end{array}\right.\ .$

Мы получили совокупность двух систем. Чтобы исходное уравнение имело ровно 4 корня, нужно, чтобы каждая система имела ровно два решения. Решим каждую из систем отдельно.

1) Первая система:

$\left\{ \begin{array}{c}a^2-2ax-3x^2-4a+4x=0 \\x\ge 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x\ge 0 \\3x^2+2\left(a-2\right)x+4a-a^2=0 \end{array}\right. .$

Чтобы квадратное уравнение имело два неотрицательных корня, необходимо и достаточно выполнения условий:

$\left\{ \begin{array}{c}D\textgreater 0 \\x_1+x_2\textgreater 0 \\x_1\cdot x_2\textgreater 0 \end{array}\right. .$

Другой способ: можно рассмотреть квадратичную функцию

$y=3x^2+2\left(a-2\right)x+4a-a^2\$ и воспользоваться условиями: $\ \ \ \left\{ \begin{array}{c}D\textgreater 0 \\x_B \textless 0 \\f\left(0\right)\ge 0 \end{array}\right..$

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения.

$4{\left(a-2\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(4a-a^2\right)\textgreater 0;$

$a^2-4a+4-12a+3a^2\textgreater 0;$

$4a^2-16a+4\textgreater 0;$

$a^2-4a+1\textgreater 0;$ при этом $a-2 \textless 0;$

$4a-a^2\ge 0.$

Получим:

$\left\{ \begin{array}{c}a^2-4a+1\textgreater 0 \\a \textless 2 \\0\le a\le 4 \end{array}.\right.$

Корни уравнения $a^2-4a+1=0;$

$a=2\pm \sqrt{3}.$

Отсюда $0\le a\textless 2 - \sqrt{3}.$

2) Вторая система:

$\left\{ \begin{array}{c}x\textless 0 \\a^2-2ax-3x^2-4a-12x=0 \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x\textless 0 \\3x^2+2\left(a+6\right)x+4a-a^2=0 \end{array}\right.\right. .$

Чтобы система имела ровно 2 решения, для квадратичной функции

$y=3x^2+2\left(a+6\right)x+4a-a^2$

необходимо и достаточно выполнения условий:

$\left\{ \begin{array}{c}x_B\textless 0 \\D\textgreater 0 \\f\left(0\right)\textgreater 0 \end{array}.\right.$

$D\textgreater 0;$

$4{\left(a+6\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(4a-a^2\right)\textgreater 0;$

$a^2+12a+36-12a+3a^2\textgreater 0;$

$4a^2+36\textgreater 0$ — верно для всех $a.$

$\left\{ \begin{array}{c}a+6\textgreater 0 \\4a-a^2\textgreater 0 \end{array}.\right.$

Решение второй системы: $0\textless a\textless 4.$

Исходное уравнение имеет ровно 4 различных решения, если

$\left\{ \begin{array}{c}0\le a\textless 2 - \sqrt{3} \\0\textless a\textless 4 \end{array}\right.\Leftrightarrow 0\textless a\textless 2 - \sqrt{3}.$

Ответ: $a\in \left(0;2 - \sqrt{3}\right).$

Как всему этому научиться? Если вы решили освоить тему «Параметры» — не нужно начинать со сложных задач. Вначале — подготовительная работа. Элементарные функции и их графики, базовые элементы для решения задач с параметрами. Кроме того, надо отлично знать методы алгебры: разложение выражений на множители, выделение полных квадратов, решение уравнений и неравенств всех типов и многое другое.

Изучить все это можно на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике. На нем мы решаем и такие задачи, и более сложные. Изучаем не менее 11 методов решения задач с параметрами. Выпускники Онлайн-курса отлично справились с «параметрами» на ЕГЭ-2022.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения

Это полезно