Показательные неравенства на ЕГЭ по математике

Знакомство с этой темой мы начнем с самых простых показательных неравенств.

1. \(2^{x}> 8.\)

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, представим правую часть в виде степени числа \(2:\)

\(2^{x}> 2^{3}.\)

Когда я спрашиваю школьников, что делать дальше, они обычно отвечают: «Убрать основания!» Я не против такой формулировки, просто надо четко представлять себе, почему мы так делаем. А для этого — вспомним, как выглядит график показательной функции \(y=2^{x}\).

Видим, что эта функция монотонно возрастает, то есть большему значению \(x\) отвечает большее значение \(y\).

И наоборот, если \(2^{x_{1}}> 2^{x_{2}}\), то \(x_{1}> x_{2}\).

Итак, от неравенства \(2^{x}> 2^{3}\) можно перейти к алгебраическому неравенству
\(x> 3\).

Ответ: \(\small x \in (3; +\infty ).\)

2.

Следующее неравенство: \(2^{x}> 7.\)

Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть в виде значения показательной функции. Как это сделать? С помощью логарифма, конечно:

\(7=2^{log_{2}7}.\)

Получаем:

\(2^{x}> 2^{log_{2}7};\)

\(x> log_{2}7.\)

3. Еще одно неравенство: \(\left (\displaystyle \frac{1}{2}\right )^{x}> \displaystyle \frac{1}{16}.\)

Здесь правую часть удобно представить как \(\left (\displaystyle \frac{1}{2}\right )^{4}\).

\(\left (\displaystyle \frac{1}{2}\right )^{x}>\left (\displaystyle \frac{1}{2}\right )^{4}.\)

Вспомним, как выглядит график функции \(y=\left (\displaystyle \frac{1}{2}\right )^{x}\):

Эта функция монотонно убывает (так как основание степени меньше единицы), поэтому большее значение функции соответствует меньшему значению аргумента. То есть из неравенства \(\left (\displaystyle \frac{1}{2}\right )^{x}> \left (\displaystyle \frac{1}{2}\right )^{4}\) следует, что \(x< 4\). Знак неравенства меняется! Похожая ситуация возникает и при решении логарифмических неравенств.

4. Рассмотрим неравенство \(log_{3}x> log_{3}5.\)

Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы \(x\) был положительным. Условие \(x> 0\) называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких \(x\) неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению \(x\) соответствует большее значение \(y\) и из неравенства \(log_{3}x_{1}> log_{3}x_{2}\) следует, что \(x_{1}> x_{2}\).

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, \(x> 5\).

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

5. \(log_{5}(15+3x)> log_{5}2x.\)

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

\(\left\{\begin{matrix}
15+3x> 0, \\2x> 0.
\end{matrix}\right.\)

Решая эту систему, получим: \(x> 0\).

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

\(15 + 3x> 2x,\)

Получаем: \(x> −15.\)

Итак,

\(\left\{\begin{matrix}
x> 0, \\x> -15.
\end{matrix}\right.\)

Ответ: \(x > 0.\)

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

6. \(log_{\frac{5}{6}}(2x-9)\geq log_{\frac{5}{6}}x.\)

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

\(\left\{\begin{matrix}
2x-9> 0, \\x> 0.
\end{matrix}\right.\)

Решая эту систему, получим: \(x> 4,5\).

Поскольку \(\displaystyle \frac{5}{6}< 1\), логарифмическая функция с основанием \(\displaystyle \frac{5}{6}\) монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если \(log_{\frac{5}{6}}(2x-9)\geq log_{\frac{5}{6}}x\), то \(2x-9\leq x.\)

Получим, что \(x\leq 9.\)

Учитывая, что \(x> 4,5\), запишем ответ:

\(x\in (4,5; 9].\)

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «Квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

7. \(4^{x}-2\cdot 5^{2x}-10^{x}> 0.\)

Заметим, что \(4^{x}=2^{2x}\), \(10^{x}=5^{x}\cdot 2^{x}\), и запишем неравенство в виде:

\(2^{2x}-5^{x}\cdot 2^{x}-2\cdot 5^{2x}> 0.\)

Разделим обе части на положительную величину \(5^{2x}\) и обозначим \(\left (\displaystyle \frac{2}{5}\right )^{x}=t\).

Получим квадратное неравенство: \(t^{2}-t-2> 0.\)

Кроме того, \(t> 0\).

Графиком функции \(y= t^{2}-t-2> 0\) является парабола, ветви которой направлены вверх.

Решая квадратное уравнение \(t^{2}-t-2> 0\), получим \(t_{1}=-1\), \(t_{2}=2\).

В этих точках наша парабола пересекает ось \(t\).

Отметим на числовой прямой промежутки, являющиеся решениями неравенств \(t^{2}-t-2> 0\) и \(t> 0\).

Видим, что обоим неравенствам удовлетворяют значения \(t> 2\).

Но решение еще не закончено! Нам нужно вернуться к переменной \(x\). Вспомним, что \(t=\left (\displaystyle \frac{2}{5}\right)^{x}\) и получим:

\(\left (\displaystyle \frac{2}{5}\right)^{x}> 2.\)

Представим \(2\) в виде степени с основанием \(\displaystyle \frac{2}{5}\):

\(\left (\displaystyle {2}{5}\right)^{x}> \left(\displaystyle \frac{2}{5}\right)^{log_{\displaystyle \frac{2}{5}}2}.\)

Получим: \(x<  log_{\frac{2}{5}}2.\)

Подведем итоги. И показательные, и логарифмические неравенства решаются практически одинаково. В первом случае — «отбрасываем» основания. Во втором — «отбрасываем» логарифмы. При этом, если основание больше единицы, знак неравенства сохраняется. Если основание меньше единицы — знак неравенства меняется на противоположный.

Показательные неравенства	Логарифмические неравенства