Знакомство с этой темой мы начнем с самых простых показательных неравенств.
1. 2x > 8
Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, представим правую часть в виде степени числа 2:
2x > 23
Когда я спрашиваю школьников, что делать дальше, они обычно отвечают: «Убрать основания!» Я не против такой формулировки, просто надо четко представлять себе, почему мы так делаем. А для этого — вспомним, как выглядит график показательной функции y = 2x.
Видим, что эта функция монотонно возрастает, то есть большему значению x отвечает большее значение y. И наоборот, если 2x1 > 2x2, то x1 > x2 . Итак, от неравенства 2x > 23 можно перейти к алгебраическому неравенству x > 3.
Ответ: .
2. Следующее неравенство:
2x > 7
Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть в виде значения показательной функции. Как это сделать? С помощью логарифма, конечно:
7 = 2log27.
Получаем:
2x > 2log27;
x > log27.
3. Еще одно неравенство:
Здесь правую часть удобно представить как .
.
Вспомним, как выглядит график функции :
Эта функция монотонно убывает (так как основание степени меньше единицы), поэтому большее значение функции соответствует меньшему значению аргумента. То есть из неравенства следует, что x < 4. Знак неравенства меняется!
4. Решите неравенство
Умножим обе части неравенства на
Сделаем замену Получили квадратичное неравенство относительно переменной t.
Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной х. Запомнили?
Разложим левую часть неравенства на множители.
где и
— корни квадратного уравнения
Получим:
Только теперь возвращаемся к переменной х.
«Отбрасываем» основания степеней и получаем ответ.
Ответ:
5. Решите неравенство:
Сделаем замену переменной:
Обратите внимание, что возвращаться к переменной х еще рано. Сначала решим неравенство с переменой t методом интервалов:
Поскольку получим:
Тогда
Обратите внимание, как мы представили 4 и 9 в виде степеней с основанием 7. Мы применили основное логарифмическое тождество.
Ответ:
6. 4x − 2 · 52x − 10x > 0.
Заметим, что 4x = 22x, 10x=5x·2x, и запишем неравенство в виде:
22x − 5x·2x − 2 · 52x > 0.
Разделим обе части на положительную величину 52x и обозначим . Получим квадратное неравенство:
t2 − t − 2 > 0.
Кроме того, t > 0.
Графиком функции y = t2 − t − 2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение t2 − t − 2 = 0, получим t1 = −1, t2 = 2. В этих точках наша парабола пересекает ось t.
Отметим на числовой прямой промежутки, являющиеся решениями неравенств t2 − t − 2 > 0 и t > 0.
Видим, что обоим неравенствам удовлетворяют значения t > 2.
Но решение еще не закончено! Нам нужно вернуться к переменной x. Вспомним, что и получим:
Представим 2 в виде степени с основанием :
Получим: x <
7. Решите неравенство
Здесь присутствуют степени с основаниями 3 и 5. Поделим на 3 обе части неравенства:
Возьмем логарифмы от левой и правой частей неравенства по основанию 3.
Логарифм произведения запишем как сумму логарифмов.
Разложим на множители
Ответ:
8. Решите неравенство:
Эта задача составлена Анной Малковой для одного из вариантов Математических тренингов. Мы видим, что неравенство комбинированное. Надо уметь решать и иррациональные неравенства, и показательные.
Сделаем замену
Получим:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
Мы получили, что
Значит, Это ответ.
Теперь подробно о каждом действии.
Посмотрим на неравенство Область его допустимых значений:
В левой его части — квадратный корень, величина неотрицательная. А вот правая часть может быть и больше нуля, и меньше, и равна нулю. Значит, возможны два случая:
1) Если правая часть неравенства тоже неотрицательна, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Получим систему:
2) Если правая часть неравенства отрицательна, то неравенство выполняется для всех х, принадлежащих ОДЗ. Получим:
Вот откуда в решении взялась совокупность двух систем.
Квадратичное неравенство из первой системы решаем стандартным способом. Находим корни уравнения
Его дискриминант , корни
Объединяем решения обоих систем на числовой прямой.
Получаем, что значит,
Ответ:
Подведем итоги.
Каким бы ни было показательное неравенство — его надо упростить до неравенства Знак здесь может быть любой:
. Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились степени с одинаковыми основаниями.
И после этого «отбрасываем» основания! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что
, знак неравенства меняется на противоположный.
Смотри также: Логарифмические неравенства
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Показательные неравенства на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 07.06.2023