previous arrow
next arrow
Slider

Показательные неравенства на ЕГЭ по математике

Знакомство с этой темой мы начнем с самых простых показательных неравенств.

1. 2x > 8

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, представим правую часть в виде степени числа 2:

2x > 23

Когда я спрашиваю школьников, что делать дальше, они обычно отвечают: «Убрать основания!» Я не против такой формулировки, просто надо четко представлять себе, почему мы так делаем. А для этого — вспомним, как выглядит график показательной функции y = 2x.


Видим, что эта функция монотонно возрастает, то есть большему значению x отвечает большее значение y. И наоборот, если 2x1 > 2x2, то x1 > x2 . Итак, от неравенства 2x > 23 можно перейти к алгебраическому неравенству x > 3.

Ответ: \small x \in (3; +\infty ).

2. Следующее неравенство:

2x > 7

Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть в виде значения показательной функции. Как это сделать? С помощью логарифма, конечно:
7 = 2log27.

Получаем:

2x > 2log27;

x > log27.

3. Еще одно неравенство:

Здесь правую часть удобно представить как .

.

Вспомним, как выглядит график функции :

Эта функция монотонно убывает (так как основание степени меньше единицы), поэтому большее значение функции соответствует меньшему значению аргумента. То есть из неравенства следует, что x < 4. Знак неравенства меняется!

4. Решите неравенство 3^{x+1}+9\cdot 3^{-x}\le 28.

3^{x+1}+9\cdot 3^{-x}\le 28

3\cdot 3^x+9\cdot \frac{1}{3^x}-28\le 0

\frac{3\cdot 3^{2x}-28\cdot 3^x+9}{3^x}\le 0

Умножим обе части неравенства на 3^x \textgreater 0.

Сделаем замену 3^x=t,t \textgreater 0. Получили квадратичное неравенство относительно переменной t.

3t^2-28t+9\le 0

D=b^2-4ac={28}^2-4\cdot 3\cdot 9={26}^2

t_1=\frac{28-26}{6}=\frac{1}{3}

t_2=\frac{28+26}{6}=9.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной х. Запомнили?

Разложим левую часть неравенства на множители.

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),

где x_1 и x_2 — корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0. Получим:

3\left(t-\frac{1}{3}\right)\left(t-9\right)\le 0

\left(t-\frac{1}{3}\right)\left(t-9\right)\le 0

\frac{1}{3}\le t\le 9. Только теперь возвращаемся к переменной х.

\frac{1}{3}\le 3^x\le 9

3^{-1}\le 3^x\le 3^2. «Отбрасываем» основания степеней и получаем ответ.

-1\le x\le 2

Ответ: x\in \left [-1;2\right]

5. Решите неравенство:

\frac{{\rm 2}}{{{\rm 7}}^{{\rm x}}{\rm -7}}\ge \frac{{\rm 5}}{{{\rm 7}}^{{\rm x}}{\rm -4}}

Сделаем замену переменной:

{{\rm 7}}^{{\rm x}}{\rm =t,t \textgreater 0.}

\frac{2}{(t-7)} - \frac {5}{(t-4)} \geq 0

\frac {(2t-8-5t+35)}{(t-7)(t-4)} \geq 0

\frac {(27-3t)}{(t-7)(t-4)} \geq 0

\frac {(t-9)}{(t-7)(t-4)} \leq 0

Обратите внимание, что возвращаться к переменной х еще рано. Сначала решим неравенство с переменой t методом интервалов:

Поскольку {\rm t \textgreater 0,} получим:

\left[ \begin{array}{c}{\rm t \textless 4} \\{\rm 7 \textless t}\le {\rm 9} \end{array}\right.

Тогда

\newline \left[ \begin{array}{c}{{\rm 7}}^{{\rm x}}{\rm \textless 4} \\{\rm 7 \textless }{{\rm 7}}^{{\rm x}}\le {\rm 9} \end{array};\right.\newline \,\newline \,\newline \left[ \begin{array}{c}{{\rm 7}}^{{\rm x}}{\rm \textless }{{\rm 7}}^{{{\log }_{{\rm 7}} {\rm 4}\ }} \\{{\rm 7}}^{{\rm 1}}{\rm \textless }{{\rm 7}}^{{\rm x}}\le {{\rm 7}}^{{{\log }_{{\rm 7}} {\rm 9}\ }} \end{array};\right.

Обратите внимание, как мы представили 4 и 9 в виде степеней с основанием 7. Мы применили основное логарифмическое тождество.

\left[ \begin{array}{c}{\rm x}{\rm \textless }{{\log }_{{\rm 7}} {\rm 4}\ } \\{\rm 1 \textless }{\rm x}\le {{\log }_{{\rm 7}} {\rm 9}\ } \end{array}\right.

Ответ: {\rm x}\in {\rm (-}\infty ;{\rm \ }{{\log }_{{\rm 7}} {\rm 4}\ }{\rm )}\cup {\rm (1};{\rm \ }{{\log }_{{\rm 7}} {\rm 9}\ }{\rm ]}.

6. 4x − 2 · 52x − 10x > 0.

Заметим, что 4x = 22x, 10x=5x·2x, и запишем неравенство в виде:
22x − 5x·2x − 2 · 52x > 0.

Разделим обе части на положительную величину 52x и обозначим . Получим квадратное неравенство:

t2 − t − 2 > 0.

Кроме того, t > 0.

Графиком функции y = t2 − t − 2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение t2 − t − 2 = 0, получим t1 = −1, t2 = 2. В этих точках наша парабола пересекает ось t.

Отметим на числовой прямой промежутки, являющиеся решениями неравенств t2 − t − 2 > 0 и t > 0.

Видим, что обоим неравенствам удовлетворяют значения t > 2.

Но решение еще не закончено! Нам нужно вернуться к переменной x. Вспомним, что и получим:

Представим 2 в виде степени с основанием :

Получим: x <

7. Решите неравенство 3^{x^2}\cdot 5^{x-1}\ge 3

Здесь присутствуют степени с основаниями 3 и 5. Поделим на 3 обе части неравенства:

3^{x^2}\cdot 5^{x-1}\ge 3 \Leftrightarrow \frac{3^{x^2}}{3}\cdot 5^{x-1}\ge 1.

3^{x^2-1}\cdot 5^{x-1}\ge 1

Возьмем логарифмы от левой и правой частей неравенства по основанию 3.

{{\log }_3 \left(3^{x^2-1}\cdot 5^{x-1}\right)\ge {{\log }_3 1\ }\ }\

Логарифм произведения запишем как сумму логарифмов.

{{\log }_3 3^{x^2-1}+{{\log }_3 5^{x-1}\ge 0\ }\ }

x^2-1+(x-1){{\log }_3 5\ }\ge 0

Разложим на множители x^2 - 1 = ( x-1) (x+1).

\left(x-1\right)\left(x+1\right)+\left(x-1\right){{\log }_3 5\ }\ge 0

\left(x-1\right)\left(x+1+{{\log }_3 5\ }\right)\ge 0

Ответ: x\in \left(-\infty ;\left.-1-{{\log }_3 5\ }\right]\cup \left[1;\left.+\infty \right)\right.\right.

8. Решите неравенство:

\sqrt{7+{\sqrt{2}}^x}\ge 7-2^{\frac{x}{2}+1}

Эта задача составлена Анной Малковой для одного из вариантов Математических тренингов. Мы видим, что неравенство комбинированное. Надо уметь решать и иррациональные неравенства, и показательные.

\sqrt{7+{\sqrt{2}}^x}\ge 7-2^{\frac{x}{2}+1}

Сделаем замену 2^{\frac{x}{2}}{=\left(\sqrt{2}\right)}^x=t;t \textgreater 0.\

Получим: \sqrt{7+t}\ge 7-2t.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

\newline \sqrt{7+t}\ge 7-2t \Leftrightarrow \left[\genfrac{}{}{0pt}{}{\left\{ \begin{array}{c}7+t\ge {\left(7-2t\right)}^2 \\\begin{array}{c}7-2t\ge 0 \\7+t\ge 0 \end{array}\end{array}\right.}{\left\{ \begin{array}{c}7+t\ge 0 \\7-2t \textless 0 \end{array}\right.} \Leftrightarrow \left[\genfrac{}{}{0pt}{}{\left\{ \begin{array}{c}{4t}^2-29t+42\le 0 \\t\le 3,5 \end{array}\right.}{t \textgreater 3,5}\right.\right. \Leftrightarrow \newline \Leftrightarrow \left[\genfrac{}{}{0pt}{}{\left\{ \begin{array}{c}2\le t\le \frac{21}{4} \\t\le 3,5 \end{array}\right.}{t \textgreater 3,5}\right. \Leftrightarrow \begin{array}{c}t\ge 2 \\\ \\\ \end{array}

Мы получили, что 2^{\frac{x}{2}}\ge 2,\ \ \ \ \frac{x}{2}\ge 1.\ \

Значит, x\ge 2. Это ответ.

Теперь подробно о каждом действии.

Посмотрим на неравенство \sqrt{7+t}\ge 7-2t. Область его допустимых значений: 7+t\ge 0

В левой его части — квадратный корень, величина неотрицательная. А вот правая часть может быть и больше нуля, и меньше, и равна нулю. Значит, возможны два случая:

1) Если правая часть неравенства тоже неотрицательна, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Получим систему:

\genfrac{}{}{0pt}{}{\left\{ \begin{array}{c}7+t\ge {\left(7-2t\right)}^2 \\\begin{array}{c}7-2t\ge 0 \\7+t\ge 0 \end{array}\end{array}\right.}{\ }.

2) Если правая часть неравенства отрицательна, то неравенство выполняется для всех х, принадлежащих ОДЗ. Получим:

\left\{ \begin{array}{c}7+t\ge 0 \\7-2t \textless 0 \end{array}\right.

Вот откуда в решении взялась совокупность двух систем.

Квадратичное неравенство из первой системы решаем стандартным способом. Находим корни уравнения {4t}^2-29t+42=0{.}

Его дискриминант D={29}^2-16\cdot 42=841-672=169, корни t=\frac{29\pm 13}{8};

t_1=\frac{21}{4},\ t_2=2.

Объединяем решения обоих систем на числовой прямой.

Получаем, что t \ge 2, значит, x \ge 2 .

Ответ: x\in \left[2;\ +\infty \right).

Подведем итоги.

Каким бы ни было показательное неравенство — его надо упростить до неравенства a^{{{\rm x}}_{{\rm 1}}}{\rm \textless }a^{{{\rm x}}_{{\rm 2}}}. Знак здесь может быть любой: \textgreater , \geq , \leq . Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились степени с одинаковыми основаниями.

И после этого «отбрасываем» основания! При этом, если основание степени a \textgreater 1, знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что 0 \textless {a} \textless 1, знак неравенства меняется на противоположный.

Смотри также: Логарифмические неравенства