Показательные неравенства на ЕГЭ по математике

Знакомство с этой темой мы начнем с самых простых показательных неравенств.

1. 2^x > 8

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, представим правую часть в виде степени числа 2:

2^x > 2³

Когда я спрашиваю школьников, что делать дальше, они обычно отвечают: «Убрать основания!» Я не против такой формулировки, просто надо четко представлять себе, почему мы так делаем. А для этого — вспомним, как выглядит график показательной функции y = 2^x.

Видим, что эта функция монотонно возрастает, то есть большему значению x отвечает большее значение y. И наоборот, если 2^x₁ > 2^x₂, то x₁ > x₂ . Итак, от неравенства 2^x > 2³ можно перейти к алгебраическому неравенству x > 3.

Ответ: $\small x \in (3; +\infty )$ .

2. Следующее неравенство:

2^x > 7

Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть в виде значения показательной функции. Как это сделать? С помощью логарифма, конечно:
7 = 2^log₂7.

Получаем:

2^x > 2^log₂7;

x > log₂7.

3. Еще одно неравенство:

$\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}>\frac{1}{16}$

Здесь правую часть удобно представить как $\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}$ .

$\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}>\left (\frac{1}{2} \right )^{4}$ .

Вспомним, как выглядит график функции $y=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ :

Эта функция монотонно убывает (так как основание степени меньше единицы), поэтому большее значение функции соответствует меньшему значению аргумента. То есть из неравенства $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x} > \left ( \frac{1}{2} \right )^{4}$ следует, что x < 4. Знак неравенства меняется!

4. Решите неравенство $3^{x+1}+9\cdot 3^{-x}\le 28.$

$3^{x+1}+9\cdot 3^{-x}\le 28$

$3\cdot 3^x+9\cdot \frac{1}{3^x}-28\le 0$

$\frac{3\cdot 3^{2x}-28\cdot 3^x+9}{3^x}\le 0$

Умножим обе части неравенства на $3^x \textgreater 0.$

Сделаем замену $3^x=t,t \textgreater 0.$ Получили квадратичное неравенство относительно переменной t.

$3t^2-28t+9\le 0$

$D=b^2-4ac={28}^2-4\cdot 3\cdot 9={26}^2$

$t_1=\frac{28-26}{6}=\frac{1}{3}$

$t_2=\frac{28+26}{6}=9.$

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной х. Запомнили?

Разложим левую часть неравенства на множители.

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$

где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0.$ Получим:

$3\left(t-\frac{1}{3}\right)\left(t-9\right)\le 0$

$\left(t-\frac{1}{3}\right)\left(t-9\right)\le 0$

$\frac{1}{3}\le t\le 9.$ Только теперь возвращаемся к переменной х.

$\frac{1}{3}\le 3^x\le 9$

$3^{-1}\le 3^x\le 3^2.$ «Отбрасываем» основания степеней и получаем ответ.

$-1\le x\le 2$

Ответ: $x\in \left [-1;2\right]$

5. Решите неравенство:

$\frac{{\rm 2}}{{{\rm 7}}^{{\rm x}}{\rm -7}}\ge \frac{{\rm 5}}{{{\rm 7}}^{{\rm x}}{\rm -4}}$

Сделаем замену переменной:

${{\rm 7}}^{{\rm x}}{\rm =t,t \textgreater 0.}$

$\frac{2}{(t-7)} - \frac {5}{(t-4)} \geq 0$

$\frac {(2t-8-5t+35)}{(t-7)(t-4)} \geq 0$

$\frac {(27-3t)}{(t-7)(t-4)} \geq 0$

$\frac {(t-9)}{(t-7)(t-4)} \leq 0$

Обратите внимание, что возвращаться к переменной х еще рано. Сначала решим неравенство с переменой t методом интервалов:

Поскольку ${\rm t \textgreater 0,}$ получим:

$\left[ \begin{array}{c}{\rm t \textless 4} \\{\rm 7 \textless t}\le {\rm 9} \end{array}\right.$

Тогда

$\newline \left[ \begin{array}{c}{{\rm 7}}^{{\rm x}}{\rm \textless 4} \\{\rm 7 \textless }{{\rm 7}}^{{\rm x}}\le {\rm 9} \end{array};\right.\newline \,\newline \,\newline \left[ \begin{array}{c}{{\rm 7}}^{{\rm x}}{\rm \textless }{{\rm 7}}^{{{\log }_{{\rm 7}} {\rm 4}\ }} \\{{\rm 7}}^{{\rm 1}}{\rm \textless }{{\rm 7}}^{{\rm x}}\le {{\rm 7}}^{{{\log }_{{\rm 7}} {\rm 9}\ }} \end{array};\right.$

Обратите внимание, как мы представили 4 и 9 в виде степеней с основанием 7. Мы применили основное логарифмическое тождество.

$\left[ \begin{array}{c}{\rm x}{\rm \textless }{{\log }_{{\rm 7}} {\rm 4}\ } \\{\rm 1 \textless }{\rm x}\le {{\log }_{{\rm 7}} {\rm 9}\ } \end{array}\right.$

Ответ: ${\rm x}\in {\rm (-}\infty ;{\rm \ }{{\log }_{{\rm 7}} {\rm 4}\ }{\rm )}\cup {\rm (1};{\rm \ }{{\log }_{{\rm 7}} {\rm 9}\ }{\rm ]}.$

6. 4^x − 2 · 5^2x − 10^x > 0.

Заметим, что 4^x = 2^2x, 10^x=5^x·2^x, и запишем неравенство в виде:
2^2x − 5^x·2^x − 2 · 5^2x > 0.

Разделим обе части на положительную величину 5^2x и обозначим $\left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=t$ . Получим квадратное неравенство:

t² − t − 2 > 0.

Кроме того, t > 0.

Графиком функции y = t² − t − 2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение t² − t − 2 = 0, получим t₁ = −1, t₂ = 2. В этих точках наша парабола пересекает ось t.

Отметим на числовой прямой промежутки, являющиеся решениями неравенств t² − t − 2 > 0 и t > 0.

Видим, что обоим неравенствам удовлетворяют значения t > 2.

Но решение еще не закончено! Нам нужно вернуться к переменной x. Вспомним, что $t=\left ( \frac{2}{5} \right )^{x}$ и получим:

$\left ( \frac{2}{5} \right )^{x}>2$

Представим 2 в виде степени с основанием $\frac{2}{5}$ :

$\left (\frac{2}{5} \right )^{x}>\left (\frac{2}{5} \right )^{log_{\frac{2}{5}}2}$

Получим: x < $log_{\frac{2}{5}}2$

7. Решите неравенство $3^{x^2}\cdot 5^{x-1}\ge 3$

Здесь присутствуют степени с основаниями 3 и 5. Поделим на 3 обе части неравенства:

$3^{x^2}\cdot 5^{x-1}\ge 3 \Leftrightarrow \frac{3^{x^2}}{3}\cdot 5^{x-1}\ge 1.$

$3^{x^2-1}\cdot 5^{x-1}\ge 1$

Возьмем логарифмы от левой и правой частей неравенства по основанию 3.

${{\log }_3 \left(3^{x^2-1}\cdot 5^{x-1}\right)\ge {{\log }_3 1\ }\ }\$

Логарифм произведения запишем как сумму логарифмов.

${{\log }_3 3^{x^2-1}+{{\log }_3 5^{x-1}\ge 0\ }\ }$

$x^2-1+(x-1){{\log }_3 5\ }\ge 0$

Разложим на множители $x^2 - 1 = ( x-1) (x+1).$

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)+\left(x-1\right){{\log }_3 5\ }\ge 0$

$\left(x-1\right)\left(x+1+{{\log }_3 5\ }\right)\ge 0$

Ответ: $x\in \left(-\infty ;\left.-1-{{\log }_3 5\ }\right]\cup \left[1;\left.+\infty \right)\right.\right.$

8. Решите неравенство:

$\sqrt{7+{\sqrt{2}}^x}\ge 7-2^{\frac{x}{2}+1}$

Эта задача составлена Анной Малковой для одного из вариантов Математических тренингов. Мы видим, что неравенство комбинированное. Надо уметь решать и иррациональные неравенства, и показательные.

$\sqrt{7+{\sqrt{2}}^x}\ge 7-2^{\frac{x}{2}+1}$

Сделаем замену $2^{\frac{x}{2}}{=\left(\sqrt{2}\right)}^x=t;t \textgreater 0.\$

Получим: $\sqrt{7+t}\ge 7-2t.$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

$\newline \sqrt{7+t}\ge 7-2t \Leftrightarrow \left[\genfrac{}{}{0pt}{}{\left\{ \begin{array}{c}7+t\ge {\left(7-2t\right)}^2 \\\begin{array}{c}7-2t\ge 0 \\7+t\ge 0 \end{array}\end{array}\right.}{\left\{ \begin{array}{c}7+t\ge 0 \\7-2t \textless 0 \end{array}\right.} \Leftrightarrow \left[\genfrac{}{}{0pt}{}{\left\{ \begin{array}{c}{4t}^2-29t+42\le 0 \\t\le 3,5 \end{array}\right.}{t \textgreater 3,5}\right.\right. \Leftrightarrow \newline \Leftrightarrow \left[\genfrac{}{}{0pt}{}{\left\{ \begin{array}{c}2\le t\le \frac{21}{4} \\t\le 3,5 \end{array}\right.}{t \textgreater 3,5}\right. \Leftrightarrow \begin{array}{c}t\ge 2 \\\ \\\ \end{array}$

Мы получили, что $2^{\frac{x}{2}}\ge 2,\ \ \ \ \frac{x}{2}\ge 1.\ \$

Значит, $x\ge 2.$ Это ответ.

Теперь подробно о каждом действии.

Посмотрим на неравенство $\sqrt{7+t}\ge 7-2t.$ Область его допустимых значений: $7+t\ge 0$

В левой его части — квадратный корень, величина неотрицательная. А вот правая часть может быть и больше нуля, и меньше, и равна нулю. Значит, возможны два случая:

1) Если правая часть неравенства тоже неотрицательна, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Получим систему:

$\genfrac{}{}{0pt}{}{\left\{ \begin{array}{c}7+t\ge {\left(7-2t\right)}^2 \\\begin{array}{c}7-2t\ge 0 \\7+t\ge 0 \end{array}\end{array}\right.}{\ }.$

2) Если правая часть неравенства отрицательна, то неравенство выполняется для всех х, принадлежащих ОДЗ. Получим:

$\left\{ \begin{array}{c}7+t\ge 0 \\7-2t \textless 0 \end{array}\right.$

Вот откуда в решении взялась совокупность двух систем.

Квадратичное неравенство из первой системы решаем стандартным способом. Находим корни уравнения ${4t}^2-29t+42=0{.}$

Его дискриминант $D={29}^2-16\cdot 42=841-672=169$ , корни $t=\frac{29\pm 13}{8};$

$t_1=\frac{21}{4},\ t_2=2.$

Объединяем решения обоих систем на числовой прямой.

Получаем, что $t \ge 2,$ значит, $x \ge 2 .$

Ответ: $x\in \left[2;\ +\infty \right).$

Подведем итоги.

Каким бы ни было показательное неравенство — его надо упростить до неравенства $a^{{{\rm x}}_{{\rm 1}}}{\rm \textless }a^{{{\rm x}}_{{\rm 2}}}.$ Знак здесь может быть любой: $\textgreater , \geq , \leq$ . Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились степени с одинаковыми основаниями.

И после этого «отбрасываем» основания! При этом, если основание степени $a \textgreater 1$ , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что $0 \textless {a} \textless 1$ , знак неравенства меняется на противоположный.

Смотри также: Логарифмические неравенства

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Показательные неравенства на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Это полезно