previous arrow
next arrow
Slider

Построение графиков функций

Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она... мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, - линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».

Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».

Темы для повторения:

Понятие функции

Типы элементарных функций

Преобразования графиков функций

Производная функции

1. Построим график функции y=\frac{x^2-1}{x+1}

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

Упростим формулу функции:

y=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)}=x-1 при x\ne -1

График функции — прямая y=x-1 с выколотой точкой M (-1;-2).

2. Построим график функции y=\frac{2x+4}{x-3}

Выделим в формуле функции целую часть:

y=\frac{2x+4}{x-3}=\frac{2x-6+6+4}{x-3}=\frac{2(x-3)}{x-3}+\frac{10}{x-3}=2+\frac{10}{x-3}

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функцииy=\frac{1}{x}.

Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

3. Построим график функции y=1-2\left|x\right|

Он получается из графика функции y=|x| растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали

4. Построим график функции y=3{sin \left(2x+\frac{ \pi }{3}\right)+}1

Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:

y=3{\sin 2\cdot \left(x+\frac{ \pi }{6}\right)+}1.

Действуем по порядку:

1) График функции y=sinx сдвинем на \frac{ \pi }{6} влево;

2) сожмем в 2 раза по горизонтали,

3) растянем в 3 раза по вертикали,

4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

5. Построим график функции y=\frac{(x-1)(x-3)}{x}

Область определения функции: {\rm x}\ne {\rm 0}

Нули функции: x = 1 и x = 3.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

y=\frac{(x-1)(x-3)}{x}=\frac{x^2-4x+3}{x}=x-4+\frac{3}{x}

Если x стремится к бесконечности, то \frac{3}{x} стремится к нулю. Прямая y = x-4 является наклонной асимптотой к графику функции.

6. Построим график функции

y=\frac{(x+3)(x-2)(x-6)}{x^2(x-4)}

Это дробно-рациональная функция.

Область определения функции D (y): {\rm x}\ne {\rm 4};{\rm x}\ne {\rm 0}.

Нули функции: точки — 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x= 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

Еще один интересный прием — сложение графиков.

7. Построим график функции y=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}.

Если x стремится к бесконечности, то \frac{1}{x} и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте y =\frac{x}{2}.

Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как \frac{1}{x}. Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

8. Построим график функции y={{log}_2 x}{cos x} .

Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен {{log}_2 x}.

Значения функции равны нулю при x = 1 (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где {cos x}=0, то есть при x{\rm =}\frac{\pi }{{\rm 2}}{\rm +}\pi {\rm n}{\rm ,}{\rm n}\in {\rm Z}.

При x{\rm =2}\pi {\rm n}{\rm ,}{\rm n}\in {\rm Z}, значение {cos x} равно единице. Значение функции в этих точках будет равно {{log}_2 x}.

9. Построим график функции y={\frac{sinx}{x} }.

Функция определена при x\ne 0. Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций y=sin x и y=\frac{1}{x}. График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции — в точках, где {sin x}=0, то есть при x{\rm =}\pi {\rm n}{\rm ,}{\rm n}\in {\rm Z}.

Если x стремится к бесконечности, y=\frac{sinx}{x} стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное \frac{sinx}{x} ?

Оказывается, что если x стремится к нулю, то {\frac{sinx}{x} } стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции y=\frac{4x}{4+x^2}.

Область определения функции — все действительные числа, поскольку 4+x^2 \textgreater 0.

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

При x=0 значение функции равно нулю. При x \textgreater 0 значения функции положительны, при x \textless 0 отрицательны.

Если x стремится к бесконечности, то y=\frac{4x}{4+x^2}=\frac{4}{\frac{4}{x}+x} стремится к нулю.

Найдем производную функции y=\frac{4x}{4+x^2}.
По формуле производной частного, \left(\frac{u}{v}\right)^{

y^{

y^{ если x=2 или x=-2.

В точке x=-2 производная меняет знак с «минуса» на «плюс», x=-2 — точка минимума функции.

В точкеx=2 производная меняет знак с «плюса» на «минус», x=2 — точка максимума функции.

Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

y\left(2\right)=1, y\left(-2\right)=-y\left(2\right)=-{\rm 1.}

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

Общая схема построения графика функции: 

1. Область определения функции

2. Область значений функции

3. Четность — нечетность (если есть)

4. Периодичность (если есть)

5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.