Построение графиков функций

Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она... мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, - линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».

Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».

Темы для повторения:

Понятие функции

Типы элементарных функций

Преобразования графиков функций

Производная функции

1. Построим график функции $y=\frac{x^2-1}{x+1}$

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

Упростим формулу функции:

$y=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)}=x-1$ при $x\ne -1$

График функции — прямая $y=x-1$ с выколотой точкой $M (-1;-2).$

2. Построим график функции $y=\frac{2x+4}{x-3}$

Выделим в формуле функции целую часть:

$y=\frac{2x+4}{x-3}=\frac{2x-6+6+4}{x-3}=\frac{2(x-3)}{x-3}+\frac{10}{x-3}=2+\frac{10}{x-3}$

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции $y=\frac{1}{x}.$

Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

3. Построим график функции $y=1-2\left|x\right|$

Он получается из графика функции $y=|x|$ растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали

4. Построим график функции $y=3{sin \left(2x+\frac{ \pi }{3}\right)+}1$

Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:

$y=3{\sin 2\cdot \left(x+\frac{ \pi }{6}\right)+}1.$

Действуем по порядку:

1) График функции y=sinx сдвинем на $\frac{ \pi }{6}$ влево;

2) сожмем в 2 раза по горизонтали,

3) растянем в 3 раза по вертикали,

4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

5. Построим график функции $y=\frac{(x-1)(x-3)}{x}$

Область определения функции: ${\rm x}\ne {\rm 0}$

Нули функции: $x = 1$ и $x = 3.$

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

$y=\frac{(x-1)(x-3)}{x}=\frac{x^2-4x+3}{x}=x-4+\frac{3}{x}$

Если x стремится к бесконечности, то $\frac{3}{x}$ стремится к нулю. Прямая $y = x-4$ является наклонной асимптотой к графику функции.

6. Построим график функции

$y=\frac{(x+3)(x-2)(x-6)}{x^2(x-4)}$

Это дробно-рациональная функция.

Область определения функции $D (y): {\rm x}\ne {\rm 4};{\rm x}\ne {\rm 0}.$

Нули функции: точки — 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: $x= 0, x = 4.$

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, $y = 1$ — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

Еще один интересный прием — сложение графиков.

7. Построим график функции $y=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}.$

Если x стремится к бесконечности, то $\frac{1}{x}$ и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте $y =\frac{x}{2}.$

Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как $\frac{1}{x}.$ Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

8. Построим график функции $y={{log}_2 x}{cos x} .$

Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен ${{log}_2 x}.$

Значения функции равны нулю при $x = 1$ (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где ${cos x}=0,$ то есть при $x{\rm =}\frac{\pi }{{\rm 2}}{\rm +}\pi {\rm n}{\rm ,}{\rm n}\in {\rm Z}.$

При $x{\rm =2}\pi {\rm n}{\rm ,}{\rm n}\in {\rm Z}$ , значение {cos x} равно единице. Значение функции в этих точках будет равно ${{log}_2 x}.$

9. Построим график функции $y={\frac{sinx}{x} }.$

Функция определена при $x\ne 0.$ Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций $y=sin x$ и $y=\frac{1}{x}.$ График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции — в точках, где ${sin x}=0,$ то есть при $x{\rm =}\pi {\rm n}{\rm ,}{\rm n}\in {\rm Z}.$

Если x стремится к бесконечности, $y=\frac{sinx}{x}$ стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное $\frac{sinx}{x}$ ?

Оказывается, что если x стремится к нулю, то ${\frac{sinx}{x} }$ стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции $y=\frac{4x}{4+x^2}.$

Область определения функции — все действительные числа, поскольку $4+x^2 \textgreater 0.$

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

При x=0 значение функции равно нулю. При $x \textgreater 0$ значения функции положительны, при $x \textless 0$ отрицательны.

Если x стремится к бесконечности, то $y=\frac{4x}{4+x^2}=\frac{4}{\frac{4}{x}+x}$ стремится к нулю.

Найдем производную функции $y=\frac{4x}{4+x^2}.$
По формуле производной частного, $\left(\frac{u}{v}\right)^{$

$y^{$

$y^{$ если $x=2$ или $x=-2.$

В точке $x=-2$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс», $x=-2$ — точка минимума функции.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «плюса» на «минус», $x=2$ — точка максимума функции.

Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

$y\left(2\right)=1, y\left(-2\right)=-y\left(2\right)=-{\rm 1.}$

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

Общая схема построения графика функции:

1. Область определения функции

2. Область значений функции

3. Четность — нечетность (если есть)

4. Периодичность (если есть)

5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

Построение графиков функций

Это полезно