Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:
\(sin\mkern 2mu x=a\)
\(cos\mkern 2mu x=a\)
\(tg\mkern 2mu x=a\)
\(ctg\mkern 2mu x=a\)
Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники часто допускают ошибки, что ведет к потере баллов на ЕГЭ. Именно поэтому так важна данная тема.
Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Следуя ему, надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрежки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы отказываемся от такого подхода раз и навсегда.
Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.
Уравнения \(cos\mkern 2mu x=a\) и \(sin\mkern 2mu x=a\)
Напомним, что \(cos\mkern 2mu x\) — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу \(x\), а \(sin\mkern 2mu x\) — её ордината.
Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения \(cos\mkern 2mu x=a\) и \(sin\mkern 2mu x=a\) имеют решения только при условии \(|a| \leq 1\).
Абитуриент, будь внимателен! Уравнения \(sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}\) или \(cos\mkern 2mu x=-7\) решений не имеют!
Начнём с самых простых уравнений.
\(1\). \(cos\mkern 2mu x=1\).
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: \(0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi, 6\pi, -6\pi,\ldots\). Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов \(2\pi\) (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).
Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:
\(x=2\pi n, n\in Z\)
Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что \(Z\) — это множество целых чисел.
\(2\). \(cos\mkern 2mu x=-1\).
Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой \(-1\):
Эта точка соответствует углу \(\pi\) и всем углам, отличающихся от \(\pi\) на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:
\(x=\pi + 2\pi n, n\in Z \)
\(3\). \(sin\mkern 2mux=1\).
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой \(1\):
И записываем ответ:
\(x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} + 2\pi n, n\in Z \)
\(4\). \(sin\mkern 2mu x=-1\).
Обсуждать тут уже нечего, не так ли? :-)
\(x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} + 2\pi n, n\in Z \)
Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:
\(x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 2} + 2\pi n, n\in Z \)
Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение. Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить \(2\pi n\).
\(5\). \(sin\mkern 2mu x=0\).
На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:
Эти точки соответствуют углам \(0, \pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \ldots\) Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов \(\pi\) (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,
\(x=\pi n, n\in Z \)
Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.
\(6\). \(cos\mkern 2mu x=0\).
Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:
Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из — \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\) прибавлением целого числа углов \(\pi\) (полуоборотов):
\(x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} + \pi n, n\in Z \)
Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить \(\pi n\).
Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или \( \pm 1\)). Начинаем с косинуса.
\(7\). \(cos\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\)
Имеем вертикальную пару точек с абсциссой \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\):
Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):
\(x_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z \)
Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:
\(x_2=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z \)
Обе серии решений можно описать одной формулой:
\(x_2= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z \)
Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.
\(8\). \(cos\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}\)
\(x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} + 2\pi n, n\in Z \)
\(9\). \(cos\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}\)
\(x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z \)
\(10\). \(cos\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\)
\(x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z \)
\(11\). \(cos\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}\)
\(x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4} + 2\pi n, n\in Z \)
\(12\). \(cos\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}\)
\(x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z \)
Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.
\(13\). \(sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\)
Имеем горизонтальную пару точек с ординатой \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\):
Углы, отвечающие правой точке:
\(x_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z \)
Углы, отвечающие левой точке:
\(x_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z \)
Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:
\(\left[\begin{matrix}x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n,
\\
x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z
\end{matrix}\right.\)
Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:
\(x=\left( -1 \right)^k \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi k, k\in Z \)
На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она дает обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных \(k\). Если \(k=2n\), то
\(x=\left( -1 \right)^{2n} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi \cdot 2n=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n\)
Мы получили первую серию решений \(x_1\). А если \(k\) — нечетно, \(k=2n+1\), то
\(x=\left( -1 \right)^{2n+1} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi \cdot \left( 2n+1 \right)=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n+\pi=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n\)
Это вторая серия \(x_2\).
Обратим внимание, что в качестве множителя при \(\left( -1 \right)^k\) обычно ставится правая точка, в данном случае \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}\).
Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.
\(14\). \(sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}\)
\(\left[\begin{matrix}x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+2\pi n,
\\
x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4}+2\pi n, n\in Z
\end{matrix}\right.\)
\(x=\left( -1 \right)^k\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+\pi k, k\in Z\)
\(15\). \(sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}\)
\(\left[\begin{matrix}x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+2\pi n,
\\
x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle 3}+2\pi n, n\in Z
\end{matrix}\right.\)
\(x=\left( -1 \right)^k\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+\pi k, k\in Z\)
\(16\). \(sin\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\)
\(\left[\begin{matrix}x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}+2\pi n,
\\
x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6}+2\pi n, n\in Z
\end{matrix}\right.\)
\(x=\left( -1 \right)^k\left( -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}\right)+\pi k=\left( -1 \right)^{k+1}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}+\pi k, k\in Z\)
\(17\). \(sin\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}\)
\(\left[\begin{matrix}x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+2\pi n,
\\
x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4}+2\pi n, n\in Z
\end{matrix}\right.\)
\(x=\left( -1 \right)^{k+1}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+\pi k, k\in Z\)
\(18\). \(sin\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}\)
\(\left[\begin{matrix}x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+2\pi n,
\\
x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle 3}+2\pi n, n\in Z
\end{matrix}\right.\)
\(x=\left( -1 \right)^{k+1}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+\pi k, k\in Z\)
На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.
Линия тангенсов.
Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная \(AB\) к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).
Из подобия треугольников \(OAB\) и \(ONM\) имеем:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AB}{\displaystyle OA}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle MN}{\displaystyle ON}\)
Но \(OA=1\), \(MN=sin\mkern 2mux \), \(ON=cos\mkern 2mux\), поэтому
\(AB=tg\mkern 2mux\)
Мы рассмотрели случай, когда \(x\) находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда \(x\) находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.
Тангенс угла \(x\) равен ординате точки \(B\), которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой \(OM\), соединяющей точку \(x\) с началом координат.
Вот рисунок в случае, когда \(x\) находится во второй четверти. Тангенс угла \(x\) отрицателен.
Уравнение \(tg\mkern 2mux=a\)
Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение \(tg\mkern 2mux=a\) имеет решения при любом \(a\).
\(19\). \(tg\mkern 2mux=0\)
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:
Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:
\(x=\pi n, n \in Z\)
\(20\). \(tg\mkern 2mux=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}\)
Имеем диаметральную пару:
Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:
\(x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi n, n \in Z\)
Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.
\(21\). \(tg\mkern 2mux=1\)
\(x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} + \pi n, n \in Z\)
\(22\). \(tg\mkern 2mux=\sqrt{3}\)
\(x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + \pi n, n \in Z\)
\(23\). \(tg\mkern 2mux=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}\)
\(x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi n, n \in Z\)
\(24\). \(tg\mkern 2mux=-1\)
\(x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} + \pi n, n \in Z\)
\(25\). \(tg\mkern 2mux=-\sqrt{3}\)
\(x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + \pi n, n \in Z\)
На этом заканчиваем пока и с тангенсом.
Уравнение \(ctg\mkern 2mux=a\) нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
уравнение \(ctg\mkern 2mux=0\) равносильно уравнению \(cos\mkern 2mux=0\) ;
при \(a \neq 0\) уравнение \(ctg\mkern 2mux=a\) равносильно уравнению \(tg\mkern 2mux=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle a}\).
Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях :-)
Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.
А что делать, например, с уравнением \(sin\mkern 2mux=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}\) ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.
