Slider

Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

sin\mkern 2mu x=a
cos\mkern 2mu x=a
tg\mkern 2mu x=a
ctg\mkern 2mu x=a

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники часто допускают ошибки, что ведет к потере баллов на ЕГЭ.  Именно поэтому так важна данная тема.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Следуя ему, надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрежки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы отказываемся от такого подхода раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Уравнения cos\mkern 2mu x=a и sin\mkern 2mu x=a

Напомним, что cos\mkern 2mu x — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а sin\mkern 2mu x — её ордината.

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cos\mkern 2mu x=a и sin\mkern 2mu x=a имеют решения только при условии |a| \leq 1.

Абитуриент, будь внимателен! Уравнения sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} или cos\mkern 2mu x=-7 решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

1. cos\mkern 2mu x=1.
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:


Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi, 6\pi, -6\pi,\ldots. Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2\pi (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

x=2\pi n, n\in Z

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.

2. cos\mkern 2mu x=-1.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой -1:

Эта точка соответствует углу \pi и всем углам, отличающихся от \pi на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

x=\pi + 2\pi n, n\in Z

3. sin\mkern 2mux=1.
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1:

И записываем ответ:

x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} + 2\pi n, n\in Z

4. sin\mkern 2mu x=-1.

Обсуждать тут уже нечего, не так ли? :-)

x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} + 2\pi n, n\in Z

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 2} + 2\pi n, n\in Z

Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение. Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2\pi n.

5. sin\mkern 2mu x=0.

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:

Эти точки соответствуют углам 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \ldots Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов \pi (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,

x=\pi n, n\in Z

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

6. cos\mkern 2mu x=0.

Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из — \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} прибавлением целого числа углов \pi (полуоборотов):

x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} + \pi n, n\in Z

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить \pi n.

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или \pm 1). Начинаем с косинуса.

7. cos\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}:

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

x_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

x_2=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z

Обе серии решений можно описать одной формулой:

x_2= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

8. cos\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}


x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} + 2\pi n, n\in Z

9. cos\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}

x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z

10. cos\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}


x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z

11. cos\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}


x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4} + 2\pi n, n\in Z

12. cos\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}


x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

13. sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}:

Углы, отвечающие правой точке:
x_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z
Углы, отвечающие левой точке:
x_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z

Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

\left[\begin{matrix}x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n,\\x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

x=\left( -1 \right)^k \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi k, k\in Z

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она дает обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k=2n, то

x=\left( -1 \right)^{2n} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi \cdot 2n=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n

Мы получили первую серию решений x_1. А если k — нечетно, k=2n+1, то

x=\left( -1 \right)^{2n+1} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi \cdot \left( 2n+1 \right)=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n+\pi=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n

Это вторая серия x_2.

Обратим внимание, что в качестве множителя при \left( -1 \right)^k обычно ставится правая точка, в данном случае  \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}.

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

14. sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}

\left[\begin{matrix}x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+2\pi n,\\x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4}+2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

x=\left( -1 \right)^k\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+\pi k, k\in Z

15. sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}

\left[\begin{matrix}x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+2\pi n,\\x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle 3}+2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

x=\left( -1 \right)^k\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+\pi k, k\in Z

16. sin\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}


\left[\begin{matrix}x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}+2\pi n,\\x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6}+2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

x=\left( -1 \right)^k\left( -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}\right)+\pi k=\left( -1 \right)^{k+1}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}+\pi k, k\in Z

17. sin\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}

\left[\begin{matrix}x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+2\pi n,\\x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4}+2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

x=\left( -1 \right)^{k+1}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+\pi k, k\in Z

18. sin\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}


\left[\begin{matrix}x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+2\pi n,\\x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle 3}+2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

x=\left( -1 \right)^{k+1}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+\pi k, k\in Z

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.

Линия тангенсов.

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная AB к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Из подобия треугольников OAB и ONM имеем:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AB}{\displaystyle OA}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle MN}{\displaystyle ON}

Но OA=1, MN=sin\mkern 2mux , ON=cos\mkern 2mux, поэтому

AB=tg\mkern 2mux

Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM, соединяющей точку x с началом координат.

Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.

Уравнение tg\mkern 2mux=a

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg\mkern 2mux=a имеет решения при любом a.

19. tg\mkern 2mux=0
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:


Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

x=\pi n, n \in Z

20. tg\mkern 2mux=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}

Имеем диаметральную пару:

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi n, n \in Z

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

21. tg\mkern 2mux=1


x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} + \pi n, n \in Z

22. tg\mkern 2mux=\sqrt{3}


x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + \pi n, n \in Z

23. tg\mkern 2mux=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}


x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi n, n \in Z

24. tg\mkern 2mux=-1


x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} + \pi n, n \in Z

25. tg\mkern 2mux=-\sqrt{3}


x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + \pi n, n \in Z

На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение ctg\mkern 2mux=a нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
уравнение ctg\mkern 2mux=0 равносильно уравнению cos\mkern 2mux=0 ;

при a \neq 0 уравнение ctg\mkern 2mux=a равносильно уравнению tg\mkern 2mux=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle a}.

Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях :-)

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.

А что делать, например, с уравнением sin\mkern 2mux=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ЛЕТНИЕ КУРСЫ ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
РЕКОМЕНДУЕМ:
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.