Решая задачи на числа и их свойства, то есть задачи под №19 Профильного ЕГЭ по математике, мы часто пользуемся методом «Оценка плюс пример».
А чтобы сделать оценку нужной нам величины, надо уметь работать с неравенствами. И знать простые правила.
1. Мы можем складывать между собой неравенства одного знака.
Например, если \(a< b\) и \(c< d\), то \(a+c< b+d.\)
«Одного знака» - значит, что в обоих неравенствах знак \(<\) или \(>\) или \(\leq\) или \(\geq.\)
А вот вычитать из одного неравенства другое мы не можем. Просто нет такого действия.
Например, из тех же неравенств \(a< b\) и \(c< d\) мы можем получить:
\(a< b;\)
\(-d< -c.\)
Просто умножили второе неравенство на \(– 1\). Теперь можно их сложить: \(a-d< b-c.\)
2. Если \(a< b\) и \(b< c\), то \(a< b< c\), и это значит, что \(a< c.\)
Посмотрим, как применить эти правила в решении задачи 19 (на числа и их свойства).
1. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \(\displaystyle \frac{3}{11}\) от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \(\displaystyle \frac{3}{7}\) от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе \(10\) мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было \(20\) учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было \(20\) учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов (а) и (б)?
Решение:
Во многих задачах №19 Профильного ЕГЭ по математике есть возможность сделать «заготовку» на все \(3\) ее пункта. То есть ввести переменные (целые) и решать систему уравнений или неравенств.
Пусть \(m\) — число мальчиков, \(d\) — число девочек в группе.
Пусть \(m_{1}\) мальчиков сходили в театр, \(m_{2}\) мальчиков сходили в кино, \(d_{1}\) девочек сходили в театр, \(d_{2}\) девочек сходили в кино.
Число мальчиков, посетивших театр, не больше, чем \(\displaystyle \frac{3}{11}\) от общего числа учащихся группы, посетивших театр. В наших переменных это будет выглядеть так:
\(m_{1}\leq \displaystyle \frac{3}{11}\left ( m_{1}+d_{1} \right )\Rightarrow 8m_{1}\leq 3d_{1}.\)
Число мальчиков, посетивших кино, не более \(\displaystyle \frac{3}{7}\) от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
\(m_{2}\leq \displaystyle \frac{3}{7}\left ( m_{2}+d_{2} \right )\Rightarrow 4m_{2}\leq 3d_{2}.\)
Отлично, у нас два неравенства с переменными \(m_{1},\;m_{2},\;d_{1},\;d_{2}\). А вопрос о другом – сколько мальчиков может быть в группе. И среди этих мальчиков кто-то мог посетить театр, кто-то кино, а кто-то, возможно, побывал и в театре, и в кино.
И поэтому \(m\leq m_{1}+m_{2}\).
Где взять сумму \(m_{1}+m_{2}\)?
Обе части неравенства \(4m_{2}\leq 3d_{2}\) умножим на \(2\).
И сложим получившееся с неравенством \(8m_{1}\leq 3d_{1}.\)
Получим: \(8\left ( m_{1}+m_{2} \right )\leq 3d_{1}+6d_{2}.\)
Теперь девочки. Все, что мы можем сказать, — что \(d_{1}\leq d\) и \(d_{2}\leq d.\)
Получаем:
\(8m\leq 8\left ( m_{1}+m_{2} \right )\leq 3d+6d \), то есть \(8m\leq 9d.\)
Вот мы и сделали «заготовку» для решения и первого, и второго, и даже третьего пункта задачи.
a) Может ли быть \(10\) мальчиков в группе из \(20\) учащихся? — Да, может. Вот пример:
В театр сходили \(3\) мальчика и все \(10\) девочек, в кино — остальные \(7\) мальчиков и \(10\) девочек. Все условия выполнены:
\(3\leq \displaystyle \frac{3}{11}\cdot \left ( 3+10 \right ),\; 7\leq \displaystyle \frac{3}{7}\cdot \left ( 7+10 \right ).\)
б) Предположим, что в группе из \(20\) учащихся имеется не менее \(11\) мальчиков: \(m\geq 11\).
Тогда \(d\leq 9\).
Имеем: \(8m\geq 88, 9d\leq 81.\)
Получили противоречие с неравенством \(8m\leq 9d\).
Значит, число мальчиков не больше \(10\).
С учётом пункта (а) приходим к выводу, что наибольшее возможное количество мальчиков в группе равно \(10\).
в) Найдем наименьшую долю девочек от общего числа учащихся в группе.
Перепишем неравенство \(8m\leq 9d\) следующим образом:
\(8m\leq 9d\Rightarrow \displaystyle \frac{m}{d}\leq \frac{9}{8}\Rightarrow \frac{m}{d}+1\leq \frac{17}{8}\Rightarrow \frac{m+d}{d}\leq \frac{17}{8}\Rightarrow \frac{d}{m+d}\geq \frac{8}{17}.\)
Мы нашли, что, доля девочек не меньше \(\displaystyle \frac{8}{17}\). Это оценка (о методе «Оценка плюс пример» читай здесь)
Осталось привести пример, когда доля девочек равна \(\displaystyle \frac{8}{17}\).
Пусть в группе \(9\) мальчиков и \(8\) девочек. Театр посетили \(3\) мальчика и \(8\) девочек, в кино сходили \(6\) мальчиков и \(8\) девочек. Все условия выполнены:
\(3\leq \displaystyle \frac{3}{11}\cdot \left ( 3+8 \right ),\;6\leq \displaystyle \frac{3}{7}\cdot \left ( 6+8 \right ).\)
Следовательно, наименьшая возможная доля девочек равна \(\displaystyle \frac{8}{17}\).
Ответ: а) Да; б) \(10\); в) \(\displaystyle \frac{8}{17}\).
2. Известно, что \(a, \; b, \; c, \; d\) — попарно различные двузначные натуральные числа.
а) Может ли выполняться равенство \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}\)?
б) Может ли дробь \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}\) быть в \(11\) раз меньше, чем сумма \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}\), если \(a> 3b\) и \(c> 6d\)?
Решение:
Слово «попарно» в условии задачи означает только то, что все числа \(a, \; b, \; c, \; d\) – разные.
а) Пример подобрать легко. Предположим, что \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}\), где \(a, \; b, \; c, \; d\) — различные двузначные натуральные числа.
Да, равенство может выполняться. Например:
\(\displaystyle \frac{33+37}{91+99}=\frac{70}{190}=\frac{7}{19},\)
здесь \(a=33,\;c=37,\;b=91,\;d=99.\)
б) Предположим, что \(11\cdot \displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}.\)
Ура, у нас уравнение в целых числах с \(4\) неизвестными. Как решать уравнения в целых числах – читай здесь.
\(\displaystyle \frac{11a+11c}{b+d}=\frac{ad+bc}{bd};\)
\(11abd+11bcd=abd+bcd+ad^{2}+b^{2}c;\)
\(10abd-ad^{2}=cb^{2}-10cbd;\)
\(ad\left ( 10a-d \right )=bc\left ( c-10b \right ).\)
Поскольку \(a, \; b, \; c, \; d\) – различные двузначные числа, \(10b\) и \(10d\) – трёхзначные.
Тогда \(10b-d> 0, \; b-10d< 0\) и равенство невозможно.
в) Пусть \(a> 3b, \; c > 6d, \; \displaystyle \frac{a+c}{b+d}=m.\)
Найдем наименьшее возможное \(m\).
Кстати, у нас теперь уравнение с \(5\) неизвестными. Забавно, правда?
Запишем условия \(a> 3b\) и \(c> 6d\) в виде нестрогих неравенств. Это один из приемов решения задач.
\(a\geq 3b+1,\)
\(c\geq 6d+1.\)
Тогда \(m=\displaystyle \frac{a+c}{b+d}\geq \frac{3b+1+6d+1}{b+d},\)
\(m\geq \displaystyle \frac{3b+6d+2}{b+d}.\)
Выделим целую часть:
\(m\geq 3+\displaystyle \frac{3d+2}{b+d}\).
Ну вот, теперь переменная \(m\) зависит всего от двух переменных, \(b \) и \(d\).
Поскольку \(a\) и \(c\) – двузначные, \(a\leq 99, \; c\leq 99\).
Значит, \(3b+1\leq a\leq 99,\)
\(6d+1\leq c\leq 99\), отсюда \(b\leq \displaystyle \frac{98}{3}; \; d\leq \frac{98}{6}.\)
Так как \(b\) и \(d\) – целые, получим: \(b\leq 32\), \(d\leq 16.\)
Вернемся к оценке для \(m\).
\(m\geq 3+\displaystyle \frac{3d+2}{b+d}\geq 3+\frac{3d+2}{d+32}\), так как \(b \leq 32\).
Теперь \(m\) зависит от всего лишь одной переменной \(d\).
Преобразуем правую часть неравенства, чтобы выделить целую часть:
\(3+\displaystyle \frac{3d+2}{d+32}=3+\frac{3d+96-94}{d+32}=6-\frac{94}{d+32}.\)
Значит, \(m\geq 6-\displaystyle \frac{94}{d+32}.\)
У нас есть оценка \(d\leq 16\). Но она ничего нам не даст – можете проверить!
А вот условие, что число \(d\) – двузначное, то есть \(d\geq 10\), нам поможет.
Поскольку \(d\geq 10\), \(d+32\geq 42\) и \(m\geq 6-\displaystyle \frac{94}{d+32}\geq 6-\frac{94}{42}, \; m\geq \frac{79}{21}.\)
Равенство \(m=\displaystyle \frac{79}{21} \) достигается, если \(d=10, \; b=32, \; a=97, \; c=61.\)
Наименьшее возможное \(m\) равно \(\displaystyle \frac{79}{21}\).
