previous arrow
next arrow
Slider

Работа с неравенствами в задаче 19 Профильного ЕГЭ по математике

Решая задачи на числа и их свойства, то есть задачи под №19 Профильного ЕГЭ по математике, мы часто пользуемся методом «Оценка плюс пример».

А чтобы сделать оценку нужной нам величины, надо уметь работать с неравенствами. И знать простые правила.

1.Мы можем складывать между собой неравенства одного знака.

Например, если  и  то 

«Одного знака» - значит, что в обоих неравенствах знак < или > или ≤ или ≥.

А вот вычитать из одного неравенства другое мы не можем. Просто нет такого действия.

Например, из тех же неравенств  и  мы можем получить:

Просто умножили второе неравенство на – 1. Теперь можно их сложить: 

2) Если  и  то  и это значит, что 

Посмотрим, как применить эти правила в решении задачи 19 (на числа и их свойства).

1. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \frac{3}{11} от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \frac{3}{7} от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Во многих задачах №19 Профильного ЕГЭ по математике есть возможность сделать «заготовку» на все 3 ее пункта. То есть ввести переменные (целые) и решать систему уравнений или неравенств.

Пусть m — число мальчиков, d — число девочек в группе.

Пусть m_{1} мальчиков сходили в театр, m_{2} мальчиков сходили в кино, d_{1} девочек сходили в театр, d_{2} девочек сходили в кино.

Число мальчиков, посетивших театр, не больше, чем \frac{3}{11} от общего числа учащихся группы, посетивших театр. В наших переменных это будет выглядеть так:

m_{1}\leq \frac{3}{11}\left ( m_{1}+d_{1} \right )\Rightarrow 8m_{1}\leq 3d_{1}

Число мальчиков, посетивших кино, не более \frac{3}{7} от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

m_{2}\leq \frac{3}{7}\left ( m_{2}+d_{2} \right )\Rightarrow 4m_{2}\leq 3d_{2}

Отлично, у нас два неравенства с переменными m_{1},\;m_{2},\;d_{1},\;d_{2}. А вопрос о другом – сколько мальчиков может быть в группе. И среди этих мальчиков кто-то мог посетить театр, кто-то кино, а кто-то, возможно, побывал и в театре, и в кино.

И поэтому m\leq m_{1}+m_{2}.

Где взять сумму m_{1}+m_{2}? Обе части неравенства 4m_{2}\leq 3d_{2} умножим на 2. И сложим получившееся с неравенством 8m_{1}\leq 3d_{1}

Получим: 8\left ( m_{1}+m_{2} \right )\leq 3d_{1}+6d_{2}.

Теперь девочки. Все, что мы можем сказать, — что d_{1}\leq d и d_{2}\leq d.

Получаем:

8m\leq 8\left ( m_{1}+m_{2} \right )\leq 3d+6d , то есть 8m\leq 9d.

Вот мы и сделали «заготовку» для решения и первого, и второго, и даже третьего пункта задачи.

a) Может ли быть 10 мальчиков в группе из 20 учащихся? — Да, может. Вот пример:

В театр сходили 3 мальчика и все 10 девочек, в кино — остальные 7 мальчиков и 10 девочек. Все условия выполнены:

3\leq \frac{3}{11}\cdot \left ( 3+10 \right ),\; 7\leq \frac{3}{7}\cdot \left ( 7+10 \right )

б) Предположим, что в группе из 20 учащихся имеется не менее 11 мальчиков: m\geq 11. Тогда d\leq 9. Имеем:

8m\geq 88, 9d\leq 81. Получили противоречие с неравенством 8m\leq 9d. Значит, число мальчиков не больше 10. С учётом пункта а) приходим к выводу, что наибольшее возможное количество мальчиков в группе равно 10.

в) Найдем наименьшую долю девочек от общего числа учащихся в группе.

Перепишем неравенство 8m\leq 9d следующим образом:

8m\leq 9d\Rightarrow \frac{m}{d}\leq \frac{9}{8}\Rightarrow \frac{m}{d}+1\leq \frac{17}{8}\Rightarrow \frac{m+d}{d}\leq \frac{17}{8}\Rightarrow \frac{d}{m+d}\geq \frac{8}{17}

Мы нашли, что, доля девочек не меньше \frac{8}{17}. Это оценка (о методе «Оценка плюс пример» читай здесь)

Осталось привести пример, когда доля девочек равна \frac{8}{17}.

Пусть в группе 9 мальчиков и 8 девочек. Театр посетили 3 мальчика и 8 девочек, в кино сходили 6 мальчиков и 8 девочек. Все условия выполнены:

3\leq \frac{3}{11}\cdot \left ( 3+8 \right ),\;6\leq \frac{3}{7}\cdot \left ( 6+8 \right )

Следовательно, наименьшая возможная доля девочек равна \frac{8}{17}.

Ответ:

а) да

б) 10

в) \frac{8}{17}

2. Известно, что a,b,c,d — попарно различные двузначные натуральные числа.

а) Может ли выполняться равенство \frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}?

б) Может ли дробь \frac{a+c}{b+d} быть в 11 раз меньше, чем сумма \frac{a}{b}+\frac{c}{d}?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \frac{a+c}{b+d} если  и ?

Слово «попарно» в условии задачи означает только то, что все числа
a,b,c,d – разные.

а) Пример подобрать легко. Предположим, что \frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}, где a,b,c,d — различные двузначные натуральные числа.

Да, равенство может выполняться. Например:

\frac{33+37}{91+99}=\frac{70}{190}=\frac{7}{19},
здесь a=33,\;c=37,\;b=91,\;d=99.

б) Предположим, что 11\cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}

Ура, у нас уравнение в целых числах с 4 неизвестными. Как решать уравнения в целых числах – читай здесь.

\frac{11a+11c}{b+d}=\frac{ad+bc}{bd}

11abd+11bcd=abd+bcd+ad^{2}+bc^{2}

10abd-ad^{2}=cb^{2}-10cbd

ad\left ( 10a-d \right )=bc\left ( c-10b \right )

Поскольку a,b,c,d – различные двузначные числа, 10a и 10b – трёхзначные. Тогда

 и равенство невозможно.

в) Пусть a > 3b, c >6d, \frac{a+c}{b+d}=m.

Найдем наименьшее возможное m.

Кстати, у нас теперь уравнение с 5 неизвестными. Забавно, правда?

Запишем условия  и  в виде нестрогих неравенств. Мы помним, что это один из секретов решения задачи 19.

a\geq 3b+1,

c\geq 6d+1.

Тогда

m=\frac{a+c}{b+d}\geq \frac{3b+1+6d+1}{b+d},

m\geq \frac{3b+6d+2}{b+d}.

Выделим целую часть: (Секреты решения задачи 19)

m\geq 3+\frac{3d+2}{b+d}.

Ну вот, теперь переменная m зависит всего от двух переменных, b и d.

Поскольку a и d – двузначные, a\leq 99, \; c\leq 99.

Значит, 3b+1\leq a\leq 99,

6d+1\leq c\leq 99, отсюда b\leq \frac{98}{3};\;d\leq \frac{98}{6}.

Так как b и d – целые, получим: b\leq 32,d\leq 16.

Вернемся к оценке для m.

m\geq 3+\frac{3d+2}{b+d}\geq 3+\frac{3d+2}{d+32}, так как b \leq 32. Теперь m зависит от всего лишь одной переменной d.

Преобразуем правую часть неравенства, чтобы выделить целую часть:

3+\frac{3d+2}{d+32}=3+\frac{3d+96-94}{d+32}=6-\frac{94}{d+32}

Значит, m\geq 6-\frac{94}{d+32}.

У нас есть оценка d\leq 16. Но она ничего нам не даст – можете проверить! А вот условие, что число d – двузначное, то есть d\geq 10, нам поможет.

Поскольку d\geq 10, d+32\geq 42 и m\geq 6-\frac{94}{d+32}\geq 6-\frac{94}{42}

m\geq \frac{79}{21}.
Равенство m=\frac{79}{21} достигается, если d=10,b=32,a=97,c=61

Наименьшее возможное m равно \frac{79}{21}.