Slider

Работа с неравенствами в задаче 19 Профильного ЕГЭ по математике

Решая задачи на числа и их свойства, то есть задачи под №19 Профильного ЕГЭ по математике, мы часто пользуемся методом «Оценка плюс пример».

А чтобы сделать оценку нужной нам величины, надо уметь работать с неравенствами. И знать простые правила.

1.Мы можем складывать между собой неравенства одного знака.

Например, если  и  то 

«Одного знака» - значит, что в обоих неравенствах знак < или > или ≤ или ≥.

А вот вычитать из одного неравенства другое мы не можем. Просто нет такого действия.

Например, из тех же неравенств  и  мы можем получить:

Просто умножили второе неравенство на – 1. Теперь можно их сложить: 

2) Если  и  то  и это значит, что 

Посмотрим, как применить эти правила в решении задачи 19 (на числа и их свойства).

1. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \frac{3}{11} от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \frac{3}{7} от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Во многих задачах №19 Профильного ЕГЭ по математике есть возможность сделать «заготовку» на все 3 ее пункта. То есть ввести переменные (целые) и решать систему уравнений или неравенств.

Пусть m — число мальчиков, d — число девочек в группе.

Пусть m_{1} мальчиков сходили в театр, m_{2} мальчиков сходили в кино, d_{1} девочек сходили в театр, d_{2} девочек сходили в кино.

Число мальчиков, посетивших театр, не больше, чем \frac{3}{11} от общего числа учащихся группы, посетивших театр. В наших переменных это будет выглядеть так:

m_{1}\leq \frac{3}{11}\left ( m_{1}+d_{1} \right )\Rightarrow 8m_{1}\leq 3d_{1}

Число мальчиков, посетивших кино, не более \frac{3}{7} от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

m_{2}\leq \frac{3}{7}\left ( m_{2}+d_{2} \right )\Rightarrow 4m_{2}\leq 3d_{2}

Отлично, у нас два неравенства с переменными m_{1},\;m_{2},\;d_{1},\;d_{2}. А вопрос о другом – сколько мальчиков может быть в группе. И среди этих мальчиков кто-то мог посетить театр, кто-то кино, а кто-то, возможно, побывал и в театре, и в кино.

И поэтому m\leq m_{1}+m_{2}.

Где взять сумму m_{1}+m_{2}? Обе части неравенства 4m_{2}\leq 3d_{2} умножим на 2. И сложим получившееся с неравенством 8m_{1}\leq 3d_{1}

Получим: 8\left ( m_{1}+m_{2} \right )\leq 3d_{1}+6d_{2}.

Теперь девочки. Все, что мы можем сказать, — что d_{1}\leq d и d_{2}\leq d.

Получаем:

8m\leq 8\left ( m_{1}+m_{2} \right )\leq 3d+6d , то есть 8m\leq 9d.

Вот мы и сделали «заготовку» для решения и первого, и второго, и даже третьего пункта задачи.

a) Может ли быть 10 мальчиков в группе из 20 учащихся? — Да, может. Вот пример:

В театр сходили 3 мальчика и все 10 девочек, в кино — остальные 7 мальчиков и 10 девочек. Все условия выполнены:

3\leq \frac{3}{11}\cdot \left ( 3+10 \right ),\; 7\leq \frac{3}{7}\cdot \left ( 7+10 \right )

б) Предположим, что в группе из 20 учащихся имеется не менее 11 мальчиков: m\geq 11. Тогда d\leq 9. Имеем:

8m\geq 88, 9d\leq 81. Получили противоречие с неравенством 8m\leq 9d. Значит, число мальчиков не больше 10. С учётом пункта а) приходим к выводу, что наибольшее возможное количество мальчиков в группе равно 10.

в) Найдем наименьшую долю девочек от общего числа учащихся в группе.

Перепишем неравенство 8m\leq 9d следующим образом:

8m\leq 9d\Rightarrow \frac{m}{d}\leq \frac{9}{8}\Rightarrow \frac{m}{d}+1\leq \frac{17}{8}\Rightarrow \frac{m+d}{d}\leq \frac{17}{8}\Rightarrow \frac{d}{m+d}\geq \frac{8}{17}

Мы нашли, что, доля девочек не меньше \frac{8}{17}. Это оценка (о методе «Оценка плюс пример» читай здесь)

Осталось привести пример, когда доля девочек равна \frac{8}{17}.

Пусть в группе 9 мальчиков и 8 девочек. Театр посетили 3 мальчика и 8 девочек, в кино сходили 6 мальчиков и 8 девочек. Все условия выполнены:

3\leq \frac{3}{11}\cdot \left ( 3+8 \right ),\;6\leq \frac{3}{7}\cdot \left ( 6+8 \right )

Следовательно, наименьшая возможная доля девочек равна \frac{8}{17}.

Ответ:

а) да

б) 10

в) \frac{8}{17}

2. Известно, что a,b,c,d — попарно различные двузначные натуральные числа.

а) Может ли выполняться равенство \frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}?

б) Может ли дробь \frac{a+c}{b+d} быть в 11 раз меньше, чем сумма \frac{a}{b}+\frac{c}{d}?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \frac{a+c}{b+d} если  и ?

Слово «попарно» в условии задачи означает только то, что все числа
a,b,c,d – разные.

а) Пример подобрать легко. Предположим, что \frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}, где a,b,c,d — различные двузначные натуральные числа.

Да, равенство может выполняться. Например:

\frac{33+37}{91+99}=\frac{70}{190}=\frac{7}{19},
здесь a=33,\;c=37,\;b=91,\;d=99.

б) Предположим, что 11\cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}

Ура, у нас уравнение в целых числах с 4 неизвестными. Как решать уравнения в целых числах – читай здесь.

\frac{11a+11c}{b+d}=\frac{ad+bc}{bd}

11abd+11bcd=abd+bcd+ad^{2}+bc^{2}

10abd-ad^{2}=cb^{2}-10cbd

ad\left ( 10a-d \right )=bc\left ( c-10b \right )

Поскольку a,b,c,d – различные двузначные числа, 10a и 10b – трёхзначные. Тогда

 и равенство невозможно.

в) Пусть a > 3b, c >6d, \frac{a+c}{b+d}=m.

Найдем наименьшее возможное m.

Кстати, у нас теперь уравнение с 5 неизвестными. Забавно, правда?

Запишем условия  и  в виде нестрогих неравенств. Мы помним, что это один из секретов решения задачи 19.

a\geq 3b+1,

c\geq 6d+1.

Тогда

m=\frac{a+c}{b+d}\geq \frac{3b+1+6d+1}{b+d},

m\geq \frac{3b+6d+2}{b+d}.

Выделим целую часть: (Секреты решения задачи 19)

m\geq 3+\frac{3d+2}{b+d}.

Ну вот, теперь переменная m зависит всего от двух переменных, b и d.

Поскольку a и d – двузначные, a\leq 99, \; c\leq 99.

Значит, 3b+1\leq a\leq 99,

6d+1\leq c\leq 99, отсюда b\leq \frac{98}{3};\;d\leq \frac{98}{6}.

Так как b и d – целые, получим: b\leq 32,d\leq 16.

Вернемся к оценке для m.

m\geq 3+\frac{3d+2}{b+d}\geq 3+\frac{3d+2}{d+32}, так как b \leq 32. Теперь m зависит от всего лишь одной переменной d.

Преобразуем правую часть неравенства, чтобы выделить целую часть:

3+\frac{3d+2}{d+32}=3+\frac{3d+96-94}{d+32}=6-\frac{94}{d+32}

Значит, m\geq 6-\frac{94}{d+32}.

У нас есть оценка d\leq 16. Но она ничего нам не даст – можете проверить! А вот условие, что число d – двузначное, то есть d\geq 10, нам поможет.

Поскольку d\geq 10, d+32\geq 42 и m\geq 6-\frac{94}{d+32}\geq 6-\frac{94}{42}

m\geq \frac{79}{21}.
Равенство m=\frac{79}{21} достигается, если d=10,b=32,a=97,c=61

Наименьшее возможное m равно \frac{79}{21}.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных