Работа с неравенствами в задаче 18 Профильного ЕГЭ по математике

Решая задачи на числа и их свойства, то есть задачи под №18 Профильного ЕГЭ по математике, мы часто пользуемся методом «Оценка плюс пример».

А чтобы сделать оценку нужной нам величины, надо уметь работать с неравенствами. И знать простые правила.

1.Мы можем складывать между собой неравенства одного знака.

Например, если и то

«Одного знака» - значит, что в обоих неравенствах знак < или > или ≤ или ≥.

А вот вычитать из одного неравенства другое мы не можем. Просто нет такого действия.

Например, из тех же неравенств и мы можем получить:

Просто умножили второе неравенство на – 1. Теперь можно их сложить:

2) Если и то и это значит, что

Посмотрим, как применить эти правила в решении задачи 18 (на числа и их свойства).

1. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $\frac{3}{11}$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $\frac{3}{7}$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Во многих задачах №19 Профильного ЕГЭ по математике есть возможность сделать «заготовку» на все 3 ее пункта. То есть ввести переменные (целые) и решать систему уравнений или неравенств.

Пусть $m$ — число мальчиков, $d$ — число девочек в группе.

Пусть $m_{1}$ мальчиков сходили в театр, $m_{2}$ мальчиков сходили в кино, $d_{1}$ девочек сходили в театр, $d_{2}$ девочек сходили в кино.

Число мальчиков, посетивших театр, не больше, чем $\frac{3}{11}$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр. В наших переменных это будет выглядеть так:

$m_{1}\leq \frac{3}{11}\left ( m_{1}+d_{1} \right )\Rightarrow 8m_{1}\leq 3d_{1}$

Число мальчиков, посетивших кино, не более $\frac{3}{7}$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

$m_{2}\leq \frac{3}{7}\left ( m_{2}+d_{2} \right )\Rightarrow 4m_{2}\leq 3d_{2}$

Отлично, у нас два неравенства с переменными $m_{1},\;m_{2},\;d_{1},\;d_{2}$ . А вопрос о другом – сколько мальчиков может быть в группе. И среди этих мальчиков кто-то мог посетить театр, кто-то кино, а кто-то, возможно, побывал и в театре, и в кино.

И поэтому $m\leq m_{1}+m_{2}$ .

Где взять сумму $m_{1}+m_{2}$ ? Обе части неравенства $4m_{2}\leq 3d_{2}$ умножим на 2. И сложим получившееся с неравенством $8m_{1}\leq 3d_{1}$

Получим: $8\left ( m_{1}+m_{2} \right )\leq 3d_{1}+6d_{2}$ .

Теперь девочки. Все, что мы можем сказать, — что $d_{1}\leq d$ и $d_{2}\leq d$ .

Получаем:

$8m\leq 8\left ( m_{1}+m_{2} \right )\leq 3d+6d$ , то есть $8m\leq 9d$ .

Вот мы и сделали «заготовку» для решения и первого, и второго, и даже третьего пункта задачи.

a) Может ли быть 10 мальчиков в группе из 20 учащихся? — Да, может. Вот пример:

В театр сходили 3 мальчика и все 10 девочек, в кино — остальные 7 мальчиков и 10 девочек. Все условия выполнены:

$3\leq \frac{3}{11}\cdot \left ( 3+10 \right ),\; 7\leq \frac{3}{7}\cdot \left ( 7+10 \right )$

б) Предположим, что в группе из 20 учащихся имеется не менее 11 мальчиков: $m\geq 11$ . Тогда $d\leq 9$ . Имеем:

$8m\geq 88$ , $9d\leq 81$ . Получили противоречие с неравенством $8m\leq 9d$ . Значит, число мальчиков не больше 10. С учётом пункта а) приходим к выводу, что наибольшее возможное количество мальчиков в группе равно 10.

в) Найдем наименьшую долю девочек от общего числа учащихся в группе.

Перепишем неравенство $8m\leq 9d$ следующим образом:

$8m\leq 9d\Rightarrow \frac{m}{d}\leq \frac{9}{8}\Rightarrow \frac{m}{d}+1\leq \frac{17}{8}\Rightarrow \frac{m+d}{d}\leq \frac{17}{8}\Rightarrow \frac{d}{m+d}\geq \frac{8}{17}$

Мы нашли, что, доля девочек не меньше $\frac{8}{17}$ . Это оценка (о методе «Оценка плюс пример» читай здесь)

Осталось привести пример, когда доля девочек равна $\frac{8}{17}$ .

Пусть в группе 9 мальчиков и 8 девочек. Театр посетили 3 мальчика и 8 девочек, в кино сходили 6 мальчиков и 8 девочек. Все условия выполнены:

$3\leq \frac{3}{11}\cdot \left ( 3+8 \right ),\;6\leq \frac{3}{7}\cdot \left ( 6+8 \right )$

Следовательно, наименьшая возможная доля девочек равна $\frac{8}{17}$ .

Ответ:

а) да

б) 10

в) $\frac{8}{17}$

2. Известно, что $a,b,c,d$ — попарно различные двузначные натуральные числа.

а) Может ли выполняться равенство $\frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}$ ?

б) Может ли дробь $\frac{a+c}{b+d}$ быть в 11 раз меньше, чем сумма $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\frac{a+c}{b+d}$ если и ?

Слово «попарно» в условии задачи означает только то, что все числа
$a,b,c,d$ – разные.

а) Пример подобрать легко. Предположим, что $\frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}$ , где $a,b,c,d$ — различные двузначные натуральные числа.

Да, равенство может выполняться. Например:

$\frac{33+37}{91+99}=\frac{70}{190}=\frac{7}{19}$ ,
здесь $a=33,\;c=37,\;b=91,\;d=99$ .

б) Предположим, что $11\cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$

Ура, у нас уравнение в целых числах с 4 неизвестными. Как решать уравнения в целых числах – читай здесь.

$\frac{11a+11c}{b+d}=\frac{ad+bc}{bd}$

$11abd+11bcd=abd+bcd+ad^{2}+bc^{2}$

$10abd-ad^{2}=cb^{2}-10cbd$

$ad\left ( 10a-d \right )=bc\left ( c-10b \right )$

Поскольку $a,b,c,d$ – различные двузначные числа, $10a$ и $10b$ – трёхзначные. Тогда

и равенство невозможно.

в) Пусть $a$ > $3b$ , $c$ > $6d$ , $\frac{a+c}{b+d}=m$ .

Найдем наименьшее возможное $m$ .

Кстати, у нас теперь уравнение с 5 неизвестными. Забавно, правда?

Запишем условия и в виде нестрогих неравенств. Мы помним, что это один из секретов решения задачи 19.

$a\geq 3b+1$ ,

$c\geq 6d+1$ .

Тогда

$m=\frac{a+c}{b+d}\geq \frac{3b+1+6d+1}{b+d}$ ,

$m\geq \frac{3b+6d+2}{b+d}$ .

Выделим целую часть: (Секреты решения задачи 19)

$m\geq 3+\frac{3d+2}{b+d}$ .

Ну вот, теперь переменная $m$ зависит всего от двух переменных, $b$ и $d$ .

Поскольку $a$ и $d$ – двузначные, $a\leq 99, \; c\leq 99$ .

Значит, $3b+1\leq a\leq 99$ ,

$6d+1\leq c\leq 99$ , отсюда $b\leq \frac{98}{3};\;d\leq \frac{98}{6}$ .

Так как $b$ и $d$ – целые, получим: $b\leq 32$ , $d\leq 16$ .

Вернемся к оценке для $m$ .

$m\geq 3+\frac{3d+2}{b+d}\geq 3+\frac{3d+2}{d+32}$ , так как $b \leq 32$ . Теперь $m$ зависит от всего лишь одной переменной $d$ .

Преобразуем правую часть неравенства, чтобы выделить целую часть:

$3+\frac{3d+2}{d+32}=3+\frac{3d+96-94}{d+32}=6-\frac{94}{d+32}$

Значит, $m\geq 6-\frac{94}{d+32}$ .

У нас есть оценка $d\leq 16$ . Но она ничего нам не даст – можете проверить! А вот условие, что число $d$ – двузначное, то есть $d\geq 10$ , нам поможет.

Поскольку $d\geq 10$ , $d+32\geq 42$ и $m\geq 6-\frac{94}{d+32}\geq 6-\frac{94}{42}$

$m\geq \frac{79}{21}$ .
Равенство $m=\frac{79}{21}$ достигается, если $d=10,b=32,a=97,c=61$

Наименьшее возможное $m$ равно $\frac{79}{21}$ .

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Работа с неравенствами в задаче 18 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.05.2023

Работа с неравенствами в задаче 18 Профильного ЕГЭ по математике

Это полезно