Нестандартные задачи ЕГЭ на взвешивания

У Вовы есть набор из \(n\) грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.

а) Может ли у Вовы быть ровно \(6\) грузиков, среди которых есть грузик массой \(5\) г?

б) Может ли у Вовы быть ровно \(5\) грузиков?

в) Известно, что среди грузиков Вовы есть грузик массой \(1\) г. Какую наименьшую массу может иметь самый тяжелый грузик Вовы?

Решение:

а) Да, может. Набор грузов массами \(3, 4, 5, 6, 7, 8\) подходит.

Пары грузов \(3+4\), \(3+5\) уравновешиваются грузами \(7\) и \(8\).

Пары \(3+6\) и \(4+5\), \(\; 3+7\) и \(4+6\), \(\; 3+8\), \(\; 4+7\) и \(5+6\), \(\; 4+8\) и \(5+7\) уравновешивают друг друга.

Пара \(5+8\) уравновесится парой грузов \(6+7\).

Пара \(6+8\) уравновесится тройкой \(3+7+4\).

Пара \(7+8\) – тройкой \(5+6+4\).

б) Сколько всего грузиков может быть?

Расположим их массы в порядке возрастания:

\(a< b< c< d…\)

Два груза, очевидно, не может быть (нечего будет положить на другую чашку весов).

Три груза быть не может. Если \(a + b = c\), то пару \(b+c\) нечем уравновесить.

\(4\) груза тоже не может быть. Случай \(a + b = c + d\) невозможен, поскольку два легких груза будут весить меньше двух тяжелых – то есть ни пару самых легких, ни самых тяжелых грузов нечем уравновесить.

\(5\) грузов также не может быть. Если массы грузиков \(a, b, c, d, e,\) то уравновесить два самых тяжелых грузика \(d\) и \(e\) двумя из легких грузиков \(a, b, c\) невозможно – ведь \(d > c\) и \(e > c\), а масса двух легких не превышает \(b + c\) и меньше \(2c\).

Значит, \(d + e = a + b + c.\)

Два самых легких грузика, \(a\) и \(b\), можно уравновесить только одним из тяжелых, поскольку

\(a + b < c + d\).

Значит, \(a + b = c\) или \(a + b = d\) или \(a + b =e\).

Подставляя по очереди эти выражения в равенство \(d + e = a + b + c\), получаем:

\(d + e = 2c\) – невозможно, поскольку \(d > c\) и \(e > c\),

или \(d + e = d + c\), но тогда \(e = c\), и это противоречие с условием, массы грузов различны.

Или же \(d + e = e + c\), но тогда \(d = c\) – снова противоречие.

Значит, и \(5\) грузиков не может быть.

в) Пусть среди грузиков Вовы есть один массой \(1\) г.

В пункте (б) доказано, что \(3, 4\) или \(5\) грузов у Вовы быть не может, то есть число грузов больше или равно \(6\).

Пример для \(6\) грузов получен в пункте (а). Правда, в нем не было грузика массой \(1\) грамм. В наборе \(3, 4, 5, 6, 7, 8\) самый тяжелый груз имеет массу \(8\) граммов. Может быть, мы подберем набор из \(6\) грузов, где самый тяжелый весит \(6\) граммов?

Поскольку \(a, b, c, d, e, f\) – массы грузов – натуральные числа, причем различные,

\(a\geq 1, \; b\geq 2…, \; f\geq 6. \)

Возьмем набор \(1, 2, 3, 4, 5, 6.\) Но уравновесить самые тяжелые грузы не получается – поскольку \(5 +6 = 11\), а \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\). Значит, масса самого тяжелого груза не меньше \(7\) грамм.

Возьмем набор \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. \)

По сравнению с пунктом (а), в нем добавились новые пары грузов. И все их можно уравновесить:

\(1 + 7 = 3+ 5; \)

\(2 + 7 = 3 + 6; \)

\(4 + 7 = 5 + 6; \)

\(5 + 7 = 2 + 4 + 6; \)

\(6 + 7 = 1 + 3 + 4 + 5. \)

Мы нашли набор, где масса самого тяжелого груза равна \(7\) грамм.

Ответ: \(7\).