Slider
banner
previous arrow
next arrow
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Математика в физике, серия 5 «Олимпиадная задача про жука. Применение производной уровень Бог!»

Вадим Муранов, победитель всероссийского конкурса «Учитель года», преподаватель физики с 24-летним опытом работы.

Всем привет! Меня зовут Муранов Вадим Александрович, я рад всех приветствовать и представить пятую, финальную серию нашего уникального и очень захватывающего сериала «Математика в физике».

Первый сезон назывался производная, и пятая серия, финальная, так же связана с производной, но теперь это будет производная в Олимпиадной задаче по физике. Итак, смотрим!

«Палочка длиной L стоит вертикально на горизонтальной опоре около стенки. На нижнем конце палочки сидит жук. В некоторый момент времени палочка начинает двигаться так, что ее нижний конец движется с постоянной скоростью V по горизонтальной опоре, а верхний скользит вдоль стенки. В этот же момент жук начинает двигаться вдоль палочки с постоянной (относительно палочки) скоростью V1. На какую максимальную высоту над горизонтальной опорой поднимется жук?»

Итак, это палочка, по которой ползет жук, нижний конец которой со скоростью V движется вдоль горизонтальной опоры, а верхний конец палочки скользит вниз по стенке.

Соответственно, палочка скатывается, а жук ползет вверх. Спрашивается, на какую максимальную высоту может подняться жук.

Вот суть нашей задачи. И эту задачу мы так же с вами решим с помощью производной, а точнее с помощью нахождения максимального значения некой функции с помощью производной.

Функции пока никакой нет и пока, вроде бы, не предвидится, но скоро она появится.

Давайте заметим, что жук ползет по палочке с постоянной относительно палочке скоростью. А это значит, что в некоторый момент времени t он проползет по ней расстояние, которое можно определить следующим образом V1 * t.

V1 – это скорость жука, t – время, которое он прополз по палочке.

В этот момент времени палочка будет образовывать некий угол с горизонтальной опорой, и высоту h, на которую поднялся к этому моменту жук, можно будет выразить следующим образом: так как высота – это противолежащий катет, а произведение V1 * t – это гипотенуза, то высота может быть выражена следующим образом h= V1×t×sinα, под которым находится в данный момент времени палочка.

Естественно, что с каждым моментом времени t меняется и сам угол, меняется и высота. Нужно определить, какой максимальной высоты достигнет этот жук. Но у нас две переменные величины: изменяется угол и изменяется время. Надо что-то с этим делать, ведь переменная должна быть только одна. По крайней мере, в школьной физике и школьной математике. В институте вы узнаете, что есть функции нескольких переменных, и это вас уже не будет пугать, а пока переменная должна быть только одна.

Попробуем избавиться от неизвестного угла альфа. Конец палочки к этому же моменту времени прошел некое расстояние. Изначально она стояла вертикально, вдоль стенки. Это означает, что раз ее нижний конец движется с постоянной скоростью V, то за тот же самый момент времени она пройдет путь равный V * t.

И это снова катет, но на сей раз это прилежащий катет, а гипотенузой является длина всей палочки. Кстати сказать, длина палочки известная величина в этой задаче l.

Поэтому можно выразить следующим образом косинус угла α, который образует палочка с горизонтальной опорой. Косинусом называют отношение прилежащего катета к гипотенузе \cos \alpha =\frac{V\cdot t}{l}. Таким образом мы получили еще одно выражения для cosα, но мы с вами прекрасно знаем, что синус можно выразить через косинус с помощью основного тригонометрического тождества, которое заключается в том, что

\sin ^2{\alpha }+\cos^{2} \alpha=1

Это означает, что \sin ^2{\alpha }=1-\cos^{2} \alpha.

А сам синус равен \sin {\alpha }=\sqrt{1-\cos^{2} \alpha}.

В таком случае вместо cos^{2} \alpha мы подставим дробное выражение \frac{V\cdot t}{l} и получим, что

\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{V^{2}t^{2}}{l^{2}}}.

Можем привести к общему знаменателю, чтобы получить более понятно и удобное выражение

\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{V^{2}t^{2}}{l^{2}}}=\frac{\sqrt{l^{2}-V^{2}t^{2}}}{l}.

Это выражение вместо синуса мы подставим в выражения для высоты, на которую поднялся жук.

Тогда мы получим окончательно следующее выражение для высоты

h=\frac{V_{1}t}{l}\sqrt{l^{2}-V^{2}t^{2}}.

Таким образом мы получили выражение для высоты h, а точнее говоря, мы получили функцию, зависимость высоты h от времени t. Все остальное в этом выражении постоянно. Таким образом мы получили функции h(t), и теперь нашей задачей будет определить максимальное значение этой функции, для чего нам и нужно будет применить метод, который в математике называется методом поиска экстремума или методом нахождения максимального и минимального значения.

Этот метод заключается в том, что мы находим производную и приравниваем ее к нулю h’(t)=0. В данном случае производная будет сложно находиться, потому что функция является произведением двух функций. Необходимо воспользоваться правилом нахождения производной от произведения (f*g)’=f’*g+g’*f. Это правило мы сейчас с успехом применим для нашей функции и получим выражение для производной

{h}.

Вот такая сложная производная, и это еще не конец, потому что мы должны ее немного упростить

=\frac{\upsilon _{1}}{l}\sqrt{l^{2}-\upsilon ^{2}t^{2}}+\frac{-2\upsilon ^{2}t}{2\sqrt{l^{2}-\upsilon ^{2}t^{2}}}\cdot\frac{\upsilon _{1}t}{l}.

Приведем два эти выражения к общему знаменателю, домножив первое выражение на 2\sqrt{l^{2}-\upsilon ^{2}t^{2}}.

Получится следующее

=\frac{2\upsilon _{1}(l^{2}-\upsilon ^{2}t^{^{2}})-2\upsilon _{1}\upsilon ^{2}t^{2}}{2l\sqrt{l^{2}-\upsilon ^{2}t^{2}}}=0

Такие алгебраические преобразования мы делаем для того, чтобы получить более понятное, простое выражение.

Производная приравнивается к нулю. А так как знаменатель не может быть равен нулю, то равен нулю будет числитель. Все это мы делали только для того, чтобы получить более или менее нормальный числитель, который мы приравниваем к нулю.

Раскрываем скобки 2\upsilon _{1}l^{2}-2\upsilon _{1}\upsilon ^{2}t^{2}-2\upsilon _{1}\upsilon ^{2}t^{2}=0

Окончательно получаем следующее 2\upsilon _{1}l^{2}-4\upsilon _{1}\upsilon ^{2}t^{2}=0.

Отсюда теперь очень легко получить время, то есть момент времени, в который будет максимальной высота, на которую поднимется жук.

2\upsilon _{1}l^{2}=4\upsilon _{1}\upsilon ^{2}t^{2}

t^{2}=\frac{l^{2}}{2\upsilon ^{2}}\Rightarrow t=\frac{l}{\sqrt{2}\upsilon }

С помощью вычисления производной и приравнивания ее к нулю мы получили с вами момент времени, в который будет достигнута максимальная высота, то есть момент времени, в который жук поднимется на максимальную высоту. Осталось только подставить этот момент времени t в выражение для высоты h и найти, на какой же максимальной высоте окажется жук.

Эту задачу действительно я встретил в одной из Олимпиад и она действительно довольно сложная. Там и выражения сложные получаются, и сама функция довольно сложная, и производная берется тоже довольно сложно, потому что это производная произведения, а один из множителей является еще и сложной функцией. Вот для чего вас на уроках математики учат находить производные сложных функций, чтобы потом в физике вы могли решить вот такие олимпиадные задачи с применением производной.

h=\frac{\upsilon _{1}l}{l\sqrt{2}\upsilon }\cdot \sqrt{l^{2}-\frac{\upsilon ^{2}l^{2}}{2\upsilon ^{2}}}

Многие вещи сокращаются. В итоге получается =\frac{\upsilon _{1}}{\sqrt{2}\upsilon }\cdot \sqrt{\frac{l^{2}}{2}}.

В итоге получаем следующее \frac{\upsilon _{1}l}{2\upsilon }.

Если бы нам были даны некие числовые данные, мы бы подставили их в это выражение и получили конкретное значение высоты h, на которую поднимется жук. На самом деле это и есть значение максимальной высоты, на которую он сможет подняться, а нашли мы ее следующим образом: составили некое выражение для высоты h, использовав знания о физике и немного знания о геометрии; составили выражение для высоты h, получилась функция; нашли производную этой функции, приравняли ее к нулю; определили момент времени t, в который жук поднимется на максимальную высоту, подставили его в выражение высоты h и получили выражение для этой максимальной высоты.

Вот так несложно и довольно просто можно решить эту задачу, зная способы вычисления производных, зная правила нахождения производных.

Так что учитесь математике и решайте задачи по физике с помощью математики.

Итак, вы посмотрели пятую, финальную серию первого сезона нашего уникального и очень интересного сериала «Математика в физике». Первый сезон называется «Производная». Пятая серия была посвящена производной в олимпиадной задаче по физике.

Надеюсь, что вы с интеерсом будете смотреть все серии нашего сериала. Ждите с нетерпением второй сезон, как ждем его и мы.

Буду рад присутствию на наших торансляциях, вашим лайкам и комментариям. С удовольствием встретимся с вами на наших воскресных мастер-классах в ЕГЭ-Студии.

Занимайтесь физикой и готовьтесь к ЕГЭ вместе с нами. Всего доброго!

Все видео по физике

Поделиться страницей

Это полезно

Интенсив «Первая часть на ЕГЭ
по математике»
Хочешь гарантированно получить не менее 62 баллов на ЕГЭ по математике? Приходи на наш интенсив 12-16 апреля, 5 дней по 4 часа.
Математика Задачи №17-19
Стрим Блиц по Задаче 19 ЕГЭ математика профиль!