Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.
Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.
Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.
Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через \(T\). Сопротивление катушки будем считать равным нулю.
Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.
Начальный момент: \(t=0\). Заряд конденсатора равен \(q_0\), ток через катушку отсутствует (рис. 1). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.
Рис. 1. \(t=0\)
Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.
Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину \(x_0\) и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.
Первая четверть периода :\( 0 \) < \( t \) < \( T/4\). Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен \(q\). Ток \(I\) через катушку нарастает (рис. 2).
Рис. 2. \(0\) < \( t\) < \(T/4\)
Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.
Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость \(v\) маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины \(x\) (она же — координата маятника) уменьшается.
Конец первой четверти : \(t = T/4\). Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения \(I_0\) (рис. 3). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.
Рис. 3. \( t = T/4\)
Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.
Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения \(v_0\). Деформация пружины равна нулю.
Вторая четверть: \(T/4\) < \(t\) < \(T/2\). Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4).
Рис. 4. \(T/4\) < \(t\) < \(T/2\)
Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.
Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.
Конец второй четверти \(t = T/2\). Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен \(q_0\) (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.
Рис. 5. \(t = T/2\)
Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна \(x_0\).
Третья четверть: \(T/2\) < \(t\) < \(3T/4\). Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6).
Рис. 6. \(T/2\) < \(t\) < \(3T/4\)
Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.
Конец третьей четверти: \(t = 3T/4\). Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен \(I_0\), но на сей раз имеет другое направление (рис. 7).
Рис. 7. \(t = 3T/4\)
Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью \(v_0\), но на сей раз в обратном направлении.
Четвёртая четверть: \(3T/4\) < \(t\) < \(T\). Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8).
Рис. 8. \(3T/4\) < \(t \) < \(T\)
Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке.
Конец четвёртой четверти и всего периода: \(t = T\). Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9).
Рис. 9. \(t = T\)
Данный момент идентичен моменту \(t = 0\), а данный рисунок — рисунку 1. Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.
Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.
Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!
Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.
В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.
Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.
к оглавлению ▴
Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость \(C\), индуктивность катушки равна \(L\).
Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.
Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен \(q_0\), а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия \(W\) контура сосредоточена в конденсаторе:
\(W = \frac{\displaystyle q_0^2}{\displaystyle 2C \vphantom{1^a}}.\)
Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен \(I_0\), а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:
\(W = \frac{\displaystyle LI_0^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}.\)
В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен \(q\) и через катушку течёт ток \(I\), энергия контура равна:
\(W = \frac{\displaystyle q^2}{\displaystyle 2C \vphantom{1^a}} + \frac{\displaystyle LI^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}.\)
Таким образом,
\(\frac{\displaystyle q^2}{\displaystyle 2C \vphantom{1^a}} + \frac{\displaystyle LI^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} = \frac{\displaystyle q_0^2}{\displaystyle 2C \vphantom{1^a}} = \frac{\displaystyle LI_0^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}.\) (1)
Соотношение (1) применяется при решении многих задач.
к оглавлению ▴
В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.
Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1):
\(\frac{\displaystyle kx^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} + \frac{\displaystyle mv^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle kx_0^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} = \frac{\displaystyle mv_0^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}.\) (2)
Здесь, как вы уже поняли, \(k\) — жёсткость пружины, \(m\) — масса маятника, \(x\) и \(v\) — текущие значения координаты и скорости маятника, \(x_0\) и \(v_0\) — их наибольшие значения.
Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2), мы видим следующие соответствия:
\(q \longleftrightarrow x;\) (3)
\(I \longleftrightarrow v;\) (4)
\(L \longleftrightarrow m;\) (5)
\(1/C \longleftrightarrow k.\) (6)
Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:
\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{\displaystyle m}{\displaystyle k}}.\)
B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу \(m\) на индуктивность \(L\), а жёсткость \(k\) на обратную ёмкость \(1/c\). Получим:
\(T = 2 \pi \sqrt{LC}.\) (7)
Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.
к оглавлению ▴
Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».
Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10).
Рис. 10. Положительное направление обхода
Сила тока считается положительной (\(I\) > 0), если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной (\(I\) < 0).
Заряд конденсатора \(q\) — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае \(q\) — заряд левой пластины конденсатора.
При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: \(\dot{q} = I\) (при ином выборе знаков могло случиться \(\dot{q} = -I\)). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если \(I\) > 0, то заряд \(q\) левой пластины возрастает, и потому \(\dot{q}\) > 0.
Величины \(q = q(t)\) и \(I = I(t)\) меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:
\(\frac{\displaystyle q^2}{\displaystyle 2C \vphantom{1^a}} + \frac{\displaystyle LI^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} = W = const.\) (8)
Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: \(\dot{W} = 0\). Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8); не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если \(y = y(x)\) — функция от \(x\), то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: \({(y^2)}' = 2y{y}'\)):
\(\frac{\displaystyle 2q \dot{q}}{\displaystyle 2C \vphantom{1^a}}+\frac{\displaystyle L \cdot 2I \dot{I}}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} = W =0.\)
Подставляя сюда \(\dot{q} = I\) и \(\dot{I} = \ddot{q}\), получим:
\(\frac{\displaystyle qI}{\displaystyle C \vphantom{1^a}} + LI \ddot{q} = 0,\)
\(I\left ( \frac{\displaystyle q}{\displaystyle C \vphantom{1^a}} + L \ddot{q} \right ) = 0.\)
Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому
\(\frac{\displaystyle q}{\displaystyle C \vphantom{1^a}} + L \ddot{q} = 0.\)
Перепишем это в виде:
\(\ddot{q} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle LC \vphantom{1^a}}q = 0.\) (9)
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида \(\ddot{q} + \omega^2_0 q = 0\), где \(\omega^2_0 = 1/LC\). Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:
\(\omega_0 = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{LC} \vphantom{1^a}}.\) (10)
Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:
\(T = \frac{\displaystyle 2 \pi}{\displaystyle \omega_0 \vphantom{1^a}}= 2 \pi\sqrt{LC}.\)
Мы снова пришли к формуле Томсона.
Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:
\(q = q_0 \cos \left ( \omega_0t + \alpha \right ).\) (11)
Циклическая частота \(\omega_0\) находится по формуле (10); амплитуда \(q_0\) и начальная фаза \(\alpha\) определяются из начальных условий.
Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при \(t = 0\) заряд конденсатора максимален и равен \(q_0\) (как на рис. 1); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза \(\alpha = 0\), так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой \(q_0\):
\(q = q_0 \cos \omega_0t = q_0 \cos \left ( \frac{\displaystyle t}{\displaystyle \sqrt{LC} \vphantom{1^a}} \right ).\) (12)
Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12), опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:
\(I = \dot{q} = -q_0 \omega_0 \sin \omega_0t.\)
Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса:
\(I = -I_0 \sin \omega_0t = -I_0 \sin \left ( \frac{\displaystyle t}{\displaystyle \sqrt{LC} \vphantom{1^a}} \right ).\) (13)
Амплитуда силы тока равна:
\(I_0 = q_0 \omega_0 = \frac{\displaystyle q_0}{\displaystyle \sqrt{LC} \vphantom{1^a}}.\)
Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени 0 < \(t\) < \(T/4\) (рис. 2).
Ток течёт в отрицательном направлении: \(I\) < 0. Поскольку \(\omega_0 = 2 \pi/T\), фаза колебаний находится в первой четверти: 0 < \(\omega_0 t\) < \(\pi /2\). Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13).
А теперь посмотрите на рис. 8. Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!
Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13). Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11).
Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока
Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.
Используя формулу приведения
\(\cos \left ( \varphi + \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \right ) = - \sin \varphi,\)
запишем закон изменения тока (13) в виде:
\(I = -I_0 \sin \omega_0 t = I_0 \cos \left ( \omega_0 t + \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \right ).\)
Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда \(q = q_0 \cos \omega_0 t\), мы видим, что фаза тока, равная \(\omega_0 t + \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}\), больше фазы заряда \(\omega_0 t\) на величину \(\pi/2\). В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на \(\pi/2\); или сдвиг фаз между током и зарядом равен \(\pi/2\); или разность фаз между током и зарядом равна \(\pi/2\).
Опережение током заряда по фазе на \(\pi/2\) графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на \(\pi/2\) относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз \(\pi/2\)).
к оглавлению ▴
Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.
Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12).
Рис. 12. Вынужденные колебания
Если напряжение источника меняется по закону:
\(U = U_0 \sin \omega t,\)
то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой \(\omega\) (и с периодом, соответственно, \(T = 2 \pi/ \omega\)). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты \(\omega\): амплитуда тем больше,чем ближе \(\omega\) к собственной частоте контура \(\omega_0\).При \(\omega = \omega_0\) наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.
Если вам нравятся наши материалы - записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по физике онлайн
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
