Темы кодификатора ЕГЭ: энергия связи нуклонов в ядре, ядерные силы.
Атомное ядро, согласно нуклонной модели, состоит из нуклонов - протонов и нейтронов. Но какие силы удерживают нуклоны внутри ядра?
За счёт чего, например, держатся вместе два протона и два нейтрона внутри ядра атома гелия? Ведь протоны, отталкиваясь друг от друга электрическими силами, должны были бы разлететься в разные стороны! Может быть, это гравитационное притяжение нуклонов друг к другу не даёт ядру распасться?
Давайте проверим. Пусть два протона находятся на некотором расстоянии \(r\) друг от друга. Найдём отношение силы \(F_{el}\) их электрического отталкивания к силе \(F_{gr}\) их гравитационного притяжения:
\(\frac{\displaystyle F_{\displaystyle el}}{\displaystyle F_{\displaystyle gr}}=\frac{\displaystyle ke^{2}/\displaystyle r^{2}}{\displaystyle Gm^{2}/\displaystyle r^{2}}=\frac{\displaystyle ke^{2}}{\displaystyle Gm^{2}}.\)
Заряд протона \(e=1.6 \cdot 10^{-19}\) Кл, масса протона \(m \approx 1,7 \cdot 10^{-27} \)кг, поэтому имеем:
\(\frac{\displaystyle F_{\displaystyle el}}{\displaystyle F_{\displaystyle gr}}=\frac{9\cdot 10^{9}\cdot 1,6^{2}\cdot 10^{-38}}{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 1,7^{2}\cdot 10^{-54}}\sim 10^{36}.\)
Какое чудовищное превосходство электрической силы! Гравитационное притяжение протонов не то что не обеспечивает устойчивость ядра - оно вообще не заметно на фоне их взаимного электрического отталкивания.
Следовательно, существуют иные силы притяжения, которые скрепляют нуклоны внутри ядра и превосходят по величине силу электрического отталкивания протонов. Это - так называемые ядерные силы.
До сих пор мы знали два типа взаимодействий в природе - гравитационные и электромагнитные. Ядерные силы служат проявлением нового, третьего по счёту типа взаимодействий - сильного взаимодействия. Мы не будем вдаваться в механизм возникновения ядерных сил, а лишь перечислим их наиболее важные свойства.
1. Ядерные силы действуют между любыми двумя нуклонами: протоном и протоном, протоном и нейтроном, нейтроном и нейтроном.
2. Ядерные силы притяжения протонов внутри ядра примерно в 100 раз превосходят силу электрического отталкивания протонов. Более мощных сил, чем ядерные, в природе не наблюдается.
3. Ядерные силы притяжения являются короткодействующими: радиус их действия составляет около \(10^{-15}\)м. Это и есть размер ядра - именно на таком расстоянии друг от друга нуклоны удерживаются ядерными силами. При увеличении расстояния ядерные силы очень быстро убывают; если расстояние между нуклонами станет равным \(2\cdot 10^{-15}\)м, ядерные силы почти полностью исчезнут.
На расстояниях, меньших \(10^{-15}\)м, ядерные силы становятся силами отталкивания.
Сильное взаимодействие относится к числу фундаментальных - его нельзя объяснить на основе каких-то других типов взаимодействий. Способность к сильным взаимодействиям оказалась свойственной не только протонам и нейтронам, но и некоторым другим элементарным частицам; все такие частицы получили название адронов. Электроны и фотоны к адронам не относятся - они в сильных взаимодействиях не участвуют.
Массы атомов и элементарных частиц чрезвычайно малы, и измерять их в килограммах неудобно. Поэтому в атомной и ядерной физике часто применяется куда более мелкая единица - так
называемая атомная единица массы (сокращённо а. е. м.).
По определению, атомная единица массы есть 1/12 массы атома углерода \(_{}^{12}\textrm{C}\). Вот её значение с точностью до пяти знаков после запятой в стандартной записи:
\(1\) а. е. м.\(=1,66054\cdot 10^{-27}\)кг \(=1,66054\cdot 10^{-24}\)г.
(Такая точность нам впоследствии понадобится для вычисления одной очень важной величины, постоянно применяющейся в расчётах энергии ядер и ядерных реакций.)
Оказывается, что 1 а. е. м., выраженная в граммах, численно равна величине, обратной к постоянной Авогадро \(N_{a}=1,602214\cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\):
\(\frac{1}{N_{A}}=\frac{1}{6,02214\cdot 10^{23}}=1,66054\cdot 10^{-24}\)моль.
Почему так получается? Вспомним, что число Авогадро есть число атомов в 12г углерода. Кроме того, масса \(m_{C}\) атома углерода равна 12 а. е. м. Отсюда имеем:
\(12\)г\(=N_{a}m_{C}=N_{A}\cdot 12\) а. е. м.,
поэтому \(N_{A}\cdot 1\)а. е. м.=\(1\)г, что и требовалось.
Как вы помните, любое тело массы m обладает энергией покоя E, которая выражается формулой Эйнштейна:
\(E=mc^{2}\). (1)
Выясним, какая энергия заключена в одной атомной единице массы. Нам надо будет провести вычисления с достаточно высокой точностью, поэтому берём скорость света с пятью знаками после запятой:
\(c=2,99792\cdot 10^{8}\) м/с.
Итак, для массы \(m_{1}=1\) а. е. м. имеем соответствующую энергию покоя \(E_{1}\):
\(E_{1}=m_{1} c^{2}=1,66054 \cdot 10^{-27} \cdot 2,99792^{2} \cdot 10^{16}=1,49241\cdot 10^{-10}\)Дж. (2)
В случае малых частиц пользоваться джоулями неудобно - по той же причине, что и килограммами. Существует гораздо более мелкая единица измерения энергии - электронвольт (сокращённо эВ).
По определению, 1 эВ есть энергия, приобретаемая электроном при прохождении ускоряющей разности потенциалов 1 вольт:
\(1\) эВ \(=eV=1,60218\cdot 10^{-19}\)Кл\(\cdot 1\)В\(=1,60218\cdot 10^{-19}\) Дж. (3)
(вы помните, что в задачах достаточно использовать величину элементарного заряда в виде \(e=1,6\cdot 10^{-19}\) Кл, но здесь нам нужны более точные вычисления).
И вот теперь, наконец, мы готовы вычислить обещанную выше очень важную величину - энергетический эквивалент атомной единицы массы, выраженный в МэВ. Из (2) и (3) получаем:
\(E_{1}=\frac{1,49241\cdot 10^{-10}}{1,60218\cdot 10^{-19}}=0,93149\cdot 10^{9}\) эВ \(=931,5\). (4)
Итак, запоминаем: энергия покоя одной а. е. м. равна 931,5 МэВ. Этот факт вам неоднократно встретится при решении задач.
В дальнейшем нам понадобятся массы и энергии покоя протона, нейтрона и электрона. Приведём их с точностью, достаточной для решения задач.
\(m_{p}=1,00728\) а. е. м., \(E_{p}=938,3\)МэВ;
\(m_{n}=1,00867\) а. е. м., \(E_{n}=939,6\)МэВ;
\(m_{e}=5,468\cdot 10^{-4}\) а. е. м., \(E_{e}=0,511\)МэВ.
Мы привыкли, что масса тела равна сумме масс частей, из которых оно состоит. В ядерной физике от этой простой мысли приходится отвыкать.
Давайте начнём с примера и возьмём хорошо знакомую нам \(\alpha\)-частицу ядро \(_{2}^{4}\textrm{He}\). В таблице (например, в задачнике Рымкевича) имеется значение массы нейтрального атома гелия: она равна 4,00260 а. е. м. Для нахождения массы M ядра гелия нужно из массы нейтрального атома вычесть массу двух электронов, находящихся в атоме:
\(M=4,00260-2\cdot 0,0005486=4,00150\)а. е. м.
В то же время, суммарная масса двух протонов и двух нейтронов, из которых состоит ядро гелия, равна:
\(2m_{p}+2m_{n}=2 \cdot 1,00728+2 \cdot 1,00867=4,03190\)а. е. м.
Мы видим, что сумма масс нуклонов, составляющих ядро, превышает массу ядра на
\(\Delta m= 2m_{p}+2m_{n}-M=4,03190-4,00150=0,0304\)а. е. м.
Величина \(\Delta m\) называется дефектом массы. В силу формулы Эйнштейна (1) дефекту массы отвечает изменение энергии:
\(\Delta E=\Delta mc^{2}=0,0304\cdot 931,5\approx 28\)МэВ:
Величина \(\Delta E\) обозначается также \(E_{CB}\) и называется энергией связи ядра \(_{2}^{4}\textrm{He}\). Таким образом, энергия связи \(\alpha\)-частицы составляет приблизительно 28 МэВ.
Каков же физический смысл энергии связи (и, стало быть, дефекта масс)?
Чтобы расщепить ядро на составляющие его протоны и нейтроны, нужно совершить работу против действия ядерных сил. Эта работа не меньше определённой величины \(A_{min}\); минимальная работа \(A_{min}\) по разрушению ядра совершается в случае, когда высвободившиеся протоны и нейтроны покоятся.
Ну а если над системой совершается работа, то энергия системы возрастает на величину совершённой работы. Поэтому суммарная энергия покоя нуклонов, составляющих ядро и взятых по отдельности, оказывается больше энергии покоя ядра на величину \(A_{min}\).
Следовательно, и суммарная масса нуклонов, из которых состоит ядро, будет больше массы самого ядра. Вот почему возникает дефект массы.
В нашем примере с \(\alpha\)-частицей суммарная энергия покоя двух протонов и двух нейтронов больше энергии покоя ядра гелия на 28 МэВ. Это значит, что для расщепления ядра \(_{2}^{4}\textrm{He}\) на составляющие его нуклоны нужно совершить работу, равную как минимум 28 МэВ. Эту величину мы и назвали энергией связи ядра.
Итак, энергия связи ядра - это минимальная работа, которую необходимо совершить для расщепления ядра на составляющие его нуклоны.
Энергия связи ядра есть разность энергий покоя нуклонов ядра, взятых по отдельности, и энергии покоя самого ядра. Если ядро массы \(M\) состоит из \(Z\) протонов и \(N\) нейтронов, то для энергии связи \(E_{CB}\) имеем:
\(E_{CB}=(Zm_{p}+Nm_{n})c^{2}-Mc^{2}=(Zm_{p}+Nm_{n}-M)c^{2}\).
Величина \(\Delta m=Zm_{p}+Nm_{n}-M\), как мы уже знаем, называется дефектом массы.
Важной характеристикой прочности ядра является его удельная энергия связи, равная отношению энергии связи к числу нуклонов:
\(\varepsilon =\frac{E_{CB}}{A}\).
Удельная энергия связи есть энергия связи, приходящаяся на один нуклон, и имеет смысл средней работы, которую необходимо совершить для удаления нуклона из ядра.
На рис. 1 представлена зависимость удельной энергии связи естественных (то есть встречающихся в природе 1) изотопов химических элементов от массового числа A.
Рис. 1. Удельная энергия связи естественных изотопов
Элементы с массовыми числами 210–231, 233, 236, 237 в естественных условиях не встречаются. Этим объясняются пробелы в конце графика.
У лёгких элементов удельная энергия связи возрастает с ростом \(A\), достигая максимального значения 8,8 МэВ/нуклон в окрестности железа \(_{26}^{56}\textrm{Fe}\) (то есть в диапазоне изменения \(A\) примерно от 50 до 65). Затем она плавно убывает до величины 7,6 МэВ/нуклон у урана \(_{92}^{238}\textrm{U}\).
Такой характер зависимости удельной энергии связи от числа нуклонов объясняется совместным действием двух разнонаправленных факторов.
Первый фактор - поверхностные эффекты. Если нуклонов в ядре мало, то значительная их часть находится на поверхности ядра. Эти поверхностные нуклоны окружены меньшим числом соседей, чем внутренние нуклоны, и, соответственно, взаимодействуют с меньшим числом соседних нуклонов. При увеличении \(A\) доля внутренних нуклонов растёт, а доля поверхностных нуклонов - падает; поэтому работа, которую нужно совершить для удаления одного нуклона из ядра, в среднем должна увеличиваться с ростом \(A\).
Однако с возрастанием числа нуклонов начинает проявляться второй фактор - кулоновское отталкивание протонов. Ведь чем больше протонов в ядре, тем большие электрические силы отталкивания стремятся разорвать ядро; иными словами, тем сильнее каждый протон отталкивается от остальных протонов. Поэтому работа, необходимая для удаления нуклона из ядра, в среднем должна уменьшаться с ростом \(A\).
Пока нуклонов мало, первый фактор доминирует над вторым, и потому удельная энергия связи возрастает.
В окрестности железа \((50\leqslant A\leqslant 65)\) действия обоих факторов сравниваются друг с другом, в результате чего удельная энергия связи выходит на максимум. Это область наиболее устойчивых, прочных ядер.
Затем второй фактор начинает перевешивать, и под действием всё возрастающих сил кулоновского отталкивания, распирающих ядро, удельная энергия связи убывает.
Тот факт, что второй фактор доминирует у тяжёлых ядер, говорит об одной интересной особенности ядерных сил: они обладают свойством насыщения. Это означает, что каждый нуклон в большом ядре связан ядерными силами не со всеми остальными нуклонами, а лишь с небольшим числом своих соседей, и число это не зависит от размеров ядра.
Действительно, если бы такого насыщения не было, удельная энергия связи продолжала бы возрастать с увеличением \(A\) - ведь тогда каждый нуклон скреплялся бы ядерными силами со всё большим числом нуклонов ядра, так что первый фактор неизменно доминировал бы над вторым. У кулоновских сил отталкивания не было бы никаких шансов переломить ситуацию в свою пользу!
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
