Изопроцессы

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: изопроцессы — изотермический, изохорный, изобарный процессы.

На протяжении этого листка мы будем придерживаться следующего предположения: масса и химический состав газа остаются неизменными. Иными словами, мы считаем, что:

• \(m = const\), то есть нет утечки газа из сосуда или, наоборот, притока газа в сосуд;

• \(\mu = const\), то есть частицы газа не испытывают каких-либо изменений (скажем, отсутствует диссоциация — распад молекул на атомы).

Эти два условия выполняются в очень многих физически интересных ситуациях (например, в простых моделях тепловых двигателей) и потому вполне заслуживают отдельного рассмотрения.

Если масса газа и его молярная масса фиксированы, то состояние газа определяется тремя макроскопическими параметрами: давлением, объёмом и температурой. Эти параметры связаны друг с другом уравнением состояния (уравнением Менделеева — Клапейрона).

Термодинамический процесс (или просто процесс) — это изменение состояния газа с течением времени. В ходе термодинамического процесса меняются значения макроскопических параметров — давления, объёма и температуры.

Особый интерес представляют изопроцессы — термодинамические процессы, в которых значение одного из макроскопических параметров остаётся неизменным. Поочерёдно фиксируя каждый из трёх параметров, мы получим три вида изопроцессов.

1. Изотермический процесс идёт при постоянной температуре газа: \(T = const\).
2. Изобарный процесс идёт при постоянном давлении газа: \(p = const\).
3. Изохорный процесс идёт при постоянном объёме газа: \(V = const\).

Изопроцессы описываются очень простыми законами Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. Давайте перейдём к их изучению.

Пусть идеальный газ совершает изотермический процесс при температуре \(T\). В ходе процесса меняются только давление газа и его объём.

Рассмотрим два произвольных состояния газа: в одном из них значения макроскопических параметров равны \(p_1, V_1, T\), а во втором — \(p_2, V_2, T\). Эти значения связаны уравнением Менделеева-Клапейрона:

\(p_1V_1=\frac{\displaystyle m}{\displaystyle \mu \vphantom{1^a}}RT,\)

\(p_2V_2=\frac{\displaystyle m}{\displaystyle \mu \vphantom{1^a}}RT.\)

Как мы сказали с самого начала,масса \(m\) и молярная масса \(\mu\) предполагаются неизменными.

Поэтому правые части выписанных уравнений равны. Следовательно, равны и левые части:

\(p_1V_1=p_2V_2.\) (1)

Поскольку два состояния газа были выбраны произвольно, мы можем заключить, что в ходе изотермического процесса произведение давления газа на его объём остаётся постоянным:

\(pV = const.\) (2)

Данное утверждение называется законом Бойля — Мариотта.

Записав закон Бойля — Мариотта в виде

\(p=\frac{\displaystyle const}{\displaystyle V \vphantom{1^a}},\) (3)

можно дать и такую формулировку: в изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально его объёму. Если, например, при изотермическом расширении газа его объём увеличивается в три раза, то давление газа при этом в три раза уменьшается.

Как объяснить обратную зависимость давления от объёма с физической точки зрения? При постоянной температуре остаётся неизменной средняя кинетическая энергия молекул газа, то есть, попросту говоря, не меняется сила ударов молекул о стенки сосуда. При увеличении объёма концентрация молекул уменьшается, и соответственно уменьшается число ударов молекул в единицу времени на единицу площади стенки — давление газа падает. Наоборот, при уменьшении объёма концентрация молекул возрастает, их удары сыпятся чаще и давление газа увеличивается.

Вообще, графики термодинамических процессов принято изображать в следующих системах координат:

• \(pV\)-диаграмма: ось абсцисс \(V\), ось ординат \(p\);
• \(VT\)-диаграмма: ось абсцисс \(T\), ось ординат \(V\);
• \(pT\)-диаграмма: ось абсцисс \(T\), ось ординат \(p\).

График изотермического процесса называется изотермой.

Изотерма на \(pV\)-диаграмме — это график обратно пропорциональной зависимости \(p=\frac{\displaystyle const}{\displaystyle V \vphantom{1^a}}\).

Такой график является гиперболой (вспомните алгебру — график функции \(y=\frac{\displaystyle k}{\displaystyle x \vphantom{1^a}}\)). Изотерма-гипербола изображена на рис. 1.

Рис. 1. Изотерма на \(pV\)-диаграмме

Каждая изотерма отвечает определённому фиксированному значению температуры. Оказывается, что чем выше температура, тем выше лежит соответствующая изотерма на \(pV\)-диаграмме.

В самом деле, рассмотрим два изотермических процесса, совершаемых одним и тем же газом (рис. 2). Первый процесс идёт при температуре \(T_1\), второй — при температуре \(T_2\).

Рис. 2. Чем выше температура, тем выше изотерма

Фиксируем некоторое значение объёма \(V\). На первой изотерме ему отвечает давление \(p_1\), на второй — \(p_2 > p_1\). Но при фиксированном объёме давление тем больше, чем выше температура (молекулы начинают сильнее бить по стенкам). Значит, \(T_2 > T_1\).

В оставшихся двух системах координат изотерма выглядит очень просто: это прямая, перпендикулярная оси \(T\) (рис. 3):

Рис. 3. Изотермы на \(VT\) и \(pT\)-диаграммах

Напомним ещё раз, что изобарный процесс — это процесс, проходящий при постоянном давлении. В ходе изобарного процесса меняются лишь объём газа и его температура.

Типичный пример изобарного процесса: газ находится под массивным поршнем, который может свободно перемещаться. Если масса поршня \(M\) и поперечное сечение поршня \(S\), то давление газа всё время постоянно и равно

\(p=p_0 + \frac{\displaystyle Mg}{\displaystyle S \vphantom{1^a}},\)

где \(p_0\) — атмосферное давление.

Пусть идеальный газ совершает изобарный процесс при давлении \(p\). Снова рассмотрим два произвольных состояния газа; на этот раз значения макроскопических параметров будут равны \(p, V_1, T_1\) и \(p, V_2, T_2\).

Выпишем уравнения состояния:

\(pV_1=\frac{\displaystyle m}{\displaystyle \mu \vphantom{1^a}}RT_1,\)

\(pV_2=\frac{\displaystyle m}{\displaystyle \mu \vphantom{1^a}}RT_2.\)

Поделив их друг на друга, получим:

\(\frac{\displaystyle V_1}{\displaystyle V_2 \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle T_1}{\displaystyle T_2 \vphantom{1^a}}.\)

В принципе, уже и этого могло бы быть достаточно, но мы пойдём немного дальше. Перепишем полученное соотношение так, чтобы в одной части фигурировали только параметры первого состояния, а в другой части — только параметры второго состояния (иными словами, «разнесём индексы» по разным частям):

\(\frac{\displaystyle V_1}{\displaystyle T_1 \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle V_2}{\displaystyle T_2 \vphantom{1^a}}.\) (4)

А отсюда теперь — ввиду произвольности выбора состояний! — получаем закон Гей-Люссака:

\(\frac{\displaystyle V}{\displaystyle T \vphantom{1^a}}=const.\) (5)

Иными словами, при постоянном давлении газа его объём прямо пропорционален температуре:

\(V=const \cdot T.\) (6)

Почему объём растёт с ростом температуры? При повышении температуры молекулы начинают бить сильнее и приподнимают поршень. При этом концентрация молекул падает, удары становятся реже, так что в итоге давление сохраняет прежнее значение.

График изобарного процесса называется изобарой. На \(VT\)-диаграмме изобара \(V = const \cdot T\) является прямой линией (рис. 4):

Рис. 4. Изобара на \(VT\)-диаграмме

Пунктирный участок графика означает, что в случае реального газа при достаточно низких температурах модель идеального газа (а вместе с ней и закон Гей-Люссака) перестаёт работать. В самом деле, при снижении температуры частицы газа двигаются всё медленнее, и силы межмолекулярного взаимодействия оказывают всё более существенное влияние на их движение (аналогия: медленный мяч легче поймать, чем быстрый). Ну а при совсем уж низких температурах газы и вовсе превращаются в жидкости.

Разберёмся теперь, как меняется положение изобары при изменении давления. Оказывается, что чем больше давление, тем ниже идёт изобара на \(VT\)-диаграмме.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две изобары с давлениями \(p_1\) и \(p_2\) (рис. 5):

Рис. 5. Чем ниже изобара, тем больше давление

Зафиксируем некоторое значение температуры \(T\). Мы видим, что \(V_2 < V_1\). Но при фиксированной температуре объём тем меньше, чем больше давление (закон Бойля — Мариотта!).

Стало быть, \(p_2 > p_1\).

В оставшихся двух системах координат изобара является прямой линией, перпендикулярной оси \(p\)(рис. 6):

Рис. 6. Изобары на \(pV\) и \(pT\)-диаграммах

Изохорный процесс, напомним, — это процесс, проходящий при постоянном объёме. При изохорном процессе меняются только давление газа и его температура.

Изохорный процесс представить себе очень просто: это процесс, идущий в жёстком сосуде фиксированного объёма (или в цилиндре под поршнем, когда поршень закреплён).

Пусть идеальный газ совершает изохорный процесс в сосуде объёмом \(V\). Опять-таки рассмотрим два произвольных состояния газа с параметрами \(p_1, V, T_1\) и \(p_2, V, T_2\). Имеем:

\(p_1V=\frac{\displaystyle m}{\displaystyle \mu \vphantom{1^a}}RT_1,\)

\(p_2V=\frac{\displaystyle m}{\displaystyle \mu \vphantom{1^a}}RT_2.\)

Делим эти уравнения друг на друга:

\(\frac{\displaystyle p_1}{\displaystyle p_2 \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle T_1}{\displaystyle T_2 \vphantom{1^a}}.\)

Как и при выводе закона Гей-Люссака, «разносим» индексы в разные части:

\(\frac{\displaystyle p_1}{\displaystyle T_1 \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle p_2}{\displaystyle T_2 \vphantom{1^a}}.\) (7)

Ввиду произвольности выбора состояний мы приходим к закону Шарля:

\(\frac{\displaystyle p}{\displaystyle T \vphantom{1^a}}=const.\) (8)

Иными словами, при постоянном объёме газа его давление прямо пропорционально температуре:

\(p=const \cdot T.\) (9)

Увеличение давления газа фиксированного объёма при его нагревании — вещь совершенно очевидная с физической точки зрения. Вы сами легко это объясните.

График изохорного процесса называется изохорой. На \(pT\)-диаграмме изохора \(p = const \cdot T\) является прямой линией (рис. 7):

Рис. 7. Изохора на \(pT\)-диаграмме

Смысл пунктирного участка тот же: неадекватность модели идеального газа при низких температурах.

Далее, чем больше объём, тем ниже идёт изохора на \(pT\)-диаграмме (рис. 8):

Рис. 8. Чем ниже изохора, тем больше объём

Доказательство аналогично предыдущему. Фиксируем температуру \(T\) и видим, что \(p_2 < p_1\). Но при фиксированной температуре давление тем меньше, чем больше объём (снова закон Бойля — Мариотта). Стало быть, \(V_2 > V_1\).

В оставшихся двух системах координат изохора является прямой линией, перпендикулярной оси \(V\)(рис. 9):

Рис. 9. Изохоры на \(pV\) и \(VT\)-диаграммах

Законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля называются также газовыми законами.

Мы вывели газовые законы из уравнения Менделеева — Клапейрона. Но исторически всё было наоборот: газовые законы были установлены экспериментально, и намного раньше. Уравнение состояния появилось впоследствии как их обобщение.