Магнитное поле. Силы

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: сила Ампера, сила Лоренца.

В отличие от электрического поля, которое действует на любой заряд, магнитное поле действует только на движущиеся заряженные частицы. При этом оказывается, что сила зависит не только от величины, но и от направления скорости заряда.

Сила, с которой магнитное поле действует на заряженную частицу, называется силой Лоренца. Опыт показывает, что вектор \(\vec{F}\) силы Лоренца находится следующим образом.

1. Абсолютная величина силы Лоренца равна:

\(F = qvB \sin \alpha.\) (1)

Здесь \(q\) — абсолютная величина заряда, \(v\) — скорость заряда, \(B\) — индукция магнитного поля, \(\alpha \) — угол между векторами \(\vec{v}\) и \(\vec{B}\).

2. Сила Лоренца перпендикулярна обоим векторам \(\vec{v}\) и \(\vec{B}\). Иными словами, вектор \(\vec{F}\) перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы скорости заряда и индукции магнитного поля.

Остаётся выяснить, в какое полупространство относительно данной плоскости направлена сила Лоренца.

3. Взаимное расположение векторов \(\vec{v}\), \(\vec{B}\) и \(\vec{F}\) для положительного заряда \(q\) показано на рис. 1.

Рис. 1. Сила Лоренца

Направление силы Лоренца определяется в данном случае по одному из двух альтернативных правил.

Правило часовой стрелки. Сила Лоренца направлена туда, глядя откуда кратчайший поворот вектора скорости частицы v к вектору магнитной индукции B виден против часовой стрелки.

Правило левой руки . Располагаем левую руку так, чтобы четыре пальца указывали направление скорости частицы, а линии поля входили в ладонь. Тогда оттопыренный большой палец укажет направление силы Лоренца.
Для отрицательного заряда \(q\) направление силы Лоренца меняется на противоположное.

Всё вышеперечисленное является обобщением опытных фактов. Формула (1) позволяет связать размерность индукции магнитного поля с размерностями других физических величин:

\(B=\frac{\displaystyle F}{\displaystyle qv \sin \alpha \vphantom{1^a}} \)

Если металлический проводник с током поместить в магнитное поле, то на этот проводник со стороны магнитного поля будет действовать сила, которая называется силой Ампера.

Происхождение силы Ампера легко понять. Ведь ток в металле является направленным движением электронов, а на каждый электрон действует сила Лоренца. Все эти силы Лоренца, действующие на свободные электроны, имеют одинаковое направление и одинаковую величину; они складываются друг с другом и дают результирующую силу Ампера.

Направление силы Ампера определяется по тем же двум правилам, сформулированным выше.

Правило часовой стрелки . Сила Ампера направлена туда, глядя откуда кратчайший поворот тока к полю виден против часовой стрелки .

Правило левой руки . Располагаем левую руку так, чтобы четыре пальца указывали направление тока, а линии поля входили в ладонь. Тогда оттопыренный большой палец укажет направление силы Ампера .

Взаимное расположение тока, поля и силы Ампера \(\vec{F}\) указано на рис. 2.

Рис. 2. Сила Ампера

На этом рисунке проводник имеет длину \(l\), а угол между направлениями тока и поля равен \(\alpha \). Мы сейчас выведем выражение для абсолютной величины силы Ампера.

На каждый свободный электрон действует сила Лоренца:

\(F_1 = evB \sin \alpha \)

где \(v\) — скорость направленного движения свободных электронов в проводнике.

Пусть \(N\) — число свободных электронов в данном проводнике, \(n\) — их концентрация (число в единице объёма). Тогда:

\(N = nV = nSl,\)

где \(V\) — объём проводника, \(S\) — площадь его поперечного сечения. Получаем:

\(F = NF_1 = nSl \cdot evB \sin \alpha = (enSv)Bl \sin \alpha.\)

Мы не случайно выделили скобками четыре сомножителя. Ведь это есть не что иное, как сила тока: \(I = enSv\) (вспомните выражение силы тока через скорость направленного движения свободных зарядов!). В результате приходим к окончательной формуле для силы Ампера:

\(F = IBl \sin \alpha.\) (2)

Хорошую возможность поупражняться в нахождении направлений магнитного поля и силы Ампера даёт взаимодействие параллельных токов. Оказывается, два параллельных провода отталкиваются, если направления токов в них противоположны, и притягиваются, если направления токов совпадают (рис. 3).

Рис. 3. Взаимодействие параллельных токов

Обязательно убедитесь в этом самостоятельно! Делаем так. Сначала берём произвольную точку на первом проводе и определяем направление магнитного поля, создаваемого в этой точке вторым проводом (правило вам известно — см. предыдущий листок>). Ну а затем находим направление силы Ампера, действующей на первый провод со стороны магнитного поля второго провода.

В листках по термодинамике мы говорили о важности циклически работающих машин: они снабжают нас энергией. Понимание законов термодинамики позволило сконструировать тепловые двигатели, которые исправно служат нам и по сей день.

Понимание же законов электромагнетизма дало возможность создать циклическую машину другого типа — электродвигатель.

Мы рассмотрим один из элементов электродвигателя — рамку с током в магнитном поле. Разобравшись в её поведении, мы сможем уловить основную идею функционирования электродвигателя.

Пусть прямоугольная рамка \(1234\) может вращаться вокруг горизонтальной оси (рис. 4, слева). Рамка находится в вертикальном однородном магнитном поле \(\vec{B}\). Ток течёт по рамке в направлении \(1 > 2 > 3 > 4 > 1\); это направление показано соответствующими стрелками.

Рис. 4. Рамка с током в магнитном поле

Вектор \(\vec{n}\) называется вектором нормали; он перпендикулярен плоскости рамки и направлен туда, глядя откуда ток кажется циркулирующим против часовой стрелки. (Иными словами, вектор \(\vec{n}\) сонаправлен с вектором индукции магнитного поля, которое создаётся током в рамке.) Поворот рамки измеряется углом \(\alpha \) между векторами \(\vec{n}\) и \(\vec{B}\).

Теперь определим направления сил Ампера, которые действуют на рамку со стороны магнитного поля. Эти силы расставлены на рисунке; вот вам ещё одно упражнение на правило часовой стрелки (левой руки) — обязательно проверьте правильность указанных направлений!

Силы \(\vec{F_{12}}\) и \(\vec{F_{34}}\), приложенные к сторонам \(12\) и \(34\), действуют вдоль оси вращения. Они лишь растягивают рамку и не вызывают её вращение.

Куда более интересны силы \(\vec{F_{23}}\) и \(\vec{F_{14}}\), приложеные соответственно к сторонам \(23\) и \(14\). Они лежат в горизонтальной плоскости и перпендикулярны оси вращения. Эти силы вращают рамку в направлении по часовой стрелке, если смотреть справа (рис. 4, правая часть). Вычислим момент этой пары сил относительно оси \(O\) вращения рамки.

Пусть длина стороны \(14\) равна \(a\). Тогда

\(F_{14} = F_{23} = IB_a.\)

Пусть длина стороны \(12\) равна \(b\). Плечо \(d\) силы \(F_{14}\), как видно из рис. 4 (справа) равно:

\(d=OA=\frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \sin \varphi \)

Таким же будет плечо силы \(\vec{F_{23}}\). Отсюда получаем момент сил, вращающий рамку:

\(M=F_{14}d + F_{23}d=IB_a \cdot \frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \sin \varphi + IB_a \cdot \frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \sin \varphi=IBab \sin \varphi\)

Теперь заметим, что \(ab=S\) — площадь рамки. Окончательно имеем:

\(M = IBS \sin \varphi.\) (3)

В этой формуле площадь служит единственной геометрической характеристикой рамки.Это наводит на мысль, что только площадь рамки и существенна в выражении для вращающего момента. И действительно, можно доказать (разбивая рамку на бесконечно узкие полоски, неотличимые от прямоугольников), что формула (3) справедлива для рамки любой формы с площадью \(S\).

Как видно из формулы (3), максимальный вращающий момент равен:

\(M_{max} = IBS.\)

Эта максимальная величина момента достигается при \(\varphi = \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}\), то есть когда плоскость рамки параллельна магнитному полю.

Вращающий момент становится равным нулю при \(\varphi = 0\) и \(\varphi = \pi\). Оба этих положения по-своему интересны.

При \(\varphi = \pi\) плоскость рамки перпендикулярна полю, а векторы \(n\) и \(B\) направлены в разные стороны. Данное положение является положением неустойчивого равновенсия: стоит хоть немного шевельнуть рамку, как силы Ампера начнут её вращать в том же направлении, поворачивая вектор \(\vec{n}\) к вектору \(\vec{B}\) (убедитесь!).

При \(\varphi = 0\) плоскость рамки также перпендикулярна полю, а векторы \(\vec{n}\) и \(\vec{B}\) сонаправлены. Это — положение устойчивого равновенсия: при отклонении рамки возникает вращающий момент, стремящийся вернуть рамку назад (убедитесь!). Начнутся колебания рамки, постепенно затухающие из-за трения. В конце концов рамка остановится в положении \(\varphi = 0\); в этом положении вектор индукции магнитного поля рамки сонаправлен с вектором \(\vec{B}\) индукции внешнего магнитного поля (вот почему при намагничивании вещества элементарные токи ориентируются так, что их поля направлены в сторону внешнего магнитного поля). Полезное сопоставление: рамка занимает такое положение, что её положительная нормаль ориентируется в том же направлении, что и северный конец стрелки компаса, помещённой в это магнитное поле.

Таким образом, поведение рамки в магнитном поле становится ясным: если отклонить рамку от положения устойчивого равновесия и отпустить, то рамка будет совершать колебания. С точки зрения совершения механической работы это не очень хорошо: если намотать нить на ось вращения и подвесить к нити груз, то груз будет то подниматься, то опускаться.
Но вот если исхитриться и заставить ток менять направление в нужные моменты, то вместо колебаний рамки начнётся её непрерывное вращение и, соответственно, непрерывный подъём подвешенного груза. Тогда-то и получится полноценный электродвигатель; идея с переменой направления тока реализуется с помощью коллектора и щёток.