Темы кодификатора ЕГЭ: оптические приборы.
Как мы знаем из предыдущей темы, для более подробного разглядывания объекта нужно увеличить угол зрения. Тогда изображение объекта на сетчатке будет крупнее, и это приведёт к раздражению большего числа нервных окончаний зрительного нерва; в мозг направится большее количество визуальной информации, и мы сможем увидеть новые детали рассматриваемого объекта.
Почему угол зрения бывает малым? На то есть две причины: 1) объект сам по себе имеет малый размер; 2) объект, хотя и достаточно велик по размерам, но расположен далеко.
Оптические приборы - это приспособления для увеличения угла зрения. Для рассматривания малых объектов используются лупа и микроскоп. Для рассматривания далёких объектов применяются зрительные трубы (а также бинокли, телескопы и т. д.)
Пусть небольшой предмет размером \(h\) находится на расстоянии наилучшего зрения \(d_{0}\) от глаза (рис. 1). На сетчатке возникает перевёрнутое изображение предмета, но, как вы помните, это изображение затем вторично переворачивается в коре головного мозга, и в результате мы видим предмет нормально - не вверх ногами.
 |
| Рис. 1. Рассматривание мелкого предмета невооружённым глазом |
Ввиду малости предмета угол зрения \(\varphi _{0}\) также является малым. Напомним, что малый угол (в радианах) почти не отличается от своего тангенса: \(\varphi _{0}\approx tg \varphi _{0}\). Поэтому:
\(\varphi _{0}=\frac{\displaystyle h}{\displaystyle d_{0}}\). (1)
Если r расстояние от оптического центра глаза до сетчатки, то размер изображения на сетчатке будет равен:
\(l_{0}=r\varphi _{0}\). (2)
Из (1) и (2) имеем также:
\(l_{0}=\frac{\displaystyle rh}{\displaystyle d_{0}}\). (3)
Как известно, диаметр глаза составляет около 2,5 см, так что \(l/d_{0}\approx 0,1\) . Поэтому из (3) следует, что при рассматривании мелкого предмета невооружённым глазом изображение предмета на сетчатке примерно в 10 раз меньше самого предмета.
Лупа - это просто собирающая линза (или система линз); фокусное расстояние лупы обычно находится в диапазоне от 5 до 125 мм. Предмет, разглядываемый через лупу, помещается в её фокальной плоскости (рис. 2). В таком случае лучи, исходящие из каждой точки предмета, после прохождения лупы становятся параллельными, и глаз фокусирует их на сетчатке, не испытывая напряжения.
 |
| Рис. 2. Рассматривание предмета через лупу |
Теперь, как видим, угол зрения равен \(\varphi\). Он также мал и приблизительно равен своему тангенсу:
\(\varphi=\frac{\displaystyle h}{\displaystyle f}\). (4)
Размер l изображения на сетчатке теперь равен:
\(l=r\varphi\). (5)
или, с учётом (4):
\(l=\frac{\displaystyle rh}{\displaystyle f}\). (6)
Как и на рис. 1, красная стрелочка на сетчатке также направлена вниз. Это означает, что (с учётом вторичного переворачивания изображения нашим сознанием) в лупу мы видим неперевёрнутое изображение предмета.
Увеличение лупы - это отношение размера изображения при использовании лупы к размеру изображения при рассматривании предмета невооружённым глазом:
\(\Gamma = \frac{\displaystyle l}{\displaystyle l_{0}}\). (7)
Подставляя сюда выражения (6) и (3), получим:
\(\Gamma = \frac{\displaystyle d_{0}}{\displaystyle f}\). (8)
Например, если фокусное расстояние лупы равно 5 см, то её увеличение \(\Gamma=25/5=5\). При рассматривании через такую лупу объект кажется в пять раз больше, чем при рассматривании его невооружённым глазом.
Подставим также в формулу (7) соотношения (5) и (2):
\(\Gamma = \frac{\displaystyle r\varphi }{\displaystyle r\varphi _{0}}=\frac{\displaystyle \varphi }{\displaystyle \varphi _{0}}\).
Таким образом, увеличение лупы есть угловое увеличение: оно равно отношению угла зрения при рассматривании объекта через лупу к углу зрения при рассматривании этого объекта невооружённым глазом.
Отметим, что увеличение лупы есть величина субъективная - ведь величина \(d_{0}\) в формуле (8) есть расстояние наилучшего зрения для нормального глаза. В случае близорукого или дальнозоркого глаза расстояние наилучшего зрения будет соответственно меньше или больше.
Из формулы (8) следует, что увеличение лупы тем больше, чем меньше её фокусное расстояние. Уменьшение фокусного расстояния собирающей линзы достигается за счёт увеличения кривизны преломляющих поверхностей: линзу надо делать более выпуклой и тем самым уменьшать её размеры. Когда увеличение \(\Gamma\) достигает 40–50, размер лупы становится равным нескольким миллиметрам. При ещё меньших размерах лупы пользоваться ей станет невозможно, поэтому \(\Gamma=50\) считается верхней границей увеличения лупы.
Микроскоп содержит две собирающие линзы (или две системы таких линз) - объектив и окуляр. Запомнить это просто: объектив обращён к объекту, а окуляр - к глазу (к оку).
Идея микроскопа проста. Рассматриваемый объект находится между фокусом и двойным фокусом объектива, так что объектив даёт увеличенное (действительное перевёрнутое) изображение объекта. Это изображение располагается в фокальной плоскости окуляра и затем рассматривается в окуляр как в лупу. В результате удаётся достичь итогового увеличения, гораздо большего 50.
Ход лучей в микроскопе показан на рис. 3.
 |
| Рис. 3. Ход лучей в микроскопе |
Обозначения на рисунке понятны: \(f_{1}\) - фокусное расстояние объектива \(Ob; f_{2}\) - фокусное расстояние окуляра \(Ok; h\) - размер объекта; \(H\) - размер изображения объекта, даваемого объективом. Расстояние \(\delta =F_{1}F_{2}\) между фокальными плоскостями объектива и окуляра называется оптической длиной тубуса микроскопа.
Обратите внимание, что красная стрелочка на сетчатке направлена вверх. Мозг вторично перевернёт её, и в результате объект при рассмотрении в микроскоп будет казаться перевёрнутым. Чтобы этого не происходило, в микроскопе используются промежуточные линзы, дополнительно переворачивающие изображение.
Увеличение микроскопа определяется точно так же, как и для лупы: \(\Gamma= l/l_{0}=\varphi /\varphi _{0}\). Здесь, как и выше, \(l\) и \(\varphi\) - размер изображения на сетчатке и угол зрения при рассматривании объекта в микроскоп, \(l_{0}\) и \(\varphi_{0}\) - те же величины при рассматривании объекта невооружённым глазом.
Имеем по-прежнему \(\varphi_{0}=h/d_{0}\), а угол \(\varphi\), как видно из рис. 3, равен:
\(\varphi =\frac{\displaystyle H}{\displaystyle f_{\displaystyle 2}}\).
Деля \(\varphi\) на \(\varphi_{0}\), получим для увеличения микроскопа:
\(\Gamma =\frac{\displaystyle Hd_{\displaystyle 0}}{\displaystyle hf_{\displaystyle 2}}\). (9)
Это, разумеется, не окончательная формула: в ней присутствуют \(h\) и \(H\) (величины, относящиеся к объекту), а хотелось бы видеть характеристики микроскопа. Ненужное нам отношение \(H/h\) мы устраним с помощью формулы линзы.
Для начала ещё раз посмотрим на рис. 3 и используем подобие прямоугольных треугольников с красными катетами \(h\) и \(H\):
\(\frac{\displaystyle H}{\displaystyle h}=\frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}\).
Здесь \(b=f_{1}+\delta \) - расстояние от изображения \(H\) до объектива, - a - расстояние от объекта h до объектива. Теперь привлекаем формулу линзы для объектива:
\(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle b}=\frac{\displaystyle 1}{f_{\displaystyle 1}}\),
из которой получаем:
\(\frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}=\frac{\displaystyle b - f_{\displaystyle 1}}{\displaystyle f_{\displaystyle 1}}\).
Итак,
\(\frac{\displaystyle H}{\displaystyle h}=\frac{\displaystyle b - f_{\displaystyle 1}}{\displaystyle f_{\displaystyle 1}}=\frac{\delta }{\displaystyle f_{\displaystyle 1}}\),
и это выражение мы подставляем в (9):
\(\Gamma =\frac{\displaystyle \delta d_{\displaystyle 0}}{\displaystyle f_{\displaystyle 1}\displaystyle f_{\displaystyle 2}}\). (10)
Вот это и есть окончательное выражение для увеличения, даваемого микроскопом. Например, если фокусное расстояние объектива равно \(f_{1}=1\) см, фокусное расстояние окуляра\(f_{2}=2\) , а оптическая длина тубуса \(\delta =20\) см, то согласно формуле (10)
\(\Gamma =\frac{\displaystyle 20\cdot25}{\displaystyle 1\cdot2}=250\) см.
Сравните это с увеличением одного только объектива, которое вычисляется по формуле (8):
\(\Gamma _{1}=\frac{\displaystyle d_{\displaystyle 0}}{\displaystyle f_{\displaystyle 1}}=\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 1}=25\) см.
Увеличение микроскопа в 10 раз больше!
Теперь мы переходим к объектам, которые достаточно крупны, но находятся слишком далеко от нас. Чтобы рассматривать их получше, применяются зрительные трубы - подзорные трубы, бинокли, телескопы и т. д.
Объективом зрительной трубы служит собирающая линза (или система линз) с достаточно большим фокусным расстоянием. А вот окуляром может быть как собирающая, так и рассеивающая линза. Соответственно имеются два вида зрительных труб:
-труба Кеплера - если окуляр является собирающей линзой;
-труба Галилея - если окуляр является рассеивающей линзой.
Рассмотрим подробнее, как работают эти зрительные трубы.
Ход лучей в трубе Кеплера изображён на рис. 4.
 |
| Рис. 4 |
Объектом служит далеко расположенная стрелка \(AB\), направленная вертикально вверх; она не показана на рисунке. Луч из точки \(A\) идёт вдоль главной оптической оси объектива и окуляра. Из точки \(B\) идут два луча, которые ввиду удалённости объекта можно считать параллельными.
В результате изображение \(A{}'B{}'\) нашего объекта, даваемое объективом, расположено в фокальной плоскости объектива и является действительным, перевёрнутым и уменьшенным. Размер изображения обозначим \(H\).
Невооружённым глазом объект виден под углом \(\varphi _{0}\). Согласно рис. 4:
\(\varphi _{0}=\frac{\displaystyle H}{\displaystyle f_{\displaystyle 1}}\), (11)
где \(f_{1}\) - фокусное расстояние объектива.
Изображение объекта мы видим в окуляр под углом \(\varphi \), который равен:
\(\varphi =\frac{\displaystyle H}{\displaystyle f_{\displaystyle 2}}\), (12)
где \(f_{2}\) - фокусное расстояние окуляра.
Увеличение зрительной трубы - это отношение угла зрения при наблюдении в трубу к углу зрения при наблюдении невооружённым глазом:
\(\Gamma =\frac{\displaystyle \varphi }{\displaystyle \varphi _{\displaystyle 0}}.\)
Согласно формулам (12) и (11) получаем:
\(\Gamma =\frac{\displaystyle f_{\displaystyle 1}}{\displaystyle f_{\displaystyle 2}}.\) (13)
Например, если фокусное расстояние объектива равно 1 м, а фокусное расстояние окуляра равно 2 см, то увеличение зрительной трубы окажется равным: \(\Gamma =100/2=50\).
Ход лучей в трубе Кеплера принципиально тот же, что и в микроскопе. Изображением объекта на сетчатке также будет стрелочка, направленная вверх, и поэтому в трубе Кеплера мы увидим объект перевёрнутым. Во избежании этого в пространстве между объективом и окуляром ставят специальные оборачивающие системы линз или призм, которые ещё раз переворачивают изображение.
Окуляром трубы Галилея служит рассеивающая линза; задняя фокальная плоскость объектива совпадает с задней фокальной плоскостью окуляра (рис. 5).
 |
| Рис. 5. |
Если бы окуляра не было, то изображение \(A{}'B{}'\) удалённой стрелки \(AB\) находилось бы в
фокальной плоскости объектива. На рисунке это изображение показано пунктиром - ведь в реальности его там нет!
А нет его там потому, что лучи от точки \(B\), которые после прохождения объектива стали сходящимися к точке \(B{}'\), не доходят до \(B{}'\) и попадают на окуляр. После окуляра они вновь становятся параллельными и поэтому воспринимаются глазом без напряжения. Но теперь мы видим изображение объекта под углом \(\varphi\), который больше угла зрения \(\varphi _{0}\) при рассматривании объекта невооружённым глазом.
Из рис. 5 имеем
\(\varphi =\frac{\displaystyle H}{\displaystyle f_{\displaystyle 2}}, \varphi _{0}=\frac{\displaystyle H}{\displaystyle f_{\displaystyle 2}}\),
и для увеличения трубы Галилея мы получаем ту же формулу (13), что и для трубы Кеплера:
\(\Gamma =\frac{\displaystyle \varphi }{\displaystyle \varphi _{\displaystyle 0}}=\frac{\displaystyle f_{\displaystyle 1}}{\displaystyle f_{\displaystyle 2}}.\)
Заметьте, что при том же увеличении труба Галилея меньше размером, чем труба Кеплера. Поэтому одно из основных применений трубы Галилея - театральные бинокли.
В отличие от микроскопа и трубы Кеплера, в трубе Галилея мы видим объекты неперевёрнутыми. Почему?
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
