Переменный ток. 2

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: переменный ток, вынужденные электромагнитные колебания, колебательный контур, резонанс.

Давайте начнём с одного математического приёма, чтобы не отвлекаться потом на его объяснение. Это — тригонометрический метод введения вспомогательного угла. Он наверняка вам известен, но всё же повторить его не помешает.

Речь идёт о преобразовании выражения \(a \sin \varphi + b \cos \varphi \). Вынесем за скобки «амплитудный множитель» \(\sqrt{a^2 + b^2}\):

\(a \sin \varphi + b \cos \varphi = \sqrt{a^2 + b^2} \left ( \frac{\displaystyle a}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \sin \varphi + \frac{\displaystyle b}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \cos \varphi \right ).\)

Зачем нужно такое вынесение за скобки? Оказывается, в скобках при синусе и косинусе образовались замечательные множители! Сумма квадратов этих множителей равна единице:

\(\left ( \frac{\displaystyle a}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \right )^2 + \left ( \frac{\displaystyle b}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \right )^2=1.\)

Значит, эти множители являются соответственно косинусом и синусом некоторого угла \(\alpha\):

\(\frac{\displaystyle a}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} =\cos \alpha, \ \ \frac{\displaystyle b}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} = \sin \alpha.\) (1)

В результате получаем:

\(a \sin \varphi + b \cos \varphi = \sqrt{a^2 + b^2}\left ( \cos \alpha \sin \varphi + \sin \alpha \cos \varphi \right ).\)

Остаётся заметить, что в скобках стоит синус суммы, так что мы приходим к окончательному выражению:

\(a \sin \varphi + b \cos \varphi = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left ( \varphi + \alpha \right ).\) (2)

При этом для «начальной фазы» \(\alpha\) имеем из (1) простую формулу:

\(tg \ \alpha = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a \vphantom{1^a}}.\) (3)

Теперь мы готовы рассмотреть вынужденные колебания, происходящие в колебательном контуре с активным сопротивлением. К источнику переменного напряжения \(U\) последовательно подключены: резистор сопротивлением \(R\), катушка индуктивности \(L\) и конденсатор ёмкости \(C\) (рис. 1).

Рис. 1. Колебательный контур с резистором

Так как элементы соединены последовательно, сила тока в них одинакова в любой момент времени (вспомните условие квазистационарности!). Поэтому нам будет удобно начать не с напряжения источника, как раньше, а с силы тока, и считать, что ток в цепи колеблется по закону синуса: \(I = I_0 \sin \omega t\).

А теперь вспоминаем материал предыдущего листка.

1. Пусть \(U_R\) — мгновенное значение напряжения на резисторе. Оно связано с силой тока обычным законом Ома:

\(U_R= IR = I_0 R \sin \omega t.\) (4)

2. Напряжение на конденсаторе \(U_C\) отстаёт по фазе от тока на \(\pi/2\); это значит, что фаза напряжения \(U_C\) равна \(\omega t - \pi/2\). Амплитуда напряжения \(U_C\) равна:

\(U_{Co} = I_0 X_C = \frac{\displaystyle I_0}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}}.\)

Таким образом,

\(U_C = U_{Co} \sin \left ( \omega t - \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \right )= -\frac{\displaystyle I_0}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \cos \omega t.\) (5)

3. Напряжение на катушке \(U_L\), наоборот, опережает по фазе силу тока на \(\pi/2\). Амплитуда:

\(U_{Lo} = I_0 X_L = I_0 \omega L.\)

В результате получаем:

\(U_L = U_{Lo} \sin \left ( \omega t + \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \right )= I_0 \omega L \cos \omega t.\) (6)

Напряжение источника равно сумме напряжений на резисторе, катушке и конденсаторе:

\(U = U_R + U_L + U_C.\)

Подставляя сюда выражения (4)–(6), получим:

\(U = I_0 R \sin \omega t + I_0 \omega L \cos \omega t - \frac{\displaystyle I_0}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \cos \omega t = I_0\left ( R \sin \omega t + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right ) \cos \omega t \right ).\) (7)

Вот теперь нам и понадобится метод вспомогательного угла. Выражение во внешних скобках имеет для этого подходящий вид: \(a \sin \omega t+b \cos \omega t\). Пользуясь выражениями (2) и (3), получим:

\(U = I_0\sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2} \sin\left ( \omega t + \alpha \right ),\) (8)

где

\(tg \ \alpha = \frac{\displaystyle \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}}}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}.\) (9)

Угол \(\alpha\) является сдвигом фаз между напряжением источника и силой тока в цепи: фаза напряжения больше фазы тока на величину \(\alpha\). Амплитуда напряжения:

\(U_0 = I_0\sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2}.\) (10)

Получив все эти результаты, мы их несколько переиначим и приведём в соответствие с тем, что было в предыдущем листке.

Начнём с напряжения источника. Предположим, как и ранее, что оно меняется по закону синуса:

\(U = U_0 \sin \omega t.\)

Как мы сейчас выяснили, фаза тока меньше фазы напряжения на величину \(\alpha\):

\(I = I_0 \sin(\omega t - \alpha).\)

При этом амплитуда силы тока находится из формулы (10):

\(I_0 = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle \sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2}\vphantom{1^a}}.\) (11)

Выражение (11) имеет вид закона Ома:

\(I_0 = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle X \vphantom{1^a}},\)

где

\(X = \sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2}.\) (12)

Величина \(X\) — это полное сопротивление цепи. Такое сопротивление оказывает наш колебательный контур переменному току.

Закон Ома в данном случае выполнен лишь для амплитудных значений тока и напряжения. Мгновенные значения \(I(t)\) и \(U(t)\) уже не будут пропорциональны друг другу — ведь между ними имеется сдвиг фаз, равный \(\alpha\).

Как видно из выражения (11), амплитуда силы тока в контуре зависит от частоты колебаний. Построим график этой зависимости — так называемую резонансную кривую (рис. 2).

Рис. 2. Резонансная кривая

При \(\omega \rightarrow 0\) имеем \(I_0 \rightarrow 0\). Математическая причина стремления тока к нулю — неограниченное возрастание ёмкостного сопротивления \(1/(\omega C)\), в результате чего полное сопротивление \(X\) также стремится к бесконечности.

Физическая причина очевидна: ток малой частоты — это почти постоянный ток, а для постоянного тока конденсатор является разрывом цепи.

При \(\omega \rightarrow \infty\) опять-таки имеем \(I_0 \rightarrow 0\): график асимптотически приближается к оси \(\omega\).

Теперь это происходит за счёт неограниченного роста индуктивного сопротивления \(\omega L\). Физическая причина также ясна: при быстром изменении тока в катушке возникает большая ЭДС самоиндукции, препятствующая его увеличению.

При некоторой частоте \(\omega_0\) амплитуда силы тока достигает максимума: наступает резонанс. Из (11) нетрудно видеть, что величина \(I_0\) принимает максимальное значение

\(I_{0max} = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle R \vphantom{1^a}},\) (13)

и происходит это при выполнении равенства

\(\omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} = 0.\)

Отсюда находим \(\omega_0\):

\(\omega_0 = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{LC} \vphantom{1^a}}.\)

Это хорошо знакомая нам частота собственных колебаний в контуре с нулевым активным сопротивлением. Она же, как видим, является резонансной частотой нашего контура.

Из (13) мы видим, что резонансное значение амплитуды тока \(I_{max}\) тем больше, чем меньше активное сопротивление \(R\). На рис. 3 представлены три резонансные кривые. Верхняя кривая отвечает достаточно малому сопротивлению \(R\), средняя кривая — большему сопротивлению, нижняя кривая — ещё большему сопротивлению.

Рис. 3. Резонансные кривые при различных \(R\)

Таким образом, резонансный пик тем острее, чем меньше активное сопротивление контура. При весьма большом активном сопротивлении (как это видно из нижней резонансной кривой) понятие резонанса фактически утрачивает смысл.

При резонансе в контуре происходят любопытные вещи.

1. Амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке равны друг другу. Действительно:

\(U_{C0} = I_0 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega_0 C \vphantom{1^a}} = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle R \vphantom{1^a}} \sqrt{\frac{\displaystyle L}{\displaystyle C \vphantom{1^a}}}; \ \ U_{L0} = I_0 \omega_0 L = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle R \vphantom{1^a}} \sqrt{\frac{\displaystyle L}{\displaystyle C \vphantom{1^a}}}.\)

При малых значениях \(R\) эти амплитуды могут значительно превосходить амплитуду \(U_0\) напряжения источника! Это, кстати, является наглядной демонстрацией одного важного факта:

Хотя сумма мгновенных значений напряжения на элементах контура равна мгновенному значению напряжению источника, сумма амплитуд напряжений на отдельных элементах может и не быть равной амплитуде напряжения источника.

2. Равен нулю сдвиг фаз между током в контуре и напряжением источника: \(\alpha = 0\). Математически мы это видим из соотношения (9): при \(\omega = \omega_0\) получается \(tg \alpha = 0\).

Физическую причину синфазности тока и напряжения понять также не сложно. Дело в том, что напряжения \(U_C\) и \(U_L\) на конденсаторе и катушке колеблются в противофазе (т. е. разность фаз между ними равна \(\pi\)), а их амплитуды при резонансе равны. Стало быть, они отличаются только знаком: \(U_L = -U_C\), и в сумме дают нуль. Получается, что \(U = U_R + U_L + U_C = U_R\) (словно бы в цепи имелся один только резистор), а колебания напряжения и тока на резисторе происходят синфазно.

Резонанс играет важнейшую роль в радиосвязи. Когда осуществляется приём радиосигнала, радиоволны различных частот возбуждают в контуре колебания. Но амплитуды колебаний будут малы для сигналов тех радиостанций, частоты которых отличаются от собственной частоты контура. Контур выделяет лишь ту радиоволну, частота которой равна его собственной частоте; именно эти колебания будут иметь значительную амплитуду.

Поэтому, когда мы настраиваем приёмник на какую-то радиостанцию, мы меняем собственную частоту контура (как правило, путём изменения ёмкости конденсатора), пока не наступит резонанс с искомой радиоволной.