Центр подготовки к ЕГЭ > Курсы подготовки к ЕГЭ по физике > Переменный ток. 2

Переменный ток. 2

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: переменный ток, вынужденные электромагнитные колебания, колебательный контур, резонанс.

Давайте начнём с одного математического приёма, чтобы не отвлекаться потом на его объяснение. Это — тригонометрический метод введения вспомогательного угла. Он наверняка вам известен, но всё же повторить его не помешает.

Речь идёт о преобразовании выражения $a \sin \varphi + b \cos \varphi$ . Вынесем за скобки «амплитудный множитель» $\sqrt{a^2 + b^2}$ :

$a \sin \varphi + b \cos \varphi = \sqrt{a^2 + b^2} \left ( \frac{\displaystyle a}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \sin \varphi + \frac{\displaystyle b}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \cos \varphi \right ).$

Зачем нужно такое вынесение за скобки? Оказывается, в скобках при синусе и косинусе образовались замечательные множители! Сумма квадратов этих множителей равна единице:

$\left ( \frac{\displaystyle a}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \right )^2 + \left ( \frac{\displaystyle b}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \right )^2=1.$

Значит, эти множители являются соответственно косинусом и синусом некоторого угла $\alpha$ :

$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} =\cos \alpha, \ \ \frac{\displaystyle b}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} = \sin \alpha.$ (1)

В результате получаем:

$a \sin \varphi + b \cos \varphi = \sqrt{a^2 + b^2}\left ( \cos \alpha \sin \varphi + \sin \alpha \cos \varphi \right ).$

Остаётся заметить, что в скобках стоит синус суммы, так что мы приходим к окончательному выражению:

$a \sin \varphi + b \cos \varphi = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left ( \varphi + \alpha \right ).$ (2)

При этом для «начальной фазы» $\alpha$ имеем из (1) простую формулу:

$tg \ \alpha = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a \vphantom{1^a}}.$ (3)

Теперь мы готовы рассмотреть вынужденные колебания, происходящие в колебательном контуре с активным сопротивлением. К источнику переменного напряжения $U$ последовательно подключены: резистор сопротивлением $R$ , катушка индуктивности $L$ и конденсатор ёмкости $C$ (рис. 1).

Рис. 1. Колебательный контур с резистором

Так как элементы соединены последовательно, сила тока в них одинакова в любой момент времени (вспомните условие квазистационарности!). Поэтому нам будет удобно начать не с напряжения источника, как раньше, а с силы тока, и считать, что ток в цепи колеблется по закону синуса: $I = I_0 \sin \omega t$ .

А теперь вспоминаем материал предыдущего листка.

1. Пусть $U_R$ — мгновенное значение напряжения на резисторе. Оно связано с силой тока обычным законом Ома:

$U_R= IR = I_0 R \sin \omega t.$ (4)

2. Напряжение на конденсаторе $U_C$ отстаёт по фазе от тока на $\pi/2$ ; это значит, что фаза напряжения $U_C$ равна $\omega t - \pi/2$ . Амплитуда напряжения $U_C$ равна:

$U_{Co} = I_0 X_C = \frac{\displaystyle I_0}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}}.$

Таким образом,

$U_C = U_{Co} \sin \left ( \omega t - \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \right )= -\frac{\displaystyle I_0}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \cos \omega t.$ (5)

3. Напряжение на катушке $U_L$ , наоборот, опережает по фазе силу тока на $\pi/2$ . Амплитуда:

$U_{Lo} = I_0 X_L = I_0 \omega L.$

В результате получаем:

$U_L = U_{Lo} \sin \left ( \omega t + \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \right )= I_0 \omega L \cos \omega t.$ (6)

Напряжение источника равно сумме напряжений на резисторе, катушке и конденсаторе:

$U = U_R + U_L + U_C.$

Подставляя сюда выражения (4)–(6), получим:

$U = I_0 R \sin \omega t + I_0 \omega L \cos \omega t - \frac{\displaystyle I_0}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \cos \omega t = I_0\left ( R \sin \omega t + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right ) \cos \omega t \right ).$ (7)

Вот теперь нам и понадобится метод вспомогательного угла. Выражение во внешних скобках имеет для этого подходящий вид: $a \sin \omega t+b \cos \omega t$ . Пользуясь выражениями (2) и (3), получим:

$U = I_0\sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2} \sin\left ( \omega t + \alpha \right ),$ (8)

где

$tg \ \alpha = \frac{\displaystyle \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}}}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}.$ (9)

Угол $\alpha$ является сдвигом фаз между напряжением источника и силой тока в цепи: фаза напряжения больше фазы тока на величину $\alpha$ . Амплитуда напряжения:

$U_0 = I_0\sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2}.$ (10)

Получив все эти результаты, мы их несколько переиначим и приведём в соответствие с тем, что было в предыдущем листке.

Начнём с напряжения источника. Предположим, как и ранее, что оно меняется по закону синуса:

$U = U_0 \sin \omega t.$

Как мы сейчас выяснили, фаза тока меньше фазы напряжения на величину $\alpha$ :

$I = I_0 \sin(\omega t - \alpha).$

При этом амплитуда силы тока находится из формулы (10):

$I_0 = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle \sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2}\vphantom{1^a}}.$ (11)

Выражение (11) имеет вид закона Ома:

$I_0 = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle X \vphantom{1^a}},$

где

$X = \sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2}.$ (12)

Величина $X$ — это полное сопротивление цепи. Такое сопротивление оказывает наш колебательный контур переменному току.

Закон Ома в данном случае выполнен лишь для амплитудных значений тока и напряжения. Мгновенные значения $I(t)$ и $U(t)$ уже не будут пропорциональны друг другу — ведь между ними имеется сдвиг фаз, равный $\alpha$ .

Резонанс в колебательном контуре

Как видно из выражения (11), амплитуда силы тока в контуре зависит от частоты колебаний. Построим график этой зависимости — так называемую резонансную кривую (рис. 2).

Рис. 2. Резонансная кривая

При $\omega \rightarrow 0$ имеем $I_0 \rightarrow 0$ . Математическая причина стремления тока к нулю — неограниченное возрастание ёмкостного сопротивления $1/(\omega C)$ , в результате чего полное сопротивление $X$ также стремится к бесконечности.

Физическая причина очевидна: ток малой частоты — это почти постоянный ток, а для постоянного тока конденсатор является разрывом цепи.

При $\omega \rightarrow \infty$ опять-таки имеем $I_0 \rightarrow 0$ : график асимптотически приближается к оси $\omega$ .

Теперь это происходит за счёт неограниченного роста индуктивного сопротивления $\omega L$ . Физическая причина также ясна: при быстром изменении тока в катушке возникает большая ЭДС самоиндукции, препятствующая его увеличению.

При некоторой частоте $\omega_0$ амплитуда силы тока достигает максимума: наступает резонанс. Из (11) нетрудно видеть, что величина $I_0$ принимает максимальное значение

$I_{0max} = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle R \vphantom{1^a}},$ (13)

и происходит это при выполнении равенства

$\omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} = 0.$

Отсюда находим $\omega_0$ :

$\omega_0 = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{LC} \vphantom{1^a}}.$

Это хорошо знакомая нам частота собственных колебаний в контуре с нулевым активным сопротивлением. Она же, как видим, является резонансной частотой нашего контура.

Из (13) мы видим, что резонансное значение амплитуды тока $I_{max}$ тем больше, чем меньше активное сопротивление $R$ . На рис. 3 представлены три резонансные кривые. Верхняя кривая отвечает достаточно малому сопротивлению $R$ , средняя кривая — большему сопротивлению, нижняя кривая — ещё большему сопротивлению.

Рис. 3. Резонансные кривые при различных $R$

Таким образом, резонансный пик тем острее, чем меньше активное сопротивление контура. При весьма большом активном сопротивлении (как это видно из нижней резонансной кривой) понятие резонанса фактически утрачивает смысл.

При резонансе в контуре происходят любопытные вещи.

1. Амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке равны друг другу. Действительно:

$U_{C0} = I_0 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega_0 C \vphantom{1^a}} = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle R \vphantom{1^a}} \sqrt{\frac{\displaystyle L}{\displaystyle C \vphantom{1^a}}}; \ \ U_{L0} = I_0 \omega_0 L = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle R \vphantom{1^a}} \sqrt{\frac{\displaystyle L}{\displaystyle C \vphantom{1^a}}}.$

При малых значениях $R$ эти амплитуды могут значительно превосходить амплитуду $U_0$ напряжения источника! Это, кстати, является наглядной демонстрацией одного важного факта:

Хотя сумма мгновенных значений напряжения на элементах контура равна мгновенному значению напряжению источника, сумма амплитуд напряжений на отдельных элементах может и не быть равной амплитуде напряжения источника.

2. Равен нулю сдвиг фаз между током в контуре и напряжением источника: $\alpha = 0$ . Математически мы это видим из соотношения (9): при $\omega = \omega_0$ получается $tg \alpha = 0$ .

Физическую причину синфазности тока и напряжения понять также не сложно. Дело в том, что напряжения $U_C$ и $U_L$ на конденсаторе и катушке колеблются в противофазе (т. е. разность фаз между ними равна $\pi$ ), а их амплитуды при резонансе равны. Стало быть, они отличаются только знаком: $U_L = -U_C$ , и в сумме дают нуль. Получается, что $U = U_R + U_L + U_C = U_R$ (словно бы в цепи имелся один только резистор), а колебания напряжения и тока на резисторе происходят синфазно.

Резонанс играет важнейшую роль в радиосвязи. Когда осуществляется приём радиосигнала, радиоволны различных частот возбуждают в контуре колебания. Но амплитуды колебаний будут малы для сигналов тех радиостанций, частоты которых отличаются от собственной частоты контура. Контур выделяет лишь ту радиоволну, частота которой равна его собственной частоте; именно эти колебания будут иметь значительную амплитуду.

Поэтому, когда мы настраиваем приёмник на какую-то радиостанцию, мы меняем собственную частоту контура (как правило, путём изменения ёмкости конденсатора), пока не наступит резонанс с искомой радиоволной.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Переменный ток. 2» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Переменный ток. 2

Темы кодификатора ЕГЭ: переменный ток, вынужденные электромагнитные колебания, колебательный контур, резонанс.

Резонанс в колебательном контуре

Это полезно