Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное падение.
Равноускоренное движение - это движение с постоянным вектором ускорения \( \vec a\). Таким образом, при равноускоренном движении остаются неизменными направление и абсолютная величина ускорения.
Давайте ещё раз потренируемся в элементарном интегрировании. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:
\(\frac{\displaystyle d\vec{v}}{\displaystyle dt}=\vec{a}\). (1)
В нашем случае имеем \( \vec a = const\). Что надо продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор \( \vec a\)? Разумеется, функцию \( \vec a t\). Но не только: к ней можно добавить ещё произвольный постоянный вектор \( \vec c\) (ведь производная постоянного вектора равна нулю). Таким образом,
\(\vec{v}=\vec{c} + \vec{a}t\). (2)
Каков смысл константы \( \vec c\)? В начальный момент времени \(t=0\) скорость равна своему начальному значению: \( \vec v=\vec v_{0}\). Поэтому, полагая \(t=0\) в формуле (2), получим:
\( \vec v_{0}=\vec c\).
Итак, константа \( \vec c\) - это начальная скорость тела. Теперь соотношение (2) принимает свой окончательный вид:
\( \vec v=\vec v_{0}+\vec {a}t\). (3)
В конкретных задачах мы выбираем систему координат и переходим к проекциям на координатные оси. Часто хватает двух осей \(OX\) и \(OY\) прямоугольной декартовой системы координат, и векторная формула (3) даёт два скалярных равенства:
\( v_{\displaystyle x}=v{\displaystyle 0x}+a_{\displaystyle x}t\), (4)
\( v_{\displaystyle y}=v{\displaystyle 0y}+a_{\displaystyle y}t\). (5)
Формула для третьей компоненты скорости,\( v_{\displaystyle z}\) если она необходима, выглядит аналогично.)
\(\frac{\displaystyle d\vec{r}}{\displaystyle dt}=\vec{v}\)
Подставляем сюда выражение для скорости, даваемое формулой (3):
\(\frac{\displaystyle d\vec{r}}{\displaystyle dt}=\vec v_{0}+\vec {a}t\) (6)
Сейчас нам предстоит проинтегрировать равенство (6). Это несложно. Чтобы получить \(\vec v_{0}\), надо продифференцировать функцию \(\vec v_{0}t\). Чтобы получить \(\vec {a} t\), нужно продифференцировать \(\vec {a} t^{2} /2\). Не забудем добавить и произвольную константу \( \vec c\):
\(\vec r=\vec c+\vec v_{0} t+\frac{\displaystyle \vec a t^{2}}{\displaystyle 2}\).
Ясно, что \( \vec c\) - это начальное значение \( \vec r_{0}\) радиус-вектора \( \vec r\) в момент времени \(t=0\). В результате получаем искомый закон равноускоренного движения:
\(\vec r=\vec r_{0}+\vec v_{0} t+\frac{\displaystyle \vec a t^{2}}{\displaystyle 2}\). (7)
Переходя к проекциям на координатные оси, вместо одного векторного равенства (7) получаем три скалярных равенства:
\(x=x_{0}+ v_{\displaystyle 0x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2}\). (8)
\(y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}\). (9)
\(z=z_{0}+ v_{\displaystyle 0z} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle z} t^{2}}{\displaystyle 2}\). (10)
Формулы (8) - (10) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.
Снова вернёмся к закону движения (7). Заметим, что \( \vec r - \vec r_{0}=\vec s\) - перемещение тела. Тогда
получаем зависимость перемещения от времени:
\(\vec s= \vec v_{0} t+\frac{\displaystyle \vec a t^{2}}{\displaystyle 2}\).
\( v_{\displaystyle x}=v_{\displaystyle 0x}+a_{\displaystyle x}t\),
\(x=x_{0}+ v_{0 \displaystyle x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2}\),
\(s_{x}= v_{0x} t+\frac{\displaystyle a_{x} t^{2}}{\displaystyle 2}\),
где \(s_{x}= x-x_{0}\) - проекция перемещения на ось \(OX\).
Но очень часто помогает ещё одна формула, являющаяся их следствием. Выразим из первой формулы время:
\(t=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}}{\displaystyle a_{\displaystyle x}}\)
и подставим в формулу для перемещения:
\(s_{x}= v_{0x} \frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}}{\displaystyle a_{\displaystyle x}}+\frac{\displaystyle a_{x}}{2} (\frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}}{\displaystyle a_{\displaystyle x}})^{2} \).
После алгебраических преобразований (проделайте их обязательно!) придём к соотношению:
\(s_{x}=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}^{\displaystyle 2}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2a_{\displaystyle x}}\).
Эта формула не содержит времени \(t\) и позволяет быстрее приходить к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.
Свободное падение тела, независимо от его массы, происходит с постоянным ускорением свободного падения \(\vec g\), направленным вертикально вниз. Почти во всех задачах при расчётах полагают \(g=10\) м/с\(^{2}\).
Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные нами формулы для равноускоренного движения.
Задача. Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи \(h=2\) км.
Решение. Направим ось \(OY\) вертикально вниз, расположив начало отсчёта в точке отрыва капли. Воспользуемся формулой
\(s_{y}=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle y}^{\displaystyle 2}-\displaystyle v_{\displaystyle 0y}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2a_{\displaystyle y}}\).
Имеем: \(s_{y}=h, v_{y}=v\) - искомая скорость приземления, \(v_{0y}=0, a_{y}=g\). Получаем: \(h^{2}=\frac{v^{2}}{2g}\), откуда \(v=\sqrt{2gh}\). Вычисляем: \(v=\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2000}=200\)м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.
На самом деле капли дождя падают со скоростью порядка нескольких метров в секунду. Почему такое расхождение? Сопротивление воздуха!
Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью \(v_{0}=30\) м/с. Найти его скорость через \(t=5\)c.
Решение. Направим ось \(OY\) вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу
\( v_{\displaystyle y}=v_{\displaystyle 0y}+a_{\displaystyle y}t\).
Здесь \(v_{\displaystyle 0y}=v_{0}, a_{y}=-g\), так что \( v_{\displaystyle y}=v_{\displaystyle 0}-gt\). Вычисляем: \( v_{\displaystyle y}=30-10 \cdot 5=-20\)м/с. Значит, скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.
Задача. С балкона, находящегося на высоте \(h=15\)м, бросили вертикально вверх камень со скоростью \(v_{0}=10\) м/с. Через какое время камень упадёт на землю?
Решение. Направим ось \(OY\) вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу
\(y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}\).
Имеем: \(y=0, y_{0} = h, v_{0y}=v_{0}, a_{y}=-g, \) так что \(0=h+v_{0}t-\frac{\displaystyle g t^{2}}{\displaystyle 2}=15+10t-5t^{2}\), или \( t^{2}-2t-3=0\). Решая квадратное уравнение, получим \(t=3\) c.
Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью \(v_{0}\) с высоты \(h\). Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.
Выберем систему координат \(OXY\) так, как показано на рис. 1.
 |
| Рис. 1. Горизонтальный бросок |
Используем формулы:
\(x=x_{0}+ v_{\displaystyle 0x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2}\)
\(y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}\)
В нашем случае \(x_{0} = 0, v_{0x}=v_{0}, a_{x}=0, y_{0} = h, v_{0y}=0, a_{y}=-g \). Получаем:
\(x=v_{0}t, y=h-\frac{\displaystyle g t^{2}}{\displaystyle 2}\). (11)
Время полёта \(T\) найдём из условия, что в момент падения координата тела \(y\) обращается в нуль:
\(y(T)=0\Rightarrow h-\frac{\displaystyle gT^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2}=0\Rightarrow T=\sqrt{\frac{\displaystyle 2h}{\displaystyle g}}\).
Дальность полёта \(L\) - это значение координаты \(x\) в момент времени \(T\):
\(L=x(T)=v_{0}T=v_{0} \sqrt{\frac{\displaystyle 2h}{\displaystyle g}}\).
Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (11). Выражаем \(t\) из первого уравнения и подставляем во второе:
\(t=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle v_{\displaystyle 0}}\Rightarrow y=h-\frac{\displaystyle g}{\displaystyle 2}(\frac{\displaystyle x}{\displaystyle v_{\displaystyle 0}})^{\displaystyle 2}=\displaystyle h-\frac{\displaystyle gx^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2v^{\displaystyle 2}_{\displaystyle 0}}\).
Получили зависимость \(y\) от \(x\), которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.
Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью \(v_{0}\) , направленной под углом \(\alpha\) к горизонту. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.
Выберем систему координат \(OXY\) так, как показано на рис. 2.
 |
| Рис. 2. Бросок под углом к горизонту |
Начинаем с уравнений:
\(x=x_{0}+ v_{\displaystyle 0x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2}\),
\(y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}\).
В нашем случае \(x_{0} =y_{0}=0, v_{0x}=v_{0}cos \alpha, v_{0y}=v_{0}sin \alpha , a_{x}=0, a_{y}=-g\). Получаем:
\(x=(v_{0}cos \alpha )t, y=(v_{0}sin \alpha)t- \frac{\displaystyle g t^{2}}{\displaystyle 2}\).
Дальше действуем так же, как и в случае горизонтального броска. В результате приходим к соотношениям:
\(T=\frac{\displaystyle 2v_{\displaystyle 0}sin\alpha }{\displaystyle g}\),
\(L=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 2}sin2\alpha }{\displaystyle g}\),
\(y=x tg\alpha -\frac{\displaystyle gx^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2v^{\displaystyle 2}_{0}cos^{\displaystyle 2}\alpha }\).
(Обязательно проделайте эти вычисления самостоятельно!) Как видим, зависимость \(y\) от \(x\) снова является уравнением параболы.Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется формулой:
\(H=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 2}sin^{2} \alpha }{\displaystyle 2g}\).
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
