Равноускоренное движение.
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ
Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное падение.
Равноускоренное движение - это движение с постоянным вектором ускорения
. Таким образом, при равноускоренном движении остаются неизменными направление и абсолютная величина ускорения.
к оглавлению ▴
Зависимость скорости от времени.
При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос зависимости скорости от времени не возникал: скорость была постоянна в процессе движения. Однако при равноускоренном движении скорость меняется с течением времени, и эту зависимость нам предстоит выяснить.
Давайте ещё раз потренируемся в элементарном интегрировании. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:
. (1)
В нашем случае имеем
. Что надо продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор
? Разумеется, функцию
. Но не только: к ней можно добавить ещё произвольный постоянный вектор
(ведь производная постоянного вектора равна нулю). Таким образом,
. (2)
Каков смысл константы
? В начальный момент времени
скорость равна своему начальному значению:
. Поэтому, полагая
в формуле (2), получим:
.
Итак, константа
- это начальная скорость тела. Теперь соотношение (2) принимает свой окончательный вид:
. (3)
В конкретных задачах мы выбираем систему координат и переходим к проекциям на координатные оси. Часто хватает двух осей
и
прямоугольной декартовой системы координат, и векторная формула (3) даёт два скалярных равенства:
, (4)
. (5)
Формула для третьей компоненты скорости,
если она необходима, выглядит аналогично.)
к оглавлению ▴
Закон движения.
Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени. Вспоминаем, что производная радиус-вектора есть скорость тела:

Подставляем сюда выражение для скорости, даваемое формулой (3):
(6)
Сейчас нам предстоит проинтегрировать равенство (6). Это несложно. Чтобы получить
, надо продифференцировать функцию
. Чтобы получить
, нужно продифференцировать
. Не забудем добавить и произвольную константу
:
.
Ясно, что
- это начальное значение
радиус-вектора
в момент времени
. В результате получаем искомый закон равноускоренного движения:
. (7)
Переходя к проекциям на координатные оси, вместо одного векторного равенства (7) получаем три скалярных равенства:
. (8)
. (9)
. (10)
Формулы (8) - (10) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.
Снова вернёмся к закону движения (7). Заметим, что
- перемещение тела. Тогда
получаем зависимость перемещения от времени:
.
к оглавлению ▴
Прямолинейное равноускоренное движение.
Если равноускоренное движение является прямолинейным, то удобно выбрать координатную ось вдоль прямой, по которой движется тело. Пусть, например, это будет ось

. Тогда для решения задач нам достаточно будет трёх формул:
,
,
,
где
- проекция перемещения на ось
.
Но очень часто помогает ещё одна формула, являющаяся их следствием. Выразим из первой формулы время:

и подставим в формулу для перемещения:
.
После алгебраических преобразований (проделайте их обязательно!) придём к соотношению:
.
Эта формула не содержит времени
и позволяет быстрее приходить к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.
к оглавлению ▴
Свободное падение.
Важным частным случаем равноускоренного движения является свободное падение. Так называется движение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.
Свободное падение тела, независимо от его массы, происходит с постоянным ускорением свободного падения
, направленным вертикально вниз. Почти во всех задачах при расчётах полагают
м/с
.
Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные нами формулы для равноускоренного движения.
Задача. Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи
км.
Решение. Направим ось
вертикально вниз, расположив начало отсчёта в точке отрыва капли. Воспользуемся формулой
.
Имеем:
- искомая скорость приземления,
. Получаем:
, откуда
. Вычисляем:
м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.
На самом деле капли дождя падают со скоростью порядка нескольких метров в секунду. Почему такое расхождение? Сопротивление воздуха!
Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью
м/с. Найти его скорость через
c.
Решение. Направим ось
вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу
.
Здесь
, так что
. Вычисляем:
м/с. Значит, скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.
Задача. С балкона, находящегося на высоте
м, бросили вертикально вверх камень со скоростью
м/с. Через какое время камень упадёт на землю?
Решение. Направим ось
вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу
.
Имеем:
так что
, или
. Решая квадратное уравнение, получим
c.
к оглавлению ▴
Горизонтальный бросок.
Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.
Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью
с высоты
. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.
Выберем систему координат
так, как показано на рис. 1.
 |
Рис. 1. Горизонтальный бросок |
Используем формулы:


В нашем случае
. Получаем:
. (11)
Время полёта
найдём из условия, что в момент падения координата тела
обращается в нуль:
.
Дальность полёта
- это значение координаты
в момент времени
:
.
Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (11). Выражаем
из первого уравнения и подставляем во второе:
.
Получили зависимость
от
, которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.
к оглавлению ▴
Бросок под углом к горизонту.
Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полёт тела, брошенного под углом к горизонту.
Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью
, направленной под углом
к горизонту. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.
Выберем систему координат
так, как показано на рис. 2.
 |
Рис. 2. Бросок под углом к горизонту |
Начинаем с уравнений:
,
.
В нашем случае
. Получаем:
.
Дальше действуем так же, как и в случае горизонтального броска. В результате приходим к соотношениям:
,
,
.
(Обязательно проделайте эти вычисления самостоятельно!) Как видим, зависимость
от
снова является уравнением параболы.Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется формулой:
.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Равноускоренное движение.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
04.09.2023