Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Равноускоренное движение.

Равноускоренное движение.

Оглавление:

Зависимость скорости от времени.
Закон движения.
Прямолинейное равноускоренное движение.
Свободное падение.
Горизонтальный бросок.
Бросок под углом к горизонту.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное падение.

Равноускоренное движение - это движение с постоянным вектором ускорения $\vec a$ . Таким образом, при равноускоренном движении остаются неизменными направление и абсолютная величина ускорения.

к оглавлению ▴

Зависимость скорости от времени.

При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос зависимости скорости от времени не возникал: скорость была постоянна в процессе движения. Однако при равноускоренном движении скорость меняется с течением времени, и эту зависимость нам предстоит выяснить.

Давайте ещё раз потренируемся в элементарном интегрировании. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:

$\frac{\displaystyle d\vec{v}}{\displaystyle dt}=\vec{a}$ . (1)

В нашем случае имеем $\vec a = const$ . Что надо продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор $\vec a$ ? Разумеется, функцию $\vec a t$ . Но не только: к ней можно добавить ещё произвольный постоянный вектор $\vec c$ (ведь производная постоянного вектора равна нулю). Таким образом,

$\vec{v}=\vec{c} + \vec{a}t$ . (2)

Каков смысл константы $\vec c$ ? В начальный момент времени $t=0$ скорость равна своему начальному значению: $\vec v=\vec v_{0}$ . Поэтому, полагая $t=0$ в формуле (2), получим:

$\vec v_{0}=\vec c$ .

Итак, константа $\vec c$ - это начальная скорость тела. Теперь соотношение (2) принимает свой окончательный вид:

$\vec v=\vec v_{0}+\vec {a}t$ . (3)

В конкретных задачах мы выбираем систему координат и переходим к проекциям на координатные оси. Часто хватает двух осей $OX$ и $OY$ прямоугольной декартовой системы координат, и векторная формула (3) даёт два скалярных равенства:

$v_{\displaystyle x}=v{\displaystyle 0x}+a_{\displaystyle x}t$ , (4)

$v_{\displaystyle y}=v{\displaystyle 0y}+a_{\displaystyle y}t$ . (5)

Формула для третьей компоненты скорости, $v_{\displaystyle z}$ если она необходима, выглядит аналогично.)

к оглавлению ▴

Закон движения.

Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени. Вспоминаем, что производная радиус-вектора есть скорость тела:

$\frac{\displaystyle d\vec{r}}{\displaystyle dt}=\vec{v}$

Подставляем сюда выражение для скорости, даваемое формулой (3):

$\frac{\displaystyle d\vec{r}}{\displaystyle dt}=\vec v_{0}+\vec {a}t$ (6)

Сейчас нам предстоит проинтегрировать равенство (6). Это несложно. Чтобы получить $\vec v_{0}$ , надо продифференцировать функцию $\vec v_{0}t$ . Чтобы получить $\vec {a} t$ , нужно продифференцировать $\vec {a} t^{2} /2$ . Не забудем добавить и произвольную константу $\vec c$ :

$\vec r=\vec c+\vec v_{0} t+\frac{\displaystyle \vec a t^{2}}{\displaystyle 2}$ .

Ясно, что $\vec c$ - это начальное значение $\vec r_{0}$ радиус-вектора $\vec r$ в момент времени $t=0$ . В результате получаем искомый закон равноускоренного движения:

$\vec r=\vec r_{0}+\vec v_{0} t+\frac{\displaystyle \vec a t^{2}}{\displaystyle 2}$ . (7)

Переходя к проекциям на координатные оси, вместо одного векторного равенства (7) получаем три скалярных равенства:

$x=x_{0}+ v_{\displaystyle 0x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2}$ . (8)

$y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}$ . (9)

$z=z_{0}+ v_{\displaystyle 0z} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle z} t^{2}}{\displaystyle 2}$ . (10)

Формулы (8) - (10) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.

Снова вернёмся к закону движения (7). Заметим, что $\vec r - \vec r_{0}=\vec s$ - перемещение тела. Тогда
получаем зависимость перемещения от времени:

$\vec s= \vec v_{0} t+\frac{\displaystyle \vec a t^{2}}{\displaystyle 2}$ .

к оглавлению ▴

Прямолинейное равноускоренное движение.

Если равноускоренное движение является прямолинейным, то удобно выбрать координатную ось вдоль прямой, по которой движется тело. Пусть, например, это будет ось $OX$ . Тогда для решения задач нам достаточно будет трёх формул:

$v_{\displaystyle x}=v_{\displaystyle 0x}+a_{\displaystyle x}t$ ,

$x=x_{0}+ v_{0 \displaystyle x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2}$ ,

$s_{x}= v_{0x} t+\frac{\displaystyle a_{x} t^{2}}{\displaystyle 2}$ ,

где $s_{x}= x-x_{0}$ - проекция перемещения на ось $OX$ .

Но очень часто помогает ещё одна формула, являющаяся их следствием. Выразим из первой формулы время:

$t=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}}{\displaystyle a_{\displaystyle x}}$

и подставим в формулу для перемещения:

$s_{x}= v_{0x} \frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}}{\displaystyle a_{\displaystyle x}}+\frac{\displaystyle a_{x}}{2} (\frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}}{\displaystyle a_{\displaystyle x}})^{2}$ .

После алгебраических преобразований (проделайте их обязательно!) придём к соотношению:

$s_{x}=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}^{\displaystyle 2}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2a_{\displaystyle x}}$ .

Эта формула не содержит времени $t$ и позволяет быстрее приходить к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.

к оглавлению ▴

Свободное падение.

Важным частным случаем равноускоренного движения является свободное падение. Так называется движение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.

Свободное падение тела, независимо от его массы, происходит с постоянным ускорением свободного падения $\vec g$ , направленным вертикально вниз. Почти во всех задачах при расчётах полагают $g=10$ м/с $^{2}$ .

Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные нами формулы для равноускоренного движения.

Задача. Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи $h=2$ км.

Решение. Направим ось $OY$ вертикально вниз, расположив начало отсчёта в точке отрыва капли. Воспользуемся формулой

$s_{y}=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle y}^{\displaystyle 2}-\displaystyle v_{\displaystyle 0y}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2a_{\displaystyle y}}$ .

Имеем: $s_{y}=h, v_{y}=v$ - искомая скорость приземления, $v_{0y}=0, a_{y}=g$ . Получаем: $h^{2}=\frac{v^{2}}{2g}$ , откуда $v=\sqrt{2gh}$ . Вычисляем: $v=\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2000}=200$ м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.

На самом деле капли дождя падают со скоростью порядка нескольких метров в секунду. Почему такое расхождение? Сопротивление воздуха!

Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью $v_{0}=30$ м/с. Найти его скорость через $t=5$ c.

Решение. Направим ось $OY$ вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу

$v_{\displaystyle y}=v_{\displaystyle 0y}+a_{\displaystyle y}t$ .

Здесь $v_{\displaystyle 0y}=v_{0}, a_{y}=-g$ , так что $v_{\displaystyle y}=v_{\displaystyle 0}-gt$ . Вычисляем: $v_{\displaystyle y}=30-10 \cdot 5=-20$ м/с. Значит, скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.

Задача. С балкона, находящегося на высоте $h=15$ м, бросили вертикально вверх камень со скоростью $v_{0}=10$ м/с. Через какое время камень упадёт на землю?

$y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}$ .

Имеем: $y=0, y_{0} = h, v_{0y}=v_{0}, a_{y}=-g,$ так что $0=h+v_{0}t-\frac{\displaystyle g t^{2}}{\displaystyle 2}=15+10t-5t^{2}$ , или $t^{2}-2t-3=0$ . Решая квадратное уравнение, получим $t=3$ c.

к оглавлению ▴

Горизонтальный бросок.

Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.

Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью $v_{0}$ с высоты $h$ . Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.

Выберем систему координат $OXY$ так, как показано на рис. 1.

Рис. 1. Горизонтальный бросок

Используем формулы:

$x=x_{0}+ v_{\displaystyle 0x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2}$

$y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}$

В нашем случае $x_{0} = 0, v_{0x}=v_{0}, a_{x}=0, y_{0} = h, v_{0y}=0, a_{y}=-g$ . Получаем:

$x=v_{0}t, y=h-\frac{\displaystyle g t^{2}}{\displaystyle 2}$ . (11)

Время полёта $T$ найдём из условия, что в момент падения координата тела $y$ обращается в нуль:

$y(T)=0\Rightarrow h-\frac{\displaystyle gT^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2}=0\Rightarrow T=\sqrt{\frac{\displaystyle 2h}{\displaystyle g}}$ .

Дальность полёта $L$ - это значение координаты $x$ в момент времени $T$ :

$L=x(T)=v_{0}T=v_{0} \sqrt{\frac{\displaystyle 2h}{\displaystyle g}}$ .

Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (11). Выражаем $t$ из первого уравнения и подставляем во второе:

$t=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle v_{\displaystyle 0}}\Rightarrow y=h-\frac{\displaystyle g}{\displaystyle 2}(\frac{\displaystyle x}{\displaystyle v_{\displaystyle 0}})^{\displaystyle 2}=\displaystyle h-\frac{\displaystyle gx^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2v^{\displaystyle 2}_{\displaystyle 0}}$ .

Получили зависимость $y$ от $x$ , которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.

к оглавлению ▴

Бросок под углом к горизонту.

Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полёт тела, брошенного под углом к горизонту.

Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью $v_{0}$ , направленной под углом $\alpha$ к горизонту. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.

Выберем систему координат $OXY$ так, как показано на рис. 2.

Рис. 2. Бросок под углом к горизонту

Начинаем с уравнений:

$x=x_{0}+ v_{\displaystyle 0x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2}$ ,

$y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}$ .

В нашем случае $x_{0} =y_{0}=0, v_{0x}=v_{0}cos \alpha, v_{0y}=v_{0}sin \alpha , a_{x}=0, a_{y}=-g$ . Получаем:

$x=(v_{0}cos \alpha )t, y=(v_{0}sin \alpha)t- \frac{\displaystyle g t^{2}}{\displaystyle 2}$ .

Дальше действуем так же, как и в случае горизонтального броска. В результате приходим к соотношениям:

$T=\frac{\displaystyle 2v_{\displaystyle 0}sin\alpha }{\displaystyle g}$ ,

$L=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 2}sin2\alpha }{\displaystyle g}$ ,

$y=x tg\alpha -\frac{\displaystyle gx^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2v^{\displaystyle 2}_{0}cos^{\displaystyle 2}\alpha }$ .

(Обязательно проделайте эти вычисления самостоятельно!) Как видим, зависимость $y$ от $x$ снова является уравнением параболы.Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется формулой:

$H=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 2}sin^{2} \alpha }{\displaystyle 2g}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Равноускоренное движение.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Равноускоренное движение.

Зависимость скорости от времени.

Закон движения.

Прямолинейное равноускоренное движение.

Свободное падение.

Горизонтальный бросок.

Бросок под углом к горизонту.

Это полезно