Slider

Релятивистская динамика

 


Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: полная энергия, связь массы и энергии, энергия покоя.

В классической динамике мы начали с законов Ньютона, потом перешли к импульсу, а после него — к энергии. Здесь мы ради простоты изложения поступим ровно наоборот: начнём с энергии, затем перейдём к импульсу и закончим релятивистским уравнением движения — модификацией второго закона Ньютона для теории относительности.

Релятивистская энергия

 


Предположим, что изолированное тело массы m покоится в данной системе отсчёта. Одно из самых впечатляющих достижений теории относительности — это знаменитая формула Эйнштейна:

E=mc^{2} (1)

Здесь E — энергия тела, c — скорость света в вакууме. Поскольку тело покоится, энергия E, вычиляемая по формуле (1), называется энергией покоя.

Формула (1) утверждает, что каждое тело само по себе обладает энергией — просто потому, что оно существует в природе. Образно говоря, природа затратила определённые усилия на то, чтобы «собрать» данное тело из мельчайших частиц вещества, и мерой этих усилий служит энергия покоя тела. Энергия эта весьма велика; так, в одном килограмме вещества заключена энергия

E=1\cdot (3\cdot 10^{8})^{2}=9\cdot 10^{16} Дж.

Интересно, какое количество топлива нужно сжечь, чтобы выделилось столько энергии? Возьмём, например, дерево. Его удельная теплота сгорания равна q=10^{7} Дж/кг, поэтому находим: m= E/q= 9\cdot 10^{9} кг. Это девять миллионов тонн!

Ещё для сравнения: такую энергию единая энергосистема России вырабатывает примерно за десять дней.

Почему столь грандиозная энергия, содержащаяся в теле, до сих пор оставалась нами незамеченной? Почему в нерелятивистских задачах, связанных с сохранением и превращением энергии, мы не учитывали энергию покоя? Скоро мы ответим на этот вопрос.

Поскольку энергия покоя тела прямо пропорциональна его массе, изменение энергии покоя на величину \Delta E приводит к изменению массы тела на

\Delta m= \frac{\Delta \displaystyle E}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}.

Так, при нагревании тела возрастает его внутренняя энергия, и, стало быть, масса тела увеличивается! В повседневной жизни мы не замечаем этого эффекта ввиду его чрезвычайной малости. Например, для нагревания воды массой m= 1 кг на \Delta t= 100^{\circ}C (удельная теплоёмкость воды равна c_{b}= 4200 J/(kg\cdot^{\circ}C)) ей нужно передать количество теплоты:

Q= c_{b}m\Delta t= 4,2\cdot 10^{5} Дж.

Увеличение массы воды будет равно:

\Delta m= \frac{Q}{c^{2}}= \frac{4,2\cdot 10^{5}}{9\cdot 10^{16}}\approx 4,7\cdot 10^{-12} кг.

Столь ничтожное изменение массы невозможно заметить на фоне погрешностей измерительных приборов.

Формула ( 1) даёт энергию покоящегося тела. Что изменится, если тело движется?

Снова рассмотрим неподвижную систему отсчёта K и систему {K}, движущуюся относительно K со скоростью \upsilon. Пусть тело массы m покоится в системе {K}; тогда энергия тела в системе {K} есть энергия покоя, вычисляемая по формуле ( 1). Оказывается, при переходе в систему K энергия преобразуется так же, как и время — а именно, энергия тела в системе K, в которой тело движется со скоростью \upsilon , равна:

E= \frac{mc^{2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\upsilon ^{\displaystyle 2}}{c^{\displaystyle 2}}}} ( 2)

Формула ( 2) была также установлена Эйнштейном. Величина E — это полная энергия движущегося тела. Поскольку в данной формуле mc^{2} делится на «релятивистский корень», меньший единицы, полная энергия движущегося тела превышает энергию покоя. Полная энергия будет равна энергии покоя только при \upsilon = 0.

Выражение для полной энергии ( 2) позволяет сделать важные выводы о возможных скоростях движения объектов в природе.

1. Каждое массивное тело обладает определённой энергией, поэтому необходимо выполнение неравенства

1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}> 0.

Оно означает, что \upsilon < c: скорость массивного тела всегда меньше скорости света.

2. В природе существуют безмассовые частицы (например, фотоны), несущие энергию. При подстановке m= 0 в формулу ( 2) её числитель обращается в нуль. Но энергия-то фотона ненулевая!

Единственный способ избежать здесь противоречия — это принять, что безмассовая частица обязана двигаться со скоростью света. Тогда и знаменатель нашей формулы обратится в нуль, так что формула ( 2) попросту откажет. Нахождение формул для энергии безмассовых частиц не входит в компетенцию теории относительности. Так, выражение для энергии фотона устанавливается в квантовой физике.

Интуитивно чувствуется, что полная энергия ( 2) состоит из энергии покоя и собственно «энергии движения», т. е. кинетической энергии тела. При малых скоростях движения это показывается явным образом. Используем приближённые формулы, справедливые при \alpha \ll 1:

\sqrt{1-\alpha }\approx 1-\frac{\alpha }{2} ( 3)
\frac{1}{1-\alpha }\approx 1+\alpha ( 4)

С помощью этих формул последовательно получаем из ( 2):

E= \frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}\approx \frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{1-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}\approx mc^{2}(1+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}})= mc^{2}+\frac{\displaystyle m\upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2} ( 5)

Таким образом, при малых скоростях движения полная энергия сводится просто к сумме энергия покоя и кинетической энергии. Это служит мотивировкой для определения понятия кинетической энергии в теории относительности:

E_{K}=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{\upsilon ^{2}}{c^{2}}}}-mc^{2}. ( 6)

При \upsilon \ll c формула ( 6) переходит в нерелятивистское выражение E_{K}= m\upsilon ^{2}/2.

Теперь мы можем ответить на заданный выше вопрос о том, почему до сих пор не учитывалась энергия покоя в нерелятивистских энергетических соотношениях. Как видно из ( 5), при малых скоростях движения энергия покоя входит в полную энергию в качестве слагаемого. В задачах, например, механики и термодинамики изменения энергии тел составляют максимум несколько миллионов джоулей; эти изменения столь незначительны по сравнению с энергиями покоя рассматриваемых тел, что приводят к микроскопическим изменениям их масс. Поэтому с высокой точностью можно считать, что суммарная масса тел не меняется в ходе механических или тепловых процессов. В результате суммы энергий покоя тел в начале и в конце процесса попросту сокращаются в обеих частях закона сохранения энергии!

Но такое бывает не всегда. В других физических ситуациях изменения энергии тел могут приводить к более заметным изменениям суммарной массы. Мы увидим, например, что в ядерных реакциях отличия масс исходных и конечных продуктов обычно составляют доли процента.Скажем, при распаде ядра урана _{92}^{235}{\cup } суммарная масса продуктов распада примерно на 0,1\% меньше массы исходного ядра. Эта одна тысячная доля массы ядра высвобождается в виде энергии, которая при взрыве атомной бомбы способна уничтожить город.

При неупругом столкновении часть кинетической энергии тел переходит в их внутренюю энергию. Релятивистский закон сохранения полной энергии учитывает этот факт: суммарная масса тел после столкновения увеличивается!

Рассмотрим в качестве примера два тела массы m, летящих навстречу друг другу с одинаковой скоростью 3c/5. В результате неупругого столкновения образуется тело массы M , скорость которого равна нулю по закону сохранения импульса (об этом законе речь впереди). Согласно закону сохранения энергии получаем:

\frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle 3c/5)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}+\frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle 3c/5)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= Mc^{2},

2\cdot \frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-(\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5})^{\displaystyle 2}}}= Mc^{2},

\frac{\displaystyle 2m}{\displaystyle 4/5}= M,

M= \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}m.

Мы видим, что, M> 2m — масса образовавшегося тела превышает сумму масс тел до столкновения. Избыток массы, равный m/2, возник за счёт перехода кинетической энергии сталкивающихся тел во внутреннюю энергию.

Релятивистский импульс.

 

Классическое выражение для импульса \vec{p}= m\vec{\upsilon } не годится в теории относительности — оно, в частности, не согласуется с релятивистским законом сложения скоростей. Давайте убедимся в этом на следующем простом примере.

Пусть система {K} движется относительно системы K со скоростью v = c/2 (рис. 1). Два тела массы m в системе {K} летят навстречу друг другу с одинаковой скоростью {u}. Происходит неупругое столкновение.

Рис. 1. К закону сохранения импульса

 

В системе {K} тела после столкновения останавливаются. Давайте, как и выше, найдём массу M образовавшегося тела:

Mc^{2}= 2\frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle c/2)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle 2mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4})^{\displaystyle 2}}}= \frac{\displaystyle 4mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 3}},

откуда

M= \frac{\displaystyle 4m}{\sqrt{\displaystyle 3}}.

Теперь посмотрим на процесс столкновения с точки зрения системы K. До столкновения левое тело имеет скорость:

u_{1}= \frac{\displaystyle \upsilon +{\displaystyle u}.

Правое тело имеет скорость:

u_{2}= \frac{\displaystyle \upsilon -{\displaystyle u}.

Нерелятивистский импульс нашей системы до столкновения равен:

mu_{1}-mu_{2}= \frac{\displaystyle 4mc}{\displaystyle 5}.

После столкновения получившееся тело массы M двигается со скоростью \upsilon = c/2.
Его нерелятивистский импульс равен:

M\upsilon = \frac{\displaystyle 4m}{\sqrt{\displaystyle 3}}\frac{\displaystyle c}{\displaystyle 2}= \frac{\displaystyle 2m}{\sqrt{\displaystyle 3}}.

Как видим, mu_{1}-mu_{2}\neq M\upsilon , то есть нерелятивистский импульс не сохраняется.

Оказывается, правильное выражение для импульса в теории относительности получается делением классического выражения на «релятивистский корень»: импульс тела массы m, двигающегося со скоростью \vec{\upsilon }, равен:

\vec{p}= \frac{\displaystyle m\vec{\displaystyle \upsilon }}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}. 7

Давайте вернёмся к только что рассмотренному примеру и убедимся, что теперь с законом сохранения импульса всё будет в порядке.

Импульс системы до столкновения:

p_{before}= \frac{\displaystyle mu_{\displaystyle 1}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle u_{\displaystyle 1}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}- \frac{\displaystyle mu_{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle u_{\displaystyle 2}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle m(\displaystyle 4c/5)}{\displaystyle \sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle 4c/5)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}-0= \frac{\displaystyle 4mc/5}{\displaystyle 3/5}= \frac{\displaystyle 4mc}{\displaystyle 3}.

Импульс после столкновения:

p_{after}= \frac{\displaystyle \displaystyle M\upsilon }{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle Mc/2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle c/2)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}=( \frac{\displaystyle 4m/\sqrt{\displaystyle 3})(\displaystyle c/2)}{\sqrt{\displaystyle 3/2}}= \frac{\displaystyle 4mc}{\displaystyle 3}

Вот теперь всё правильно: p_{before}= p_{after}!

Связь энергии и импульса.

 

Из формул ( 2) и ( 7) можно получить замечательное соотношение между энергией и импульсом в теории относительности. Возводим обе части этих формул в квадрат:

E^{2}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 4}}{1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}, p^{2}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}

Преобразуем разность:

E^{2}-p^{2}c^{2}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 4}}{1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}-\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\upsilon ^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 2}}{1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}(\displaystyle c^{\displaystyle 2}-\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2})}{\frac{\displaystyle c^{\displaystyle 2}-\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}= m^{2}c^{4}

Это и есть искомое соотношение:

E^{2}-p^{2}c^{2}= m^{2}c^{4}. ( 8)

Данная формула позволяет выявить простую связь между энергией и импульсом фотона. Фотон имеет нулевую массу и движется со скоростью света. Как уже было замечено выше, сами по себе энергия и импульс фотона в СТО найдены быть не могут: при подстановке в формулы ( 2) и ( 7) значений m=0 и \upsilon = c мы получим нули в числителе и знаменателе. Но зато с помощью ( 8) легко находим: E^{2}-p^{2}c^{2}= 0, или

E= pc ( 9)

В квантовой физике устанавливается выражение для энергии фотона, после чего с помощью формулы ( 9) находится его импульс.

Релятивистское уравнение движения.

 

Рассмотрим тело массы m, движущееся вдоль оси X под действием силы F. Уравнение движения тела в классической механике — это второй закон Ньютона: ma= F. Если за бесконечно малое время dt приращение скорости тела равно d\upsilon , то a=d\upsilon /dt, и уравнение движения запишется в виде:

m\frac{\displaystyle d\upsilon }{\displaystyle dt}= F. ( 10)

Теперь заметим, что md\upsilon = d(m\upsilon )= dp — изменение нерелятивистского импульса тела. В результате получим «импульсную» форму записи второго закона Ньютона — производная импульса тела по времени равна силе, приложенной к телу:

\frac{dp}{dt}= F. ( 11)

Все эти вещи вам знакомы, но повторить никогда не помешает ;-)

Классическое уравнение движения — второй закон Ньютона — является инвариантным относительно преобразований Галилея, которые в классической механике описывают переход из одной инерциальной системы отсчёта в другую (это означает, напомним, что при указанном переходе второй закон Ньютона сохраняет свой вид). Однако в СТО переход между инерциальными системами отсчёта описывается преобразованиями Лоренца, а относительно них второй закон Ньютона уже не является инвариантным. Следовательно, классическое уравнение движения должно быть заменено релятивистским, которое сохраняет свой вид под действием преобразований Лоренца.

То, что второй закон Ньютона ( 10) не может быть верным в СТО, хорошо видно на следующем простом примере. Допустим, что к телу приложена постоянная сила. Тогда согласно классической механике тело будет двигаться с постоянным ускорением; скорость тела будет линейно возрастать и с течением времени превысит скорость света. Но мы знаем, что на самом
деле это невозможно.

Правильное уравнение движения в теории относительности оказывается совсем не сложным.
Релятивистское уравнение движения имеет вид ( 11), где p — релятивистский импульс:

\frac{\displaystyle d(\frac{\displaystyle m\upsilon }{\sqrt{\displaystyle 1-\upsilon ^{\displaystyle 2}/\displaystyle c^{\displaystyle 2}}})}{\displaystyle dt}= F. ( 12)

Производная релятивистского импульса по времени равна силе, приложенной к телу.

В теории относительности уравнение ( 12) приходит на смену второму закону Ньютона.

Давайте выясним, как же в действительности будет двигаться тело массы m под действием постоянной силы F. При условии F= const из формулы ( 12) получаем:

\frac{\displaystyle m\upsilon }{\displaystyle \sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= Ft.

Остаётся выразить отсюда скорость:

\upsilon = \frac{\displaystyle cFt}{\sqrt{\displaystyle F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}+m^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 2}}}. ( 13)

Посмотрим, что даёт эта формула при малых и при больших временах движения.
Пользуемся приближёнными соотношениями при \alpha \ll 1:

\sqrt{\displaystyle 1+\alpha }\approx 1+\frac{\displaystyle \alpha }{\displaystyle 2}, ( 14)

\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 1+\alpha }\approx 1-\alpha . ( 15)

Формулы ( 14) и ( 15) отличаются от формул ( 3) и ( 4) только лишь знаком в левых частях. Очень рекомендую вам запомнить все эти четыре приближённых равенства — они часто используются в физике.

Итак, начинаем с малых времён движения. Преобразуем выражение ( 13) следующим образом:

\upsilon = \frac{\displaystyle cFt}{\displaystyle mc\sqrt{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle m^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 2}}}}.

При малых t имеем:

\frac{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}\ll 1.

Последовательно пользуясь нашими приближёнными формулами, получим:

\upsilon \approx \frac{\displaystyle cFt}{\displaystyle mc(1+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}})}\approx \frac{\displaystyle Ft}{\displaystyle m}(1-\frac{F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}).

Выражение в скобках почти не отличается от единицы, поэтому при малых t имеем:

\upsilon \approx \frac{Ft}{m}= at.

Здесь a= F/m — ускорение тела. Мы получили результат, хорошо известный нам из классической механики: скорость тела линейно растёт со временем. Это и не удивительно — при малых временах движения скорость тела также невелика, поэтому мы можем пренебречь релятивистскими эффектами и пользоваться обычной механикой Ньютона.

Теперь переходим к большим временам. Преобразуем формулу ( 13) по-другому:

\upsilon \approx \frac{\displaystyle cFt}{\displaystyle Ft\sqrt{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle c}{\sqrt{1+\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}{\displaystyle F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}}}}.

При больших значениях t имеем:

\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}\ll 1,

и тогда:

\upsilon \approx \frac{c}{1+\frac{1}{2}\frac{m^{2}c^{2}}{F^{2}t^{2}}}\approx c(1-\frac{m^{2}c^{2}}{2F^{2}t^{2}}).

Хорошо видно, что при t \to \infty скорость тела \upsilon неуклонно приближается к скорости света c, но всегда остаётся меньше c — как того и требует теория относительности.

Зависимость скорости тела от времени, даваемая формулой ( 13), графически представлена на рис. 2.

Рис. 2. Разгон тела под действием постоянной силы

 

Начальный участок графика — почти линейный; здесь пока работает классическая механика. Впоследствии сказываются релятивистские поправки, график искривляется, и при больших временах наша кривая асимптотически приближается к прямой \upsilon =c.


Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
РЕКОМЕНДУЕМ:
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.