Центр подготовки к ЕГЭ > Релятивистская динамика

Релятивистская динамика

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: полная энергия, связь массы и энергии, энергия покоя.

В классической динамике мы начали с законов Ньютона, потом перешли к импульсу, а после него — к энергии. Здесь мы ради простоты изложения поступим ровно наоборот: начнём с энергии, затем перейдём к импульсу и закончим релятивистским уравнением движения — модификацией второго закона Ньютона для теории относительности.

Релятивистская энергия

Предположим, что изолированное тело массы $m$ покоится в данной системе отсчёта. Одно из самых впечатляющих достижений теории относительности — это знаменитая формула Эйнштейна:

$E=mc^{2}$ (1)

Здесь $E$ — энергия тела, $c$ — скорость света в вакууме. Поскольку тело покоится, энергия $E$ , вычиляемая по формуле (1), называется энергией покоя.

Формула (1) утверждает, что каждое тело само по себе обладает энергией — просто потому, что оно существует в природе. Образно говоря, природа затратила определённые усилия на то, чтобы «собрать» данное тело из мельчайших частиц вещества, и мерой этих усилий служит энергия покоя тела. Энергия эта весьма велика; так, в одном килограмме вещества заключена энергия

$E=1\cdot (3\cdot 10^{8})^{2}=9\cdot 10^{16}$ Дж.

Интересно, какое количество топлива нужно сжечь, чтобы выделилось столько энергии? Возьмём, например, дерево. Его удельная теплота сгорания равна $q=10^{7}$ Дж/кг, поэтому находим: $m= E/q= 9\cdot 10^{9}$ кг. Это девять миллионов тонн!

Ещё для сравнения: такую энергию единая энергосистема России вырабатывает примерно за десять дней.

Почему столь грандиозная энергия, содержащаяся в теле, до сих пор оставалась нами незамеченной? Почему в нерелятивистских задачах, связанных с сохранением и превращением энергии, мы не учитывали энергию покоя? Скоро мы ответим на этот вопрос.

Поскольку энергия покоя тела прямо пропорциональна его массе, изменение энергии покоя на величину $\Delta E$ приводит к изменению массы тела на

$\Delta m= \frac{\Delta \displaystyle E}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}$ .

Так, при нагревании тела возрастает его внутренняя энергия, и, стало быть, масса тела увеличивается! В повседневной жизни мы не замечаем этого эффекта ввиду его чрезвычайной малости. Например, для нагревания воды массой $m= 1$ кг на $\Delta t= 100^{\circ}C$ (удельная теплоёмкость воды равна $c_{b}= 4200 J/(kg\cdot^{\circ}C)$ ) ей нужно передать количество теплоты:

$Q= c_{b}m\Delta t= 4,2\cdot 10^{5}$ Дж.

Увеличение массы воды будет равно:

$\Delta m= \frac{Q}{c^{2}}= \frac{4,2\cdot 10^{5}}{9\cdot 10^{16}}\approx 4,7\cdot 10^{-12}$ кг.

Столь ничтожное изменение массы невозможно заметить на фоне погрешностей измерительных приборов.

Формула ( 1) даёт энергию покоящегося тела. Что изменится, если тело движется?

Снова рассмотрим неподвижную систему отсчёта $K$ и систему ${K}$ , движущуюся относительно $K$ со скоростью $\upsilon$ . Пусть тело массы $m$ покоится в системе ${K}$ ; тогда энергия тела в системе ${K}$ есть энергия покоя, вычисляемая по формуле ( 1). Оказывается, при переходе в систему $K$ энергия преобразуется так же, как и время — а именно, энергия тела в системе $K$ , в которой тело движется со скоростью $\upsilon$ , равна:

$E= \frac{mc^{2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\upsilon ^{\displaystyle 2}}{c^{\displaystyle 2}}}}$ ( 2)

Формула ( 2) была также установлена Эйнштейном. Величина $E$ — это полная энергия движущегося тела. Поскольку в данной формуле $mc^{2}$ делится на «релятивистский корень», меньший единицы, полная энергия движущегося тела превышает энергию покоя. Полная энергия будет равна энергии покоя только при $\upsilon = 0$ .

Выражение для полной энергии ( 2) позволяет сделать важные выводы о возможных скоростях движения объектов в природе.

1. Каждое массивное тело обладает определённой энергией, поэтому необходимо выполнение неравенства

$1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}$ > $0$ .

Оно означает, что $\upsilon$ < $c$ : скорость массивного тела всегда меньше скорости света.

2. В природе существуют безмассовые частицы (например, фотоны), несущие энергию. При подстановке $m= 0$ в формулу ( 2) её числитель обращается в нуль. Но энергия-то фотона ненулевая!

Единственный способ избежать здесь противоречия — это принять, что безмассовая частица обязана двигаться со скоростью света. Тогда и знаменатель нашей формулы обратится в нуль, так что формула ( 2) попросту откажет. Нахождение формул для энергии безмассовых частиц не входит в компетенцию теории относительности. Так, выражение для энергии фотона устанавливается в квантовой физике.

Интуитивно чувствуется, что полная энергия ( 2) состоит из энергии покоя и собственно «энергии движения», т. е. кинетической энергии тела. При малых скоростях движения это показывается явным образом. Используем приближённые формулы, справедливые при $\alpha \ll 1$ :

$\sqrt{1-\alpha }\approx 1-\frac{\alpha }{2}$ ( 3)
$\frac{1}{1-\alpha }\approx 1+\alpha$ ( 4)

С помощью этих формул последовательно получаем из ( 2):

$E= \frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}\approx \frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{1-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}\approx mc^{2}(1+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}})= mc^{2}+\frac{\displaystyle m\upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2}$ ( 5)

Таким образом, при малых скоростях движения полная энергия сводится просто к сумме энергия покоя и кинетической энергии. Это служит мотивировкой для определения понятия кинетической энергии в теории относительности:

$E_{K}=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{\upsilon ^{2}}{c^{2}}}}-mc^{2}$ . ( 6)

При $\upsilon \ll c$ формула ( 6) переходит в нерелятивистское выражение $E_{K}= m\upsilon ^{2}/2$ .

Теперь мы можем ответить на заданный выше вопрос о том, почему до сих пор не учитывалась энергия покоя в нерелятивистских энергетических соотношениях. Как видно из ( 5), при малых скоростях движения энергия покоя входит в полную энергию в качестве слагаемого. В задачах, например, механики и термодинамики изменения энергии тел составляют максимум несколько миллионов джоулей; эти изменения столь незначительны по сравнению с энергиями покоя рассматриваемых тел, что приводят к микроскопическим изменениям их масс. Поэтому с высокой точностью можно считать, что суммарная масса тел не меняется в ходе механических или тепловых процессов. В результате суммы энергий покоя тел в начале и в конце процесса попросту сокращаются в обеих частях закона сохранения энергии!

Но такое бывает не всегда. В других физических ситуациях изменения энергии тел могут приводить к более заметным изменениям суммарной массы. Мы увидим, например, что в ядерных реакциях отличия масс исходных и конечных продуктов обычно составляют доли процента.Скажем, при распаде ядра урана $_{92}^{235}{\cup }$ суммарная масса продуктов распада примерно на $0,1\%$ меньше массы исходного ядра. Эта одна тысячная доля массы ядра высвобождается в виде энергии, которая при взрыве атомной бомбы способна уничтожить город.

При неупругом столкновении часть кинетической энергии тел переходит в их внутренюю энергию. Релятивистский закон сохранения полной энергии учитывает этот факт: суммарная масса тел после столкновения увеличивается!

Рассмотрим в качестве примера два тела массы $m$ , летящих навстречу друг другу с одинаковой скоростью $3c/5$ . В результате неупругого столкновения образуется тело массы $M$ , скорость которого равна нулю по закону сохранения импульса (об этом законе речь впереди). Согласно закону сохранения энергии получаем:

$\frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle 3c/5)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}+\frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle 3c/5)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= Mc^{2}$ ,

$2\cdot \frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-(\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5})^{\displaystyle 2}}}= Mc^{2}$ ,

$\frac{\displaystyle 2m}{\displaystyle 4/5}= M$ ,

$M= \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}m$ .

Мы видим, что, $M$ > $2m$ — масса образовавшегося тела превышает сумму масс тел до столкновения. Избыток массы, равный $m/2$ , возник за счёт перехода кинетической энергии сталкивающихся тел во внутреннюю энергию.

Релятивистский импульс.

Классическое выражение для импульса $\vec{p}= m\vec{\upsilon }$ не годится в теории относительности — оно, в частности, не согласуется с релятивистским законом сложения скоростей. Давайте убедимся в этом на следующем простом примере.

Пусть система ${K}$ движется относительно системы $K$ со скоростью $v = c/2$ (рис. 1). Два тела массы $m$ в системе ${K}$ летят навстречу друг другу с одинаковой скоростью ${u}$ . Происходит неупругое столкновение.

Рис. 1. К закону сохранения импульса

В системе ${K}$ тела после столкновения останавливаются. Давайте, как и выше, найдём массу $M$ образовавшегося тела:

$Mc^{2}= 2\frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle c/2)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle 2mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4})^{\displaystyle 2}}}= \frac{\displaystyle 4mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 3}}$ ,

откуда

$M= \frac{\displaystyle 4m}{\sqrt{\displaystyle 3}}$ .

Теперь посмотрим на процесс столкновения с точки зрения системы $K$ . До столкновения левое тело имеет скорость:

$u_{1}= \frac{\displaystyle \upsilon +{\displaystyle u}$ .

Правое тело имеет скорость:

$u_{2}= \frac{\displaystyle \upsilon -{\displaystyle u}$ .

Нерелятивистский импульс нашей системы до столкновения равен:

$mu_{1}-mu_{2}= \frac{\displaystyle 4mc}{\displaystyle 5}$ .

После столкновения получившееся тело массы $M$ двигается со скоростью $\upsilon = c/2$ .
Его нерелятивистский импульс равен:

$M\upsilon = \frac{\displaystyle 4m}{\sqrt{\displaystyle 3}}\frac{\displaystyle c}{\displaystyle 2}= \frac{\displaystyle 2m}{\sqrt{\displaystyle 3}}$ .

Как видим, $mu_{1}-mu_{2}\neq M\upsilon$ , то есть нерелятивистский импульс не сохраняется.

Оказывается, правильное выражение для импульса в теории относительности получается делением классического выражения на «релятивистский корень»: импульс тела массы $m$ , двигающегося со скоростью $\vec{\upsilon }$ , равен:

$\vec{p}= \frac{\displaystyle m\vec{\displaystyle \upsilon }}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}$ . 7

Давайте вернёмся к только что рассмотренному примеру и убедимся, что теперь с законом сохранения импульса всё будет в порядке.

Импульс системы до столкновения:

$p_{before}= \frac{\displaystyle mu_{\displaystyle 1}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle u_{\displaystyle 1}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}- \frac{\displaystyle mu_{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle u_{\displaystyle 2}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle m(\displaystyle 4c/5)}{\displaystyle \sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle 4c/5)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}-0= \frac{\displaystyle 4mc/5}{\displaystyle 3/5}= \frac{\displaystyle 4mc}{\displaystyle 3}$ .

Импульс после столкновения:

$p_{after}= \frac{\displaystyle \displaystyle M\upsilon }{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle Mc/2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle c/2)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}=( \frac{\displaystyle 4m/\sqrt{\displaystyle 3})(\displaystyle c/2)}{\sqrt{\displaystyle 3/2}}= \frac{\displaystyle 4mc}{\displaystyle 3}$

Вот теперь всё правильно: $p_{before}= p_{after}$ !

Связь энергии и импульса.

Из формул ( 2) и ( 7) можно получить замечательное соотношение между энергией и импульсом в теории относительности. Возводим обе части этих формул в квадрат:

$E^{2}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 4}}{1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}$ , $p^{2}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}$

Преобразуем разность:

$E^{2}-p^{2}c^{2}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 4}}{1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}-\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\upsilon ^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 2}}{1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}(\displaystyle c^{\displaystyle 2}-\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2})}{\frac{\displaystyle c^{\displaystyle 2}-\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}= m^{2}c^{4}$

Это и есть искомое соотношение:

$E^{2}-p^{2}c^{2}= m^{2}c^{4}$ . ( 8)

Данная формула позволяет выявить простую связь между энергией и импульсом фотона. Фотон имеет нулевую массу и движется со скоростью света. Как уже было замечено выше, сами по себе энергия и импульс фотона в СТО найдены быть не могут: при подстановке в формулы ( 2) и ( 7) значений $m=0$ и $\upsilon = c$ мы получим нули в числителе и знаменателе. Но зато с помощью ( 8) легко находим: $E^{2}-p^{2}c^{2}= 0$ , или

$E= pc$ ( 9)

В квантовой физике устанавливается выражение для энергии фотона, после чего с помощью формулы ( 9) находится его импульс.

Релятивистское уравнение движения.

Рассмотрим тело массы $m$ , движущееся вдоль оси $X$ под действием силы $F$ . Уравнение движения тела в классической механике — это второй закон Ньютона: $ma= F$ . Если за бесконечно малое время $dt$ приращение скорости тела равно $d\upsilon$ , то $a=d\upsilon /dt$ , и уравнение движения запишется в виде:

$m\frac{\displaystyle d\upsilon }{\displaystyle dt}= F$ . ( 10)

Теперь заметим, что $md\upsilon = d(m\upsilon )= dp$ — изменение нерелятивистского импульса тела. В результате получим «импульсную» форму записи второго закона Ньютона — производная импульса тела по времени равна силе, приложенной к телу:

$\frac{dp}{dt}= F$ . ( 11)

Все эти вещи вам знакомы, но повторить никогда не помешает ;-)

Классическое уравнение движения — второй закон Ньютона — является инвариантным относительно преобразований Галилея, которые в классической механике описывают переход из одной инерциальной системы отсчёта в другую (это означает, напомним, что при указанном переходе второй закон Ньютона сохраняет свой вид). Однако в СТО переход между инерциальными системами отсчёта описывается преобразованиями Лоренца, а относительно них второй закон Ньютона уже не является инвариантным. Следовательно, классическое уравнение движения должно быть заменено релятивистским, которое сохраняет свой вид под действием преобразований Лоренца.

То, что второй закон Ньютона ( 10) не может быть верным в СТО, хорошо видно на следующем простом примере. Допустим, что к телу приложена постоянная сила. Тогда согласно классической механике тело будет двигаться с постоянным ускорением; скорость тела будет линейно возрастать и с течением времени превысит скорость света. Но мы знаем, что на самом
деле это невозможно.

Правильное уравнение движения в теории относительности оказывается совсем не сложным.
Релятивистское уравнение движения имеет вид ( 11), где p — релятивистский импульс:

$\frac{\displaystyle d(\frac{\displaystyle m\upsilon }{\sqrt{\displaystyle 1-\upsilon ^{\displaystyle 2}/\displaystyle c^{\displaystyle 2}}})}{\displaystyle dt}= F$ . ( 12)

Производная релятивистского импульса по времени равна силе, приложенной к телу.

В теории относительности уравнение ( 12) приходит на смену второму закону Ньютона.

Давайте выясним, как же в действительности будет двигаться тело массы m под действием постоянной силы $F$ . При условии $F= const$ из формулы ( 12) получаем:

$\frac{\displaystyle m\upsilon }{\displaystyle \sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= Ft$ .

Остаётся выразить отсюда скорость:

$\upsilon = \frac{\displaystyle cFt}{\sqrt{\displaystyle F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}+m^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 2}}}$ . ( 13)

Посмотрим, что даёт эта формула при малых и при больших временах движения.
Пользуемся приближёнными соотношениями при $\alpha \ll 1$ :

$\sqrt{\displaystyle 1+\alpha }\approx 1+\frac{\displaystyle \alpha }{\displaystyle 2}$ , ( 14)

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 1+\alpha }\approx 1-\alpha$ . ( 15)

Формулы ( 14) и ( 15) отличаются от формул ( 3) и ( 4) только лишь знаком в левых частях. Очень рекомендую вам запомнить все эти четыре приближённых равенства — они часто используются в физике.

Итак, начинаем с малых времён движения. Преобразуем выражение ( 13) следующим образом:

$\upsilon = \frac{\displaystyle cFt}{\displaystyle mc\sqrt{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle m^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 2}}}}$ .

При малых $t$ имеем:

$\frac{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}\ll 1$ .

Последовательно пользуясь нашими приближёнными формулами, получим:

$\upsilon \approx \frac{\displaystyle cFt}{\displaystyle mc(1+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}})}\approx \frac{\displaystyle Ft}{\displaystyle m}(1-\frac{F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}})$ .

Выражение в скобках почти не отличается от единицы, поэтому при малых $t$ имеем:

$\upsilon \approx \frac{Ft}{m}= at$ .

Здесь $a= F/m$ — ускорение тела. Мы получили результат, хорошо известный нам из классической механики: скорость тела линейно растёт со временем. Это и не удивительно — при малых временах движения скорость тела также невелика, поэтому мы можем пренебречь релятивистскими эффектами и пользоваться обычной механикой Ньютона.

Теперь переходим к большим временам. Преобразуем формулу ( 13) по-другому:

$\upsilon \approx \frac{\displaystyle cFt}{\displaystyle Ft\sqrt{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle c}{\sqrt{1+\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}{\displaystyle F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}}}}$ .

При больших значениях $t$ имеем:

$\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}\ll 1$ ,

и тогда:

$\upsilon \approx \frac{c}{1+\frac{1}{2}\frac{m^{2}c^{2}}{F^{2}t^{2}}}\approx c(1-\frac{m^{2}c^{2}}{2F^{2}t^{2}})$ .

Хорошо видно, что при $t \to \infty$ скорость тела $\upsilon$ неуклонно приближается к скорости света $c$ , но всегда остаётся меньше $c$ — как того и требует теория относительности.

Зависимость скорости тела от времени, даваемая формулой ( 13), графически представлена на рис. 2.

Рис. 2. Разгон тела под действием постоянной силы

Начальный участок графика — почти линейный; здесь пока работает классическая механика. Впоследствии сказываются релятивистские поправки, график искривляется, и при больших временах наша кривая асимптотически приближается к прямой $\upsilon =c$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Релятивистская динамика» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 06.09.2023