Самоиндукция

 

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: самоиндукция, индуктивность, энергия магнитного поля.

Самоиндукция является частным случаем электромагнитной индукции. Оказывается, что электрический ток в контуре, меняющийся со временем, определённым образом воздействует сам на себя.

Ситуация 1 .Предположим, что сила тока в контуре возрастает. Пусть ток течёт против часовой стрелки; тогда магнитное поле этого тока направлено вверх и увеличивается (рис. 1).

Рис. 1. Вихревое поле препятствует увеличению тока

Таким образом, наш контур оказывается в переменном магнитном поле своего собственного тока. Магнитное поле в данном случае возрастает (вместе с током) и потому порождает вихревое электрическое поле, линии которого направлены по часовой стрелке в соответствии с правилом Ленца.

Как видим, вихревое электрическое поле направлено против тока, препятствуя его возрастанию; оно как бы «тормозит» ток. Поэтому при замыкании любой цепи ток устанавливается не мгновенно — требуется некоторое время, чтобы преодолеть тормозящее действие возникающего вихревого электрического поля.

Ситуация 2 . Предположим теперь, что сила тока в контуре уменьшается. Магнитное поле тока также убывает и порождает вихревое электрическое поле, направленное против часовой стрелки (рис. 2).

Рис. 2. Вихревое поле поддерживает убывающий ток

Теперь вихревое электрическое поле направлено в ту же сторону, что и ток; оно поддерживает ток, препятствуя его убыванию.

Как мы знаем, работа вихревого электрического поля по перемещению единичного положительного заряда вокруг контура — это ЭДС индукции. Поэтому мы можем дать такое определение.

Явление самоиндукции состоит в том, что при изменении силы тока в контуре возникает ЭДС индукции в этом же самом контуре.

При возрастании силы тока (в ситуации 1) вихревое электрическое поле совершает отрицательную работу, тормозя свободные заряды. Стало быть, ЭДС индукции в этом случае отрицательна.

При убывании силы тока (в ситуации 2) вихревое электрическое поле совершает положительную работу, «подталкивая» свободные заряды и препятствуя убыванию тока. ЭДС индукции в этом случае также положительна (нетрудно убедиться в том, что знак ЭДС индукции, определённый таким образом, согласуется с правилом выбора знака для ЭДС индукции, сформулированным в листке «Электромагнитная индукция»).

 

Индуктивность

 

Мы знаем, что магнитный поток, пронизывающий контур, пропорционален индукции магнитного поля: \(\Phi \sim B\). Кроме того, опыт показывает, что величина индукции магнитного поля контура с током пропорциональна силе тока: \(B \sim I\). Стало быть, магнитный поток через поверхность контура, создаваемый магнитным полем тока в этом самом контуре, пропорционален силе тока: \(\Phi \sim I\).

Коэффициент пропорциональности обозначается \(L\) и называется индуктивностью контура:

\(\Phi = LI.\) (1)

Индуктивность зависит от геометрических свойств контура (формы и размеров), а также от магнитных свойств среды, в которую помещён контур (Улавливаете аналогию? Ёмкость конденсатора зависит от его геометрических характеристик, а также от диэлектрической проницаемости среды между обкладками конденсатора). Единицей измерения индуктивности служит генри (Гн).

Допустим, что форма контура, его размеры и магнитные свойства среды остаются постоянными (например, наш контур — это катушка, в которую не вводится сердечник); изменение магнитного потока через контур вызвано только изменением силы тока. Тогда \(\Delta \Phi = L \Delta L\), и закон Фарадея \(\mathcal E_i = -\Delta \Phi / \Delta t\) приобретает вид:

\(\mathcal E_i = -L \frac{\displaystyle \Delta I}{\displaystyle \Delta t \vphantom{1^a}} = -LI.\) (2)

Благодаря знаку «минус» в (2) ЭДС индукции оказывается отрицательной при возрастании тока и положительной при убывании тока, что мы и видели выше.

Рассмотрим два опыта, демонстрирующих явление самоиндукции при замыкании и размыкании цепи.

Рис. 3. Самоиндукция при замыкании цепи

В первом опыте к батарейке подключены параллельно две лампочки, причём вторая — последовательно с катушкой достаточно большой индуктивности \(L\) (рис. 3).

Ключ вначале разомкнут.

При замыкании ключа лампочка 1 загорается сразу, а лампочка 2 — постепенно. Дело в том, что в катушке возникает ЭДС индукции, препятствующая возрастанию тока. Поэтому максимальное значение тока во второй лампочке устанавливается лишь спустя некоторое заметное время после вспыхивания первой лампочки.

Это время запаздывания тем больше, чем больше индуктивность катушки. Объяснение простое: ведь тогда больше будет напряжённость вихревого электрического поля, возникающего в катушке, и потому батарейке придётся совершить большую работу по преодолению вихревого поля, тормозящего заряженные частицы.

Во втором опыте к батарейке подключены параллельно катушка и лампочка (рис. 4). Сопротивление катушки много меньше сопротивления лампочки.

Рис. 4. Самоиндукция при размыкании цепи

Ключ вначале замкнут. Лампочка не горит — напряжение на ней близко к нулю из-за малости сопротивления катушки. Почти весь ток, идущий в неразветвлённой цепи, проходит через катушку.

При размыкании ключа лампочка ярко вспыхивает! Почему? Ток через катушку начинает резко убывать, и возникает значительная ЭДС индукции, поддерживающая убывающий ток (ведь ЭДС индукции, как видно из (2), пропорциональна скорости изменения тока).

Иными словами, при размыкании ключа в катушке появляется весьма большое вихревое электрическое поле, разгоняющее свободные заряды. Под действием этого вихревого поля через лампочку пробегает импульс тока, и мы видим яркую вспышку. При достаточно большой индуктивности катушки ЭДС индукции может стать существенно больше ЭДС батарейки, и лампочка вовсе перегорит.

Лампочку-то, может, и не жалко, но в промышленности и энергетике данный эффект является серьёзной проблемой. Так как при размыкании цепи ток начинает уменьшаться очень быстро, возникающая в цепи ЭДС индукции может значительно превышать номинальные напряжения и достигать опасно больших величин. Поэтому в агрегатах, потребляющих большой ток, предусмотрены специальные аппаратные меры предосторожности (например, масляные выключатели на электростанциях), препятствующие моментальному размыканию цепи.

 

Электромеханическая аналогия

 

Нетрудно заметить определённую аналогию между индуктивностью \(L\) в электродинамике и массой \(m\) в механике.

1. Чтобы разогнать тело до заданной скорости, требуется некоторое время — мгновенно изменить скорость тела не получается. При неизменной силе, приложенной к телу, это время тем больше, чем больше масса \(m\) тела.

Чтобы ток в катушке достиг своего максимального значения, требуется некоторое время; мгновенно ток не устанавливается. Время установления тока тем больше, чем больше индуктивность \(L\) катушки.

2. Если тело налетает на неподвижную стену, то скорость тела уменьшается очень быстро. Стена принимает на себя удар, и его разрушительное действие тем сильнее, чем больше масса тела.

При размыкании цепи с катушкой ток уменьшается очень быстро. Цепь принимает на себя «удар» в виде вихревого электрического поля, порождаемого убывающим магнитным полем тока, и этот «удар» тем сильнее, чем больше индуктивность катушки. ЭДС индукции может достичь столь больших величин, что пробой воздушного промежутка выведет из строя оборудование.

На самом деле эти электромеханические аналогии простираются довольно далеко; они касаются не только индуктивности и массы, но и других величин, и оказываются весьма полезными на практике. Мы ещё поговорим об этом в листке про электромагнитные колебания.

 

Энергия магнитного поля

 

Вспомним второй опыт с лампочкой, которая не горит при замкнутом ключе и ярко вспыхивает при размыкании цепи. Мы непосредственно наблюдаем, что после размыкания ключа в лампочке выделяется энергия. Но откуда эта энергия берётся?

Берётся она, ясное дело, из катушки — больше неоткуда. Но что за энергия была запасена в катушке и как вычислить эту энергию? Чтобы понять это, продолжим нашу электромеханическую аналогию между индуктивностью и массой.

Чтобы разогнать тело массы \(m\) из состояния покоя до скорости \(v\), внешняя сила должна совершить работу \(A\). Тело приобретает кинетическую энергию, которая равна затраченной работе: \(K=A=mv^2/2\).

Чтобы после замыкания цепи ток в катушке индуктивности \(L\) достиг величины \(I\), источник тока должен совершить работу по преодолению вихревого электрического поля, направленного против тока. Работа источника идёт на создание тока и превращается в энергию магнитного поля созданного тока. Эта энергия запасается в катушке; именно эта энергия и выделяется потом в лампочке после размыкания ключа (во втором опыте).

Индуктивность \(L\) служит аналогом массы \(m\); сила тока \(I\) является очевидным аналогом скорости \(v\). Поэтому естественно предположить, что для энергии магнитного поля катушки может иметь место формула, аналогичная выражению для кинетической энергии:

\(W = \frac{\displaystyle LI^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}.\) (3)

(тем более, что правая часть данной формулы имеет размерность энергии — проверьте!).

Формула (3) действительно оказывается справедливой. Уметь её выводить пока не обязательно, но если вы знаете, что такое интеграл, то вам не составит труда понять следующие рассуждения.

Пусть в данный момент сила тока через катушку равна \(I\). Возьмём малый промежуток времени \(dt\). В течение этого промежутка приращение силы тока равно \(dI\); величина \(dt\) считается настолько малой, что \(dI\) много меньше, чем \(I\).

За время \(dt\) по цепи проходит заряд \(dq=Idt\). Вихревое электрическое поле совершает при этом отрицательную работу:

\(dA_B = \mathcal E_i dq = \mathcal E_i Idt = -L \frac{\displaystyle dI}{\displaystyle dt \vphantom{1^a}}Idt=-LIdI.\)

Источник тока совершает такую же по модулю положительную работу \(dA\) (сопротивлением катушки, напомним, мы пренебрегаем, так что вся работа источника совершается против вихревого поля):

\(dA = -dA_B = LIdI.\)

Интегрируя это от нуля до \(I\), найдем работу источника \(A\), которая затрачивается на создание тока \(I\):

\(A = \int_{0}^{I}LIdI=\frac{\displaystyle LI^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}.\)

Эта работа превращается в энергию \(W\) магнитного поля созданного тока, и мы приходим к формуле (3).

Разберем задачи ЕГЭ по физике по темам: "Самоиндукция", "Магнитный поток", "Индуктивность", "Электромагнитная индукция".

Задача 1. На катушке сопротивлением 8,2 Ом и индуктивностью 25 мГн поддерживается постоянное напряжение 55 В. Сколько энергии выделится при размыкании цепи? Какая средняя ЭДС самоиндукции появится при этом в катушке, если энергия будет выделяться в течение 12 мс?

Дано:

R = 8,2 Ом;
L= 25 мГн =\(25\cdot 10^{-3}\) Гн;
t = 12 мс = 12;

Найти:
W_м - ? E_is - ?

Решение:

Решение любой задачи по физике должно начинаться с создания модели, которая поясняет ситуацию, описанную в данной задачи. В качестве модели может выступать чертеж, пояснительный рисунок, электрическая схема.

Для этой задачи необходимо начертить электрическую схему.

На схеме изображены катушка индуктивности, источник тока, поддерживающий на ней постоянное напряжение, ключ.

При замкнутом ключе через катушку протекает постоянный электрический ток, величину которого можно рассчитать, используя закон Ома для участка цепи. Катушка аналогична резистору, подключенному в эту цепь.

\(\displaystyle I=\frac{U}{R}, I=\frac{55}{8,2}\approx 6,7(A).\)

Энергия магнитного поля рассчитывается по формуле:

\(\displaystyle W_{M}=\frac{Li^{2}}{2}, W_{M}=\frac{25\cdot 10^{-3}\cdot 6,7^{2}}{2}\approx 0,56\) (Дж).

Стоит обратить внимание, что эта формула аналогична формуле кинетической энергии в механике: \(\displaystyle E_{K}=\frac{mv^{2}}{2}.\)

При размыкании ключа, через катушку начинает протекать уже переменный ток. Поэтому магнитный поток, пронизывающий катушку, меняется. В самой катушке возникает ЭДС индукции, так как в ней течёт переменный ток. Тем самым, возникает явление самоиндукции.

Используя закон электромагнитной индукции в виде \(\displaystyle \mathcal E _{is}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t},\) приходим к расчету второй неизвестной величины этой задачи:

\(\displaystyle \mathcal E _{is}=25\cdot 10^{-3}\frac{6,7}{12\cdot 10^{-3}}\approx 14\) (B).

В этих расчетах мы не учитывали знак (-), который указан в законе электромагнитной индукции. Смысл этого знака заключен в учёте правила Ленца, определяющего направление индукционного тока. Но так как о направлении индукционного тока речь в задаче не идет, то в расчетах именно получено значение модуля ЭДС самоиндукции.

Ответ: 0,56 Дж, 14 В.

Задача 2. На рисунке приведён график зависимости силы тока от времени в электрической цепи, индуктивность которой 1 мГн. Определите модуль ЭДС самоиндукции в интервале времени от 5 до 15 с. Ответ выразите в мкВ.

Решение

Решение любых графических задач необходимо начинать с «чтения» самого графика. В этой задаче рассматривается зависимость силы тока от времени в цепи, содержащей катушку индуктивности. Необходимо обратить внимание на те интервалы времени, в течение которых происходит изменение силы тока. С изменением этой величины связано изменение магнитного потока и, как следствие, возникновение ЭДС самоиндукции. Сила тока меняется в интервале от 0 до 5 с, от 5 до 10 с и от 15 до 20 с.  В интервале от 10 до 15 с сила тока постоянна, изменение магнитного потока не происходит, поэтому \(\mathcal E _{si}=0\). Для участка от 5 до 10 с надо применить закон электромагнитной индукции \(\displaystyle \mathcal E _{is}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}\).

Для модуля ЭДС самоиндукции, т.е. без учета направления индукционного тока, этот закон будет иметь вид:

\(\displaystyle |\mathcal E _{is}|=\left|L\frac{\Delta I}{\Delta t} \right|\).

Данные для расчета необходимо взять из графической зависимости, учитывая при этом перевод в систему «СИ».

\(\displaystyle \mathcal E_{is}=\left| 1\cdot 10^{-3} \frac{20\cdot 10^{-3}-30\cdot 10^{-3}}{10-5}\right|=2\cdot 10^{-6}(B)=2\)(мкВ).

Ответ: 2 мкВ.

Задача 3. Катушка, обладающая индуктивностью \(L\), соединена с источником питания с ЭДС \(\mathcal E\) и двумя одинаковыми резисторами \(R\). Электрическая схема соединения показана на рис. 1. В начальный момент ключ в цепи разомкнут.

В момент времени \(t=0\) ключ замыкают, что приводит к изменениям силы тока, регистрируемым амперметром, как показано на рис. 2. Основываясь на известных физических законах, объясните почему при замыкании ключа сила тока плавно увеличивается до некоторого нового значения - \(I_{1}.\) Определите значение силы тока \(I_{1}.\) Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.

Решение

В данной задаче необходимо рассмотреть две ситуации, которые происходят до и после замыкания ключа.

1. До замыкания ключа в цепи устанавливается постоянная сила тока, которая определяется законом Ома для полной цепи \(\displaystyle I=\frac{\mathcal E}{R+r}\). Так как по условию внутренним сопротивлением источника можно пренебречь, то \(\displaystyle I=\frac{\mathcal E}{R}=3\) (A).
2. После замыкания ключа параллельно к первому резистору подключается второй, имеющий такое же сопротивление. Тогда общее сопротивление цепи можно рассчитать, как \(\displaystyle \frac{1}{R_{ob}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}=\frac{2}{R}; R_{ob}=\frac{R}{2}.\) Таким образом, внешнее сопротивление цепи уменьшается в 2 раза.
   Наличие в цепи катушки индуктивности, в которой возникает ЭДС самоиндукции, препятствует мгновенному нарастанию силы тока (по аналогии с механикой – тело большой массы не может быстро изменить свою скорость). Поэтому сила тока плавно увеличивается до некоторого значения \(I_{1}.\)
3. Так как ЭДС самоиндукции с течением времени уменьшается до нулевого значения, то ток в цепи будет возрастать в 2 раза, так как общее сопротивление уменьшается также в 2 раза.
   \(\displaystyle I_{1}=\frac{\mathcal E}{R/2}=\frac{2\mathcal E}{R}=6\) (A).

Ответ: 6 А.

Задача 4. Катушка Проволочная рамка площадью 60 см² помещена в однородное магнитное поле так, что плоскость рамки перпендикулярна вектору индукции \(\vec{B}\). Проекция \(B_{n}\) индукции магнитного поля на нормаль к плоскости рамки изменяется во времени t согласно графику на рисунке.

Из приведенного ниже списка выберите все верные утверждения о процессах, происходящих в рамке.

1. Модуль ЭДС электромагнитной индукции, возникающий в рамке, максимален в интервале от 0 до 1мс.
   Ответ. Согласно закону электромагнитной индукции \(\displaystyle \mathcal E=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=-\frac{\Delta B\cdot S}{\Delta t}.\)
   Т.е. максимальное значение ЭДС индукции будет наблюдаться на интервале максимального изменения \(B_{n}\) с течением времени. В интервале от 0 до 1 мс скорость изменения проекции \(B_{n}\) наибольшая.
   Утверждение верное.
2. Магнитный поток через рамку в интервале от 2 до 4 мс равен 12 мВб.
   Ответ. Формула для расчета магнитного потока имеет вид \(\Phi=B_{n}S.\)
   В данном временном интервале проекция \(B_{n}\) постоянна и равна 2 Тл.
   \(\displaystyle \Phi=2\cdot 60\cdot 10^{-4}=12\cdot 10^{-3}\) (Вб) = 12 (мВб).
   Утверждение верное.
3. Модуль ЭДС электромагнитной индукции, возникающей в рамке, в интервале от 4 до 6 мс равен 6 В.
   Ответ. Согласно закону электромагнитной индукции \(\displaystyle \mathcal E=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=-\frac{\Delta B\cdot S}{\Delta t}.\)
   \(\displaystyle \mathcal E=\left|\frac{(-2-2)\cdot 60\cdot 10^{-4}}{2\cdot 10^{-3}}\right|=12\) (B).
   Утверждение неверное.
4. Модуль скорости изменения магнитного потока через рамку минимален в интервале от 0 до 1 мс.
   Ответ. В той задаче изменение магнитного потока связано с изменением проекции \(B_{n}\) индукции магнитного поля. В интервале от 0 до 1 мс проекция \(B_{n}\) меняется быстрее всего, потому и изменение магнитного потока максимальное.
   Утверждение неверное.
5. Модуль ЭДС электромагнитной индукции, возникающей в рамке, равен нулю в интервале времени от 2 до 4 мс.
   Ответ. Согласно закону электромагнитной индукции \(\displaystyle \mathcal E=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=-\frac{\Delta B\cdot S}{\Delta t}.\)
   В интервале от 2 до 4 мс проекция \(B_{n}\) не изменяется, потому \(\Delta B=0\) и \(\mathcal E=0\).
   Тогда в проволочной рамке ЭДС индукции не возникает.
   Утверждение верное.